FORMES FONDAMENTALES COLLINEAIRES ET RECIPROQUES

entre eux. Comme ou peut, toujours, d'après ce qui pi'écède, construire la forme plane réciproque à une forme plane quelconque donnée, la loi (le réciprocité se trouve démontrée à nouveau pour l(;s systèmes plans ou, comme nous allons le voir, pour les formes fondamentales de seconde espèce.

Pour rapporter coUinéairement l'un à l'autre deux systèmes plans 2 et 2p nous n'aurons qu'à les rapporter réciproquement tous les deux à un troisième, de la manière que nous venons d'indiquer. De là découlent les méthodes directes qui suivent :

r Nous prenons arbitrairement dans 2 et i^ deux ponctuelles u, v et, ?/j , «^ et nous rapportons projectivement u à îi^ et v kv^ de manière c(ue le point commun h u et v corresponde au point commun à u^ et v^.

2° Nous faisons correspondre deux faisceaux quelconques de rayons, U et V, de 2 à deux faisceaux arbitraires de rayons, Uj et V^, de '^^ et nous rapportons projectivement U à Uj et V à V^ de telle sorte que le rayon UV de 2 corresponde au rayon U^Y^ de 2^.

On peut donner de ces méthodes une démonstration directe semblable à celle qu'on a indiquée pour les systèmes réciproques.

S'il s'agit de rapporter coUinéairement ou réciproquement l'une à l'autre deux gerbes, ou une gerbe et un système plan, on peut facilement imaginer des méthodes semblables aux précédentes et démontrer leur exactitude. Cependant il est plus simple de ramener ces cas à ceux qu'on a déjà traités en remplaçant chaque gerbe par une de ses sections planes. C'est ainsi par exemple qu'on obtient ce théorème:

Poui^ rapporter réciproquement entre elles deux gerbes S et S^, nous pourrons prendre à volonté dans l'une S deux faisceaux de raifons a et Pj et dans Vautre S^ deux faisceaux de plans a^ et b^ et rapporter projectivement a à a^ et (i à b^ de manière que le rayon a,^ commun aux faisceaux de rayons ait pour correspondant le jdan a^ b^ commun aux deux faisceaux de plans. De cette manière, à chaque élément de la yerbe S correspond un élément déterminé de la gerbe Sj.

Cette méthode découle immédiatement de celle que nous avons donnée précédemment pour les systèmes plans.

Pour rapporter réciproquement l'un à l'autre les systèmes 2 et 2^ (fig. 2), nous avons pris d'une manière tout à fait quelconque les droites u et V dans 2 et les points correspondants Uj et Vi dans 2i. Nous

niOMETP.IR DF, POSITION.

pouvions (le |)liis rappoitor projectivement ii à Uj et v à Vj d'une façon ontit^remenî arhitraii'P ; il n'y avait qu'une seule coudilion à remplir, c'était que le point d'intei'section vv ou V correspondît à la droite U, V, ou y),. Nous pouvons donc encore faire correspondre deux points quelconques A et B de m à deux i-ayons quelconques «, et h^ de Dj et de même prendre sur v deux points quelconques (\ et 1) et leur faire correspondre deux rayons ffuelconques r, et d^ de V, ; et de cette manière, à chaque élément de - corres])ondra un élément déterminé de ^,. Nous pouvons évidemment considérer \ ?> CD comme un quadrangle absolument quelconque du plan -, puisque nous pouvons y prendre à Nolonté les deux droites 7i etv et choisir arbitrairement sur ces dernières les ])oints A, H et C, J). De même a^ b^ Ci r/, peut être regardé comnip un quadrilatère pris arbiti'airement dans -,. D'où ce théorème:

Pour rapporter réciproqvoneut Viin à Vautre deux systèmes plans !> et I.^, on peut faire correspondre arbitrairement les sommets \, B, C, D d'un quadrangle (juelronqiie de - aux côtés f/, , b^, c,, fl!j d'un quadrilatère cjuclcoiique rfe -^. A chaque élément de - correspond alors un élément déterminé de -j.

On ])eut de même rapporter deux systèmes plans collinéairement l'un à l'autre, et d'une seule manière, de façon que deux quadrangles ou deux quadrilatères de ces systèmes se correspondent entre eux d'une manière déterjninée. Ce théorème peut immédiatement s'étendre d'une inanière générale à des foimes fondamentales quelconques de seconde espèce, puisque tous les autres cas peuvent se ramener à ceux que nous venons de traiter. Donc :

Deux formes fondamentcdes de seconde espèce peuvent toujours être rapportées projectivement t'unc à Vautre, arbitrairement et d'une seule manière^ de façon rpic quatre éléments quelconques de même espèce \, R, C, D appartenant à Viine d'elles et dont trois ne font jamais pat-tic d'une seule et même forme fondamentale uniforme^ aient pour correspondants, dans Vautre quatre éléments de même espèce Aj, Bj, Cj, I), soumis à la même condition.

Deux éléments correspondants, tels que A et A, , sont les lieux de deux formes fondamentales uniformes et celles-ci peuvent et doivent être rapportées projectivement Tune à l'autre de manière que les éléments AB, AC et AD aient respectivement pour correspondants les éléments A, B,, A, C, et A, D,. On peut encore démontrer directement de cette manière l'exactitude du théorème.