DEUXIÈME LEÇON

Courbes qui se correspondent les unes aux autres dans les systèmes plans collinéaires et réciproques.

Les relations fie collinéalion et de réciprocité peuvent, être employées ti'ès fructueusement pour transformer des formes données, par exemple des courbes et des surfaces, en d'autres formes. On arrive souvent par leui- moyen à généraliser des théorèmes trouvés d'abord sur des formes particulières; c'est ainsi, par exemple, que beaucoup des propriétés du cercle s'étendent par projection aux coniques quelconques. Nous allons faire quelques remarques générales sui' cette transformation de f(jrmes données en d'autres formes.

Soient 2 et II, deux systèmes collinéaires plans, P et P^ deux points quelconques qui se correspondent dans ces systèmes. Si P parcoui-t dans - une courbe k, V^ décrit en même temps dans ^, une courbe /tj collinéaire à k. Si une droite quelconque (j coupe la courbe /.• en n points, ki doit aussi être rencontrée par la droite correspondante 7, en n points, c'est-cà-dire aux points qui correspondent aux points d'intersection de g et k. Si deux de ces points d'intersection de q et /.: coïncident, de manière que la droite 7 soit tangente à la courbe k, les deux points correspondants, où se coupent g^ et A:, , coïncident aussi et f/j est tangente à /t, ; en même temps, les deux points de contact sur g et g^ sont deux points correspondants des courbes. Les tangentes en deux points homologues des courbes k et k^ sont donc deux rayons homologues des systèmes collinéaires il et ^i. A chaque tangente qu'on peut mener d'un point quelconque A à la courbe k correspond une tangente à A-, passant par le point homologue Ai de 22, ; de sorte qu'on

peut mener autant de tangentes de A, à k^ que de A à /.-. Si k passe plusieurs fois par un même point de -, k^ passe un nombre égal de fois par le point correspondant de 2^ ; etc.

On distingue habituellement les courbes planes i)ai- leur ordre et leur classe, qu'on définit ainsi :

Une courbe plane du 71" oi'dre a en général n points communs avec une droite quelconque de son ])lan et elle ne peut en avoir plus de //.

Par un point quelconque pris dans le ])lan d'une courbe de 11' classe, ou peut en général mener îi tangentes à la courbe et on ne peut eii mener plus de n.

Ceci posé, nous pouvons réunir les plus importants des théorèmes qui précèdent, dans l'énoncé suivant:

Deux courbes\et kj, qui se correspondent dans deux systèmes collinêaires plans, sont de même ordre et de même classe. A tout point multiple de k correspond un point multiple de même ordre sur k, ; de même, à toute tangente multiple de k correspond une tangente midtlple semblable de kj.

Si la courbe plane k est décrite par un point P et si en même temps le faisceau formé par ses tangentes est décrit par la tangente p en ce point, le point P se meut d'une manière continue sur la droite p, tandis que;; tourne d'une manière continue autour de P dans le plan de la courbe ; la courbe k^ collinéaire à k et son faisceau de tangentes seront décrits de même par le point Pj et la tangente pj qui correspondent respectivement aux éléments P et p. Si, maintenant dans une position déterminée w, le sens de la rotation de la tangente p autour de P vient à changer, on dit que w est une tangente slalionnaire tangente d'inflexion et le point de contact de w a reçu le nom de point <r in flexion de la courbe k. Si d'autre part le j)oint Pi. dans une de ses positions R, change le sens de son mouvement sur p, on dit que R est un point stationnaire ou un point de rebroussement de la courbe k. A toute tangente d'inflexion et à tout point de rebroussement de /.• correspondent respectivement une tangente d'inflexion et un ])oint de rebroussement de la courbe /^ collinéaire à k.

Si k est une courbe du second ordre, /.-j est aussi ime courbe du second ordre; il est facile de démontrer que non seulement /^ a en général, comme k, deux points communs avec toute droite qui la