CORRESPONDANCE ENTRE LES COURBES

coupe, mais encore que ces courbes jouissent l'une par rapport à l'autre de la propriété d'être projectives. En effet, si h est engendrée par deux faisceaux projectifs de rayons A et B, /e, sera engendrée de même par les deux faisceaux correspondants Aj et Bi ; et l'on a: Aj 7\ ï^i? puisque A 7\ Aj, B 7\ Bj et  7\ B, de sorte qu'on peut regarder /.■, comme la forme engendrée par deux faisceaux projrctifs de rayons. On voit d'ajirès cela que :

Deux courbes du second oindre, qui se correspondent dans des systèmes plans collinéaires ^ sont projectivement rapportées Vune à Vautre.

Ce théorème admet aussi une réciproque que voici : Deux courbes projectives du second ordre peuvent toujours êtreconsi' aérées comme des courbes homologues de deux systèmes plans collinéaires.

Soient, en effet, A, B, il trois points de la première courbe k et A,, Bj, Cj les trois points qui leur correspondent respectivement sur la seconde courbe k^ ; soit de plus D le pôle de AB par rapport à k et Di celui de AiBi par rapport à la courbe A,) . Si les courbes appartiennent à deux systèmes collinéaires plans qui se correspondent, les tangentes à /i en A et B doivent correspondre aux tangente^ à k^ en Aj et B^ , et par conséquent les points D et Dj sont aussi deux points homologues des systèmes collinéaires. Or, on peut maintenant d'une manière effective rapporter collinéairement l'un à l'autre les systèmes plans dans lesquels se trouvent les courbes, de manière qu'aux quatre points A, B, G, D de l'un d'eux correspondent respectivement les quatre points A,, B,, G,, D^de l'autre; à la courbe /b, qui passe par G et (jui est tangente en A et B aux droites i)A et DB correspond ainsi la courbe /.;i r[ui passe par G^ et qui est tangente en A^ et Bj aux droites DjAi et BjBj. La collinéation des deux systèmes plans se trouve de la sorte établie complètement et d'une seule manière par le moyen des deux courbes projectives ; et deux éléments qui sont conjugués ou rapportés l'un à l'autre par rapport à l'une des courbes ont pour correspondants deux éléments conjugués o.u correspondants l'un à l'autre par rapport à l'autre courbe.

Quand deux systèmes plans 2 et s^ sont rapportés collinéairement entre eux, la droite de l'infini dans l'un d'eux a généralement pour correspondante dans l'autre une droite propre qu'on appelle Yaxe opposé de l'autre système. A deux droites parallèles de l'un des systèmes plans

12 Or^iiMÉTRIE DE POSITION.

correspondenl loujours deux dioilos qui se coupent su?- Taxe oi)pofîé de l'autre système plan. Deux courbes collinéaires planes, bien qu'étant du même ordre et de la même classe, peuvent donc différer essentiellement l'une de l'autre en ce qui regarde leurs points à l'infini; en effet, aux points à l'infini de l'une d'elles correspondent les points que l'autre courbe a en commuji avec l'axe opposé de son plan, et aux asymptotes d'une coui'be, c'est-à-dire aux tangentes cà ses points à Tinfiui, correspondent en général des tangentes propres de l'autre courbe. Par exemple, uue ellipse de l'un des plans, .coupée par l'axé opposé de ce plan ou tangente à cet axe, aura poiu- courbe correspondante dans l'autre plaii une ]iy|)erboie ou une parabole.

Nous donnerons le nom cVinvariant à toute propriété d'une seule forme géométrique ou à toute relation de différentes formes entre elles qui ne seraj^as altérée par une transfoi'mation collinéaire. Par exemple, l'ordre et la classe d'une courbe plane sont des invariants; il en est de même pour le nombre de leurs points doubles, de leurs points (Je rebroussement, de leurs tangentes doubles ou de leurs tangentes d'inflexion. Des points ou des rayons barmoniques ont entre eux une relation d'invariance et la même chose a lieu pour les formes élémentaires projectives. Les relations d'une courbe du second ordre avec son centre et ses foyers ne sont pas invariantes, tandis que celles qui se rapportent aux points ou aux rayons conjugués par rapport à la courbe, ou à un point et à sa polaire, le sont.

Le rapport enharmonique de quatre points d'une droite ou de quatre rayons d'un faisceau du premier ordre est un invariant. Trois couples d'éléments d'une forme élémentaire en involution constituent entre eux une relation invariante ; la propriété caractéristique d'un hexagone de Pascal est aussi un invariant. — Poncelet avait reconnu d'une façon bien nette l'importance des propriétés d'invariance des formes géométriques et l'avait fait ressortir d'une manière rigoureuse ; il donne à ces propriétés la qualification de projectives, parce qu'elles se transmettent à toutes les formes collinéaires qu'on peut déduire d'une forme donnée par des projections ou des sections.

Soient 2 etSi deux systèmes plans réciproques ; à tout point V de ^ correspond un rayon /jj de 2i. Si V parcourt dans 2i une courbe quelconque k, p^ décrit en même temps dans 2 une suite continue de rayons K, que nous appellerons un faisceau de rayons. Si P s'approche d'un point fixe (J de la courbe />, ;\ s'approche d'un rayon