COKKESPONDANCE ENTRE LES COURBES

li\e 7, du faisceau K,, et au rayon PQ qui pivote autour de Q correspond le point p/i^ qui se déplace sur la droite q^. Enlin, lorsque!* s'approchant indéfiniment du point Q, la droite PQ (fig.S) coïncide avec une droite fixe, la tangente 7 au point Q, le point J)^ 7, coïncide aussi finalement avec un point iixe, le point de contact i}^ du i-ayon 7^ qui coirespond ainsi à la taugente dont il vient d'être question. (Voir I. pages 80-81.) A tout point Q de la courbe /.: avec sa tangente 7, correspond un rayon q^ du faisceau kj, avec son point de contact Qj, et à une suite de tangentes de k se succédant d'une manière continue correspondent les points de contact de Kj qui se suivent aussi d'une manière continue. En un mot : au faisceau k de tangentes, qui enveloppent la courbe le, correspond une courbe k^ qui est enveloppée i)ar le faisceau kj. Si k a n points conuuuns avec une droite quelconque <j de son

plan, les n rayons correspondants du faisceau kj, ou les // tangentes à la courbe kj passent par le point de 2 qui correspond à la droite 7. Le théorème suivant a donc lieu d'une manière générale:

Si deux courbes k et k^ se correspondent dans des systèmes réciproques, V ordre de V une est égal à la classe de Vautre. A tout point de l'une des courbes, avec sa tangente, correspond une tangente de l'autre courbe avec sou point de contact ; à tout point multiple de Vune rorrcsfxind une tangente multiple de l'autre et à tout point il'inflexiou de l'une une tangente de rebroussement de Vautre.

En particulier, si A: est une courbe du second ordre, k^ est une courbe de seconde classe qui est enveloppée par un faisceau de rayons du second ordre. Ce faisceau sera engendré par deux ponctuelles projectives a^ et b^ si la courbe est-elle-même engendrée par deux faisceaux

projectils de rayons A etB ; en effet, puisque «^ 7\ A et b^ /\ B, et que de plus A 7\ B, il s'ensuit aussi que a^ /\b^. Nous avons vu antérieurej lient ([ue toute courbe du second ordre est enveloppée par un faisceau de rayons du second ordre et que par conséquent elle est aussi de seconde classe ; pour les courbes d'ordre ou de classe plus élevée, une pareille coïncidence n'existe plus.

Des considérations toutes semblables peuvent s'appliquer aux surfaces coniques qui se correspondent dans des gerbes projectives. Tous les résultats qu'on obtient ainsi pour ces surfaces peuvent aussi se déduire de ceux qu'on vient d'établir, en projetant deux systèmes plans [)rojectifs de deux centres quelconques suivant des gerbes. On voit d'après cela ce qu'il faut entendre par des surfaces coniques de n" ordre ou de n^ classe. Si, par exemple, on rapporte réciproquement un système plan 2 à une gerbe S^, à toute courbe de n" ordre et de jf classe dans 2 correspond dans S^ une surface conique de n^ classe et de p'' oixire.

TliOISIEME LEÇON.

Perpectivité des formes fondamentales collinéaires de seconde espèce.

Nous avons vu que, dans deux formes fondamentales collinéaires ou réciproques, quatre éléments harmoniques de l'une ont toujours pour correspondants quatre éléments harmoniques de l'autre et nous en avons déjà tiré la conclusion que deux formes fondamentales uniformes qui se correspondent dans chacune d'elles doivent être projectives. Si donc deux formes fondamentales collinéaires ou réciproques 2 et 2^ sont placées de telle manière que non seulement les lieux a et a^ de deux formes fondamentales uniformes correspondantes soient situés l'un sur l'autre, mais encore que trois couples de points homologues de ces dernières formes coïncident, deux éléments correspondants quelconques de a et «i doivent coïncider (I, page 53) et Z et^i ont tous les éléments correspondants de a et a^ qui leur sont communs.

On a donc en particulier ce théorème :

Si deux systèmes plans collinéaires, non situés dans le même plan , ont trois points de leur droite d'intersection correspondants communs, tout point de cette droite est un point correspondant commun aux deux systèmes.

Si deux gerbes collinéaires, non concentriques ont trois plans correspondants communs, elles ont en commun tous les plans correspondants qui passent par leurs centres.

CiEOMETRlt: DE PuSlTluN

Oji j)euL, en la iiiodiliaiit Ir^n'iciiieiil. élenchv, aussi cette double proposition aux systèuies [)laiis supeiposés el aux gerbes concentriques.

Lorsque deux systèmes collinéaires - el ^j situés dans le même plan ont en coiiunun Ions les points correspondants de deux droites u et v ou tous les rayons coriespondants de deux faisceaux S et T, cliacpie élément de 2i coïncide avec celui (|ui lui correspond dans 1i. En ellet, dans le preiuier cas, une droite ([uelconque du plan se correspond à elle-même, puis(iu"('ll(' joint deux points fpii se correspondent à eux-mêmes, nn point de u et un point de v ; et tout point du plan se correspond à luimême, puisqu'on peut le regarder comme le point d'intersection de deux droites qui se coi'respondent à elles-mêmes. De même, dans le second cas, tout })oint du plan se correspond à lui-même, parce qu'il est l'intersection de deux rayons de S et de T qui se correspondent à eux-mêmes et mie droite quelconque peut être regardée connue la droite ({ui joint deux de ces points. Nous sommes ainsi conduits au théorème suivant : >

Deux stjsti'ines colllnéaireu situés dans le même plan ont tous leurs éléments correspondants communs {ou sont identiques), quand ils ont comme éléments correspondants communs les qua- I re sommets d'un quadrancjlc ou les quatre côtés d'un quadrilatère.

Deux (jerbes collinéaires co)iccntriques ont tous leurs éléments correspondants communs [ou sont identiques) quand elles ont pour éléments correspondant s communs les arêtes d'un angle quadrarête ou les faces d'un anijle tétraèdre.

Le théorème tle dioite se ramène immédiatement à celui de gauche en coupant les deux gerbes par un plan. Les systèmes collinéaires situés dans ce plan de section ont connne éléments connnuns les quatre sonnnets A, lî, (1, D d'un (piadrangle ou d'un quadrilatère sinq)le ; les rayons Ali, Xi], AD sont donc correspondants conmmns et par suite tout rayon du faisceau A jouit de cette pro[)riété; il en est de même des i-a\ons BA, BC, BD, et par suite de tout rayon du faisceau B ; ce qui démontre le théorème. Deux systèmes collinéaires quelconques, placés l'un sur l'autre, ont donc en général comme éléments correspondants conununs au plus trois points et les droites qui les joignent.

Des théorèmes (pj'on vient de démontrer on déduit les conséquences

PERSPECTIVITE DMS FOHMES FONDAMENTALKS CULLINEAIHHS.

suivantes j)oui' la |)eispeclivité. des systèmes et des gerbes collijîéaires :

Si deux systèmes col linéaires ^ et Z^ sont siliiés dans des plans dillerents et si les rayons qui joignent les sommets d'un ([uadrangle de ï, aux points coi'respondants de II passent par un même ])oint S, les deux systèmes sont perspectifs et sont des sections de la gerbe S. En effet, les deux gerbes collinéaires, qui projettent les systèmes plans de 8, sont identiques, puis([u'elles oiil un angle (juadralète correspondant comnmn.

Si deux gerbes collinéaires S et Sj ont des centres différents et si les quatre rayons, suivant les(|Liels les faces d'un angle tétraèdre de S sont respectivement coupées par les plans correspondants de S,, sont situés dans un même plan S, les deux gerbes sont perspectives et sont des projections du système planl. En effet, les deux systèmes collinéaires sidvant les(|uels les gerbes sont cou[)ées par - sont identiques, puisqu'ils ont un quadrilatère correspondant conuruni.

On démontre facilement, d'une manièie analogue, le théorème ipii suit :

Un système plan ^ est perspectif à nnajerbe S, qui lui est colliiiéaire, quand les sommets (V un quadraugle de ï saut situ('s sur les raijous qui leur correspondent dans S.

On voit sans peine l'analogie qui existe enli'eces théorèmes et ceux ([ue nous avons établis pour les formes fondamenlales projectives de jn-emière espèce, dans la cin([uième leçon de la première partie. On peut faire la même remarque pour la double proposition suivante, dont nous ferons un fréquent usage dans la suite:

Si deux s\ stèmes ])lans collinéaires oui comme éléments corres- [)ondants couununs trois |)oints, et par consé(|uent tous les ])oints d'une ponctuelle w, les droites (|ui joignent deux à deux les points homologues de ces systèmes se coupent toutes en un seul et même point déterminé S. — En effet, deux

CKOMÉTBIK 1)1, l'OSlTION. M.

Si deux gerbes collinéaires ont conmie éléments cojTes])ondants couununs trois j)lans, et par consé- (juent tous les ])lans d'un faisceau u. les droites suivant lesquelles les plans correspondants se coupent deux à deux sont situées dans un seul et même plan déterminé 2. — En effet, deux rayons quelconques

GEOMETKIR DE POSITION.

droites / et /i qui se correspondent fig. 4) doivent avoir pour ])oint correspondant commun un certain point A de u, puisque tout point de II se correspond à lui-même.

Toutes les droites DI), , EEj .... r jui joignent chacune un point (D, E — ) de / au point correspondant (I),, lî,. . .) de/] passent donc par un même point S, puisque les ponctuelles / et II ont leur point d'intei'section A comme point correspondant com-

/ et /, qui se correspondent doivent se trouver dans un certain plan a de n, puisque tout j)lan de u se correspond à luijiième. — Tous les rayons oci, ee,,,. suivant lesquels les plans (S, £,....) (lu faisceau / coupent les |)kjis (g,, ;i....) qui leur corresponflent dans le faisceau /, sont donc situés dans un même j)lan I ; car les faisceaux ont le plan a connue plan corrcspon-

mun et par suite sont perspectives.

Si les deux systèmes sont situés dans un même plan et si P est le point où un rayon DDj passant jiar S coupe î<, la droite PI) correspond à PJ)j, c'est-à-dire à elle-même puisque P se correspond à luimême. Tout rayon passant ])ar S coïncide donc avec son correspondant ; d'où il résulte que les points homologues sont situés deux à deux sur des rayons passant par S.

dant commun et par suite sont en position perspective. Si les gerbes ont le même centre et si x est le plan qui joint un rayon quelcon- (|ue ooi de ^ avec Taxe m, le rayon ■KO correspond au rayon •::§,, et par suite se correspond à lui-même, puisque ti se correspond à luimême. Tout rayon situé dans 2 coïncide donc avec son correspondant; d'où il résulte que les plans homologues se coupent deux à deux

PERSPECTIVITE DES FORMES FONDAMENTALES COLLINEAIRES.

Si au contraire les deux systèmes se coupent suivant la droite m, il s'ensuit que les droites telles que DDi hE^ qui joignent des points homologues, sont situées deux à deux dans un même plan et par conséquent se rencontrent.

Mais connue toutes ces droites ne sont pas toutes situées dans un seul et même plan, il faut qu'elles passent par un seul et même point S ; les deux systèmes sont donc des sections de la gerbe S.

suivant des rayons situés dans 2 — Si au contraire les deux gerbes ont deux centres diilerents situés sur w, il s'ensuit que les droites d'intersection des plans homologues quelconques, telles que b¥^ et sEi, sont deux à deux situées dans un même plan et par conséquent se coupent. Mais comme toutes ces droites ne passent pas toutes par un seul et même point, il faut qu'elles soient situées dans un seul et même plan ^ ; les gerbes sont donc les projections du système plan 2.

Ces diéorèmes remarquables peuvent aussi s'énoncer sous la forme suivante:

Deux systèmes coUinéaires plans (jui se coupent et qui ont trois points (de leur droite d'intersection) correspondants communs , sont perspectifs.

Si deux systèmes coUinéaires situés dans un même plan ont une ponctuelle correspondante commune (c'est-à-dire tous les points de cette ponctuelle correspondants communs), ils ont aussi un faisceau de rayons correspondant commun (c'est-à-dire tous les rayons de ce faisceau correspondants communs) .

Deux gerbes coUinéaires qui ne sont pas concentriques et qui ont trois plans correspondants communs sont perspectives.

Si deux gerbes coUinéaires et concentriques ont un faisceau de plans correspondant commun (c'est-àdire tous les plans de ce faisceau correspondants comnuuisj, ils ont aussi un faisceau de rayons correspondant conmiun.

Réciproquement, on voit immédiatement que deux systèmes plans perspectifs ont tous les points de leur droite d'intersection comme éléments correspondants communs et ([ue tout plan passant par les sommets de deux gerbes perspectives est un plan qui leur est correspondant commun. Les deux derniers théorèmes eux-mêmes admettent aussi une réciproque^ ainsi qu'il suit :

tiU GEOMLTl.It DL I^USITIUN.

Si deux systèmes collinéaires situés daus uu même j)lau ont uu laisceau de rayons correspondant coininnii. ils ont aussi une ponctuelle correspondante couunune.

Si deux gerbes concentriques et collinéaires ont un faisceau de rayons correspondant commun, ils oïd aussi un faisceau de plans c()ries[)ondant couunun.

Kn elTet (théorème de gauche), si nous projetons les deux systèmes (rnn centre ([uelconque suivant deux gerbes concenlri(|ues, celles-ci auront un laisceau de plans correspondant comnmn, et i)ar conséquent aussi (d'après le théorème de droite qui précède) un faisceau de rayons correspondant commun, et la ponctuelle, dont il est question dans le théorème, en est une section. On ramènera de même le théorème de droite au théorème de gauche qui précède en coupant les gerbes concenU'i([ues })ar un plan donnant naissance à deux systèmes superposés. On peut du reste démontrer cette double proposition directement et d'une manière analogue à celle qu'on a suivie poui- la précédente.

Deux systèmes collinéaires situés dans le même j)lan. ([ui ont une ponctuelle u et un faisceau de rayons S correspondants connnuns seront dits perspectifs, parce qu'ils jouissent de beaucoup de propriétés qui du reste appartiennent aussi aux systèmes perspectifs. Le point S, par lequel passent les droites qui joignent deux à deux les points correspondants, s'appelle \e centre de collineationet la droite u, sur laquelle se coupent deux à deux les droites homologues, est dite Vaxe de collinéaliuti. Étant donnés deux systèmes plans perspectifs, imaghions ([ue l'un <reii\ tourne autour de sa droite d'intersection avec l'autre système ; les droites (jui joignent les points homologues changeront de j>ositioii, mais elles ne cesseront pas de converger constannnent \ers un ])oint unique, qui sera lui-mêjue en mouM^nent. puisque les deux systèmes ont comme éléments correspondants connnuns tous les points de leur droite d'intersection.

Quand les deux systèmes se superposent, celte situation doit être considérée conmie un cas particulier de la perspecli\ité générale. — (hi dit aussi que deux gerbes concentriques et coHinéaiies sont ])ers])ectives, quand (.'lies ont un faisceau de rayons et un faisceau de plans correspondants coJnniLins.

Pour ra])porter perspeciivement l'un à l'autre deux systèmes situés dans un même plan, nous j)Ouvons prendre arbitrairement l'axe u et le centre S de collinéation (fig. i) et faire correspondre l'un à l'autre

PFRSPErTIVlTE DFS FORMES FONnAMF.NTAIT.S rOIJ.INKAIRl.S. 21

deux points quelconques D et D, situés sur un rayon passant par S. En effet, nous pouvons et nous devons rapporter les deux systèmes collinéairement l'un à l'autre de telle manière que deux faisceaux de rayons D et D|, perspectifs à la ponctuelle ?/, se coirespondent et que le faisceau S se corresponde à lui-même ; la collinéation se trouve par là établie complètement et d'une seule manière (II, page 0). Mais comme deux rayons homologues / et U de D et Dj se coupent en chaque point A de n. i>t f[ue par A il passe aussi lui rayon a du faisceau S qui se coi-respond à lui-même, il faut que A ou / a se corresponde à lui-même, c'està-dii'ecori'espondeau point /jCt; par conséquent, les deux systèmes ont tous les points de u qui leur sont correspondants comnnms. ainsi que cela était demandé.

Tout rayon passant par D coupe en un point de u le rayon passant par D, qui lui correspond ; il est donc facile de construire ce dernier. Va comme deux points homologues E et Ei se trouvent à la fois sur des rayons homologues de D etDj et sur une droite passant par S, il est l'acile de trouver le point M^ qui correspond à E. Le lecteur fera un exercice utile et instructif en construisant ainsi la courbe qui correspond à une courbe donnée, c'est-à-dire en déterminant un certain nombre de points de la seconde coiu'be qui correspondent à des points donnés de la première. Dans cette construction, il est intéressant de rechercher où se trouve l'axe opposé d'un des systèmes qui correspond à la droite de l'infini dans l'autre; car c'est essentiellement d'après la position de cet axe qu'on reconnaît si la courbe a des branches infinies et quel en est le nombre. L'axe opposé doit être parallèle à l'axe de collinéation, parce que la droite qui lui correspond doit le renconti-er sur l'axe de collinéation et en un point situé à l'infini.

Si l'axe de collinéation passe à l'infini, les droites homologues deviennent parallèles deux à deux et les systèmes sont dits perspeci ivcuicni semblables. La théorie de la similitude des figures planes nous est connue depuis longtemps grâce à la géométrie des anciens; elle n'est, comme on le voit, qu'un cas particulier de la collinéation.

Deux systèmes plans collinéaires 2 et I,, dont les droites à l'infini ne se correspondent pas, peuvent être mis en perspective de deux manières différentes. On détermine d'abord les deux axes opposés. Les deux faisceaux de rayons parallèles de 2 et Zi auxquels appartiennent les axes opposés se correspondent alors entre eux. Au contraire, deux autres parallèles a et b de i: ont pour correspondantes deux droites «, et ^idel,

22 OÉOMÉTHIK DE POSITION.

qui ne sont pas parallèles, puisqu'elles doiveiil se couper en un point propre de l'axe opposé de i:,. 11 existe donc à une distance déterminée de cet axe opposé deux droites, et rien que deux, v^ et i\ qui lui sont parallèles et sur lesquelles «i et Z>, déterminent des segments de longueur égale à ceux que les parallèles a et b interceptent sur les droites coiTespondantes ii et v. Les ponctuelles v^ et v^ de ^, sont les seules qui soient projectivement égales aux ponctuelles u et v qui leur correspondent. Si maintenant on amène les systèmes coUinéaires dans une situation telle que les ponctuelles u etn^ (ou v etVi) soient superposées et aient tous leurs points correspondants communs, les systèmes seront perspectifs. Ils resteront encore en perspective si on les fait ensuite tourner autour de leur droite corres])ondante comnume jusqu'à ce que leurs plans coïncident et l'on obtient alors facilement deux faisceaux de rayons dans 2 qui sont projectifs et égaux aux faisceaux de rayons qui leur correspondent dans 1i (II, page 20).

Deux courbes planes coUinéaires, dont les points à l'infmi ne se correspondent pas, peuvent, d'après ce qui précède, être amenées dans yne position telle qu'elles se présentent comme sections d'une même surface conique. L'intuition montre sans grande peine quelles sont les propriétés qui leur sont communes. — Deux courbes du second ordre, sur lesquelles on prend arbitrairement trois points A, B, G et Ai, B,, G, peuvent toujours être mises dans une position telle que par elles et par les trois droites AAj, BBj, (]C^ on puisse faire passer une surface conique du second oidre (11, page il).

QUATRIEMR LEÇON.

Collinéation et réciprocité des systèmes de l'espace.

Les développements que nous avons donnés jusqu'ici nous fournissent maintenant le moyen de rapporter collinéairement ou réciproquement l'un à l'autre deux systèmes de l'espace, c'est-à-dire deux portions de l'espace indéfini, ou même de rapporter l'espace indéfini à lui-même. La définition générale que nous avons donnée de la collinéation ou de la réciprocité nous conduit tout d'abord aux définitions suivantes pour les systèmes de l'espace :

Deux systèmes de l'espace H et 2, sont rapportés colUnéairemeyil Vun à Vautre, lorsquù tout point P de i correspond un point Pj de I, et qu'à toute droite ou tout plan de Z passant par P correspond dans Zj une droite ou un plan passant par P,.

Deux systèmes de Vespace S et 1^ sont rapportés réciproquement Vun à Vautre, lorsc/u'à tout point P de E correspond un plan tt' de Sj et qu'à toute droite ou tout plan de S passant par P correspond dans 21i un rayon ou un point situé sur -jti.

Ici encore on démontre sans peine le théorème général que nous avons déjà énoncé précédemment, à savoir cjue deux formes fondamentales, qui sont toutes les deux ou collinéaires ou réciproques à une troisième, doivent être collinéaires entre elles. Comme d'après cela la collinéation se déduit de la réciprocité, nous pourrons nous borner le plus souvent à l'étude de cette dernière.

Si dans deux systèmes réciproques de l'espace un point P et un plan TTi se correspondent, et par suite aussi la gerbe P et le système

24 ckomkhhf. dk P(>siTii*N,

])laii 71,. ces deux dernières formes sont aussi réciproques; car à tout plan z de 1* corres])ond un point K situr dans ?:, et à tout rayon passant par P et situé dans s correspond un rayon situé dans r.^ et passant par K|. A quatre éléments harmoniques quelconques de la gerbe 1* on, en f^énéral, de l'un des systèmes de Tesj^ace correspondent donc toujours (juati'e éléments harmoniques situés dans z, ou dans l'autre système. Pai" consécpient, à toute poncliielle de l'un des systèmes doit cori-espondre un faisceau projeclifde plans dans l'autre système et à, tout faisceau de rayons dans l'im un faisceau piojectif de raxons dans Faut re. Dans deux systèmes collinéaires de l'espace, à tout système plan correspond un système plan collinéaire, à toute ])onctuelle une ponctuelle qui lui est pi'ojective, etc. D'après cela, on dira aussi fjue ileux systèmes collinéaires ou récipi'oques de l'espace, sont projectifs: il en résulte que :

Si deux sjffi/èmes collinéaires on réciproques de l'espace ont en commun trois éléments d'une forme fondamentale uniforme, ou quatre éléments de même espèce d'une forme fmd amentale de seconde espèce, ils ont en commun chacun des éléments de la firme (II, page 15).

Dans le second cas, nous supposons toutefois que trois des quatre éléments considérés n'appartiennent pas à une seule et même foi-me fondamentale uniforme.

Nous rapporterons deux systèmes de l'espace ^ et Z^ réciproquement l'un à l'autre de la manière la plus simple et la plus intuitive, en procédant comme il suit. Nous prenons dans !il deux gerbes A et B et nous l'apportons respectivement chacune d'elles réciproquement à un système plan a, et p, situé clans Ii, de telle sorte que la droite d'inter section a.^^^ corresponde à ÂB et que tout plan commun aux gerbes passant par AB ait pour correspondant un point commun aux systèmes plans situé sur a, (3,. Alors, à tout point V de i: correspond un plan ir^ dans i:, et à tout rayon / passant par P un rayon l^ situé dans tt^. En effet, aux rayons AP et lîP qui sont dans un même plan avec AB correspondent dans a, et % deux rayons qui ont avec a, pi un seul et même point conunun et qui pai' conséquent déterminent un plan ir, correspondant au point P; et de même, le rayon / de ^, qui est projeté de A et B par deux plans A/ et \M a pour correspondant un rayon /^ qui est coupé par a^ et Pj en deux points a, /, et p, /i qui correspondent aux plans. Enfin, si nous avons dans i; un système plan quelconques, pai* le moyen duquel les gerbes \ etiî soient

COLI.INÉATION ET P.ÉCIPROCITÉ DES SYSTt:Mi:S DI'. l'eSPACE. 25

rapportées perspectivement Tune à Taiiti'e, de telle manière qu'elles aient ainsi le faisceau de plans A lî coiuiue élément correspondant commun, les systèmes plans ai et [îj sont par là même rapportés en même temps collinéairement l'un à l'autre (parce que a,7\ A7\B7\;3i) de façon à avoir la ponctuelle aiii, cori'espondante commune. Par consé- (juent a, et ^, sont perspectifs (H, page 19) et engendrent une gerbe E, (|ui correspond au système plan t et qui lui est réciproque. \u plan z de ^, (|ui passe par une droite / on un point \\ coirespond donc \in point E, , situé sur la droite correspondante /, ou dans le plan correspondant t:,. Vu plan à rinfini dans Tun des systèmes correspond de cette manière un point de Tautre système et. en général, c'est un point pi'opre. Donc :

Deux systèmes de Vespace S et Z, peuvent toujours et (finie seule manière être rapportes réciproquement lun à Vautre de telle façon (pi'à deux gerbes V <?/ B de Z correspondent respectivement dans Z, deux Sf/stèmes plans v., et il^, qui leur soient réciproques. Il suffît (rétablir la réciprocité entre A et a, et entre B et [i, de telle manière qu'à tout plan comnum aux gerbes A et lî corresponde un point commun de aj et fij.

Nous j)Ouvons donc déduire de là que:

Pour rapporter réciproquement Vun à Vautre deux systèmes de r espace Z et li, ou peut prendre arbitrairement dans le premier cinq points A, B, (], D, E do))t quatre quelconques ne soient pas un même plan, et leur assigner comme co)-respondants dans le second cinq plans quelconques «i, [ip Yi, Oj, £i, dont quatre quelcon(pies )ie passent pas par un même point, l/or.s tout élénwnl de li sera rapporté à îin élément de 1.

En effet , nous devons et pouvons rapporter réciproquement la gerbe A au système plan d'une seule manière et de telle sorte qu'aux rayons AB, AC, AD, AÉ correspondent respectivement les rayons *i?n «lYn «1=1' »i3i (II, page 8); nous établirons de même entre la gerbe B et le système plan p^ une relation réciproque, telle que les quatre couples de rayons BA et (ijap BC et {ù^-fi, BD et ^^à^, BE et ^ic, se composent de rayons homologues. Comme les trois plans AB(], ABD, ABE, communs aux faisceaux A et B, ont respectivement pour correspondants les points «iP, v, , «, î^, Oj , a, g^ t^ communs aux systèmes plans ai et Pi, à tout plan du faisceau AB correspond un seul point de la ponctuelle a, 3,. Le théorème se trouve ainsi ramené au précédent.

Il résulte de ce qui précède qu'on a de niêiiie la iH-opositiou suivante pour les systèmes collinéaires de l'espace :

Pour rapporter collinéairempnt Vun à raiilrc deux .sijs/èincs de V espace S et ^i, on peut piviuJre à volonté dans Vun cinfj points^ dont quatre quelconques ne soient pas situés dans un même plan, et leur assigner pour correspondants dans Vautre cinq points quelconques, assujettis à la même condition. De cette manière, chaque élément de 1 sera rapporté à un clément de Z^.

On peut démontrer directement ce théorème d'une manière analogue à celle qui a été employée pour les systèmes réciproques ; ou plus simplement, on peut ramener ce cas aux précédents en remarquant que deux systèmes réciproques à un troisième doivent être collinéaires. En effet, nous pouvons rapporter réciproquement les deux systèmes donnés au troisième de telle façon, que cinq plans quelconques de ce dernier aient respectivement pour correspondants les cinq })oints donnés dans chacun des deux premiers. De cette manière, la collinéation sera établie entre ces deux systèmes. Au lieu de cinq points, on peut faire correspondre entre eux, deux à deux, cinq plans pris dans chaque système et dont quatre quelconques ne passent pas par un même point. Le théorème a encore lieu dans ce cas. On voit en même temps que:

Si deux systèmes collinéaires de V espace ont comme éléments correspondants commirns cinq points, dont quatre quelconques ne sont pas dans un même plan, ou cinq plans , dont quatre quelconques ne passent pas par uti même point, ils ont toits leurs éléments correspondants communs et sont identiques.

Le résultat principal de toute notre étude est la démonstration, maintenant complète, de la loi de réciprocité. En effet, si deux espaces peuvent être rapportés réciproquement l'un à l'autre, on peut aussi, étant donnée une forme quelconque de l'espace, construire une forme qui lui soit réciproque et dont les propriétés se déduisent delà première. Aussi nous contenterons-nous à l'avenir, étant données deux propositions réciproques, de démontrer seulement l'une d'elles. Nous engageons le lecteur à chercher directement la démonstration de l'autre au lieu de la déduire de la loi de réciprocité.

Entre les formes de l'espace, par exemple entre les courbes ou les surfaces qui se correspondent dans des systèmes collinéaires ou réciproques, il existe des relations remarquables. Elles sont particulièrement

COLLINÉATION ET RÉCIPROCITÉ DES SYSTÈMES DE l'eSPACE. 27

intéressantes quand il s'agit de courbes à double courbure ou de courbes gauches^ c'est-à-dire de courbes dont aucune portion finie n'est contenue dans un plan. Avant d'étudier ces relations, nous allons faire quelques remarques sur les courbes gauches.

Étant donnés deux points quelconques P et Q d'une courbe gauche, joignons-les par une droite PQ; si l'un d'eux Q se meut sur la courbe, la coi'de V() décrit une surface conique qui a son sommet en P et qui ])roiptte la courbe de ce point. Si Q s'approche de plus en plus de P, la droite PQ s'approche de plus en plus d'une droite fixe p, avec laquelle elle se confond finalement, quand Q coïcinde avec P. La droite 79 est la langeuie à la courbe au point P ; et l'on dit que tout plan qui passe par p est iaugeut à la courbe au ])oint V. Un plan tangent, joignant la tangente y> à un point variable R de la courbe, décrit un faisceau de plans p qui projette la courbe, quand Pi se déplace sur cette dernière ; ce plan tangent s'approche d'un plan fixe tt, avec lequel il finit par coïncider, quand R s'approchant de plus en plus de P finit par coïncider avec ce point. Ce plan 7: s'appelle le plein osculaleur ou le plan de courbure de la courbe en P ; il est tangent suivant la droite p à la surface conique par laquelle la courbe est projetée du point P, parce qu'il a en commun avec cette surface deux rayons qui se réunissent suivant p. On peut regarder une tangente quelconque connue la droite qui unit deux points qui se rapprochent indéfiniment l'un de l'autre, et un plan osculateur comme le plan qui passe par trois points qui se rapprochent indéfiniment les uns des autres. Réciproquement, la droite commune à deux plans osculateurs infiniment voisins de la courbe se confond avec une tangente à la courbe et le point d'intersection de trois plans osculateurs infiniment voisins est à la limite un point de la courbe. Toutes les tangentes d'une courbe gauche forment dans l'espace im faisceau de rayons qui enveloppe la courbe et tous les plans osculateurs un faisceau de plans qui oscule la courbe.

Si un point P décrit la courbe gauche, tandis que sa tangente p décrit le faisceau de rayons qui enveloppe et son plan osculateur tt le faisceau de plans qui oscule cette courbe, P se meut d'une manière continue sur p, tandis que /; pivote autour de P dans le plan 7: et que ce plan TT lui-même tourne en même temps autour de p. Tout point de la courbe oi^i le mouvement de P sur la tangente p change de sens est appelé point sfalionnaire ou point de rebroussenient; de même les tangentes et les plans osculateurs où les rotations respectives de p etiz

28 GÉOMKTl'.li: DE POSITION'.

autour de P et p clianp;Gnt de sens, sont appelés faitdrnlr.'^ slallonvalir ; ou plans osnikUciirs slaiionnairca.

Soient maintenant deux (•ouil)fs gauches /.• et/;, (pii se coiTespoiidcni dans des systèmes coliinéaires. Toute droite qui joint deux points et tout plan ffui rénnit trois points de /.• ont respectivement pour correspondants dans A-, la di'oite (pii joint les deux points et le plan qui l'éunil les trois points lioiiioJo^iics. \ foule tan,ii;ente et à tout plan osciilateuien un point de /.• correspondent donc respectivenicnl la taniyjeiite et W plan osculatpiu' au point honiolooue de l\. Si un point P décrit la courbe //, tandis que sa tanji;enle p décrit sinniltanément le faisceau de rayons quil'enveloppe et son plan osculateur -k le faisceau de plans qui Toscule, le point correspondant l\ décrit en même temps la coui'bc /.•,. la tangente correspondante p^ le faisceau de rayons qui enveloppe h^ et le plan osculateur correspondant ir, le faisceau de plans qui oscnle la courbe k^. A tout élément stationnaire de A- correspond un élément stationnaire demème espèce dans A-,. Si la courbe A- estdu //'"o^v/yr, cVstà-dire si elle a en général et au plus n points communs avec un plan quelconque, A-, est aussi du »'' ordre; car elle a les points correspondants communs avec le plan homologue. Si d'autre part, A- est de la ///" classe, c'est-à-dire si en général par un ])oint quelcon((ue il passe au plus m plans osculateurs de la couibe A\ A-, est également de la///'' classe. Aux points à l'infini de A- correspondent en général des points propres de A-, ; car c'est seulement dans des cas particuliers que le plan à l'infini de l'ini des systèmes coïncide avec le plan à l'infini de l'autre système.

Si la courbe A- se meut d'une manière continue, suivant vme loi quelconque, et décrit une surface <I>, A-, décrit en même temps une surface <l>, qui correspond à la précédente. Ces surfaces sont coupées par deux plans correspondants suivant des courbes coliinéaires; et si <l> est du ?/'' ordre, c'est-à-dire si en général elle a au plus n points comnums avec une droite ciuelconque, <I>i est aussi du même ordre, parce qu'elle a les points coriespondants qui lui sont communs avec la droite correspondante. A toute tangente de <I> correspond une tangente de <I>i et de même les plans tangents de deux surfaces coliinéaires se correspondent entre eux. Si <I> est de la m" classe, c'est-à-dire si on peut en général lui menei' au plus /// plans tangents par une droite quelconque, l'autre surface <1>, est également de la m' classe. L'ordre et la classe des courbes ou des surfaces fout donc pai'tie de leurs propriétés d'invariance.

COLLINÉATION ET RÉCIPROCITÉ DES SYSTÈMES DE l'eSPACE. 29

Si Tiiiie des surfaces renferme des droites, Tautre en contient aussi 3t en nombre égal ; si l'une a des points doubles ou des courbes doubles par lesquelles elle passe plusieurs fois, il en est de même pour l'autre ; et ainsi de suite.

Les surfaces collinéaires peuvent néanmoins différer essentiellement en ce qui concerne leurs points à l'infini. Ainsi, l'une des surfaces peut être coupée suivant une courbe par le plan à l'infini, tandis que l'autre peut lui être seulement tangente en un point ou ue pas le rencontrer.

Si deux systèmes de l'espace sont rapportés réciproquement l'un à l'autre, à toute courbe gauche h de l'un correspond aussi une courbe gauche Ai de l'autre, mais de la manière suivante: à tout point P de /.: correspondent un plan osculateur x, de /.-, ; à toute tangente de /.• ({ui joint deux points infiniment voisins et à tout plan osculateur qui unit Irois points infiniment voisins correspondent respectivement dans /., une tangente à A-j, qui est l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins et un point où se coupent trois plans osculateurs infiniment voisins de A,. A tout plan qui contient ?? points ou m tangentes de l'une des courbes correspond un point par lequel passent u plans osculateurs ou n tangentes de l'auti'e courbe. L'ordre (ou la classe) de Tune d'elles est donc égal à la classe (ou à l'ordre) de l'autre. yV tout point stationnaire de l'une correspond un plan osculateur statiormaire de l'autre. Tous les points d'une courbe plane et leurs tangentes ont pour correspondants tous les ])lans tangents d'une surface conique et les rayons ([ui la composent. — Aux points et aux tangentes d'une surface <J> correspondent les plans tangents et les tangentes d'une surlace <l>i et aux plans tangents de <1> correspondent les ])oints de a>i, etc.

Supposons qu'il s'agisse de rap[)orler projectivement l'un à l'autre deux systèmes de l'espace, de manière que deux systèmes réglés projectifs ahrd.. . . et a^b^c^d^ .... se correspondent commme formes homologues; on peut assigner trois directrices quelconques y>, r/, r de l'un des systèmes comme correspondantes à trois directrices quelconques y>i , q^ , r, de l'autre système et de ])lus on a le choix de spécifier si les systèmes de l'espace devront être collinéaires ou réciproques. En effet, rapportons projectivement les deux systèmes l'un à l'autre de telle sorte ([u'aux cinq points ap, aq, bp, bq, cr de l'un correspondent respectivement les cinq points (ou les cinq plans) cup^, a^qi, 6,y;,, Z>j^,,

30 GÉOMÉTHIE DK PUSITION.

c, r, de l'autre; aux droites «, b^p, q du premier système correspondent ainsi les droites «,, 61, ;;,, q^ du second. De plus, la droite r, qui passe par le point cr et qui coupe les droites p et 7 a pour correspondante la droite r, ([ui passe par Cii\ (ou f[ui est située dans le plan Ci,i\) et qui coupe les droites pi et 7,, et de mémo la droite i\ correspond à la droite r.

Enfin à touti'ayon d du système réglé (tbv correspond un rayon <h du système réglé «i^j^'i, de sorte que les deux formes fondamentales uniformes, p[ahcd) et />, {a^h^<\<li) sont projectives. Le théorème est donc démontré.

Dans les leçons suivantes nous étudierons les formes engendrées par les systèmes coUinéaires et réciproques. Nous allons seulement nous occuper ici de la perspectivité des systèmes coUinéaires de l'espace, (lomme deux espaces coUinéaires se traversent ou se pénètrent umtuellement, il peut arriver qu'un nombre fini ou infini d'éléments de Tu 11 coïncident avec les éléments qui leur correspondent dans l'autre ; les systèmes peuvent avoir comme éléments correspondants communs des éléments isolés et même des formes fondamentales de première ou de seconde espèce. Des considérations, analogues à celles que nous avons appliquées précédemment aux systèmes coUinéaires situés dans un même plan, nous conduisent aux théorèmes suivants :

Si deux systèmes coUinéaires de l'espace ont un système pla7i a correspondant commun, ils ont aussi une gerbe coïi-espondante S commune; el réciproquement.

En effet, deux systèmes plans a et aj qui se correspondent dans les espaces coUinéaires sont aussi coUinéaires (II, page 24); leurs plans se coupent suivant une droite de c; et ils ont comme éléments correspondants connnuns tous les points de cette ligne d'intersection, puisque chacun des points de cette droite coïncide avec son correspoiidant ; ils sont donc pers})ectifs et sont des seclioiis d'une même gerbe S. Mais comme tout élément de S, soit rayon, soit plan, unit un élément de c (jui se corres})ond à lui-même avec deux éléments de « et a^ qui se correspondent entre eux, il doit se correspondre à lui-même ; de sorte que deux ])oinls homologues des systèmes de l'espace doivent se trouver sur une droite passant par S, que deux droites homologues doivent être situées dans un plan passant par S et que ces dernières doivent en outre se couper en un même point de -.

D'autre part^ si les deux systèmes de l'espace ont une gerbe corres-

COLLINÉATION ET RÉCIPROCITÉ DES SYSTÈMES DE l'eSPACE. 31

pondante commune, deux gerbes homologues A et Ai quelconques sont perspectives. En eflet, puisque le rayon A Aj passe par S, ces deux gerbes coUinéaires ont comme élément correspondant commun non seulement ce rayon, mais un plan quelconque qui le contient; elles sont donc les projections d'un même système plan a. Mais deux éléments homologues des gerbes A et A^ couperont un élément de S, qui se correspond à luimême, suivant un élément de c ; par conséquent tous les éléments de s coïncident avec leurs correspondants.

Deux systèmes coUinéaires de l'espace, qui ont une gerbe S et un système plan a correspondants communs sont dits perspectifs. Le point S par lequel passent les droites qui joignent deux points homologues quelconques et les plans qui contiennent deux droites homologues quelconques du système est appelé le centre de collinêation des systèmes de l'espace, et le plan c sur lequel les rayons ou les plans homologues se coupent deux à deux a reçu le nom de plan de collinêation.

Pour rapporter perspectivement l'un à l'autre deux systèmes de l'espace, on peut prendre à volonté le plan c et le centre S de collinêation et en outre faire correspondre l'un à l'autre deux points A et Al, situés sur une droite passant par S, mais extérieurs à n. Soient, en ellét, B, (1. D trois points de œ tels que les droites qui les joignent ne coupent pas la droite SAAj. Les deux systèmes de l'espace peuvent être rapportés collinéairement l'un à l'autre de telle sorte qu'aux points A, B, C, D, S de l'un correspondent respectivement les points A,, B, G, D, S de l'autre. Les rayons SAAj, SB, SC, SD, et par suite tous les éléments de la gerbe S, se correspondent à eux-mêmes ; de même le plan BGD ou c se correspond à lui-même, ahisi que tout autre élément, puisqu'en outre des points B, C, D, il y a encore sur S AAi un point de c qui se correspond à lui-même (11, page 16).

Il est très facile de construire dans les espaces perspectifs une forme qui corresponde à une forme donnée ; on procède en suivant la marche que nous avons indiquée pour les systèmes perspectifs situés dans un même plan. Un cas particulier, qui peut se rencontrer ici, est celui où le plan de collinêation s'éloigne cà l'infini, et où par conséquent deu:^ droites ou deux plans correspondants deviennent parallèles.

Dans ce cas, les systèmes sont dits perspectivement semblables. La stéréotomie a déjà fait connaître au lecteur des systèmes de ce genre; ainsi, par exemple, une machine et l'un de ses modèles à une échelle

32 GliOMÈTKlE DE PuSHKJN.

exacte peuvent être considérés comme des portions de systèmes semblables et on peut les mettre en perspective de telle sorte que les droites qui joignent deux à deux les points homologues se coupent en un point lixe, le centre de collinéation, et que deux i-ayons ou deux plans homologues soient parallèles. En général deux espaces collinéaires ne peuvent pas être amenés en position perspective.

CINOUIEME LlîdON.

Surfaces du second ordre. — Génération et classification.

Les formes fondaiiietitales miit'onnes nous ont conduits précédeniiueiit aux formes élémentaires du second ordre; les formes fondamentales [)rojectives de seconde espèce nous conduisent de môme aux surlaces et aux gerbes de plans du second ordre. Ainsi:

Une surface du second ordre est engendrée par deux gerbes récipi'oques non concentriques ; tout rayon de Tune des gerbes cou})e le plan, (|ui lui correspond dans l'autre gerbe, en un point de la surface.

Une gerbe de plans du second ordre est engendrée par deux systèmes plans réciproques, qui ne sont pas situés dans un même plan ; tout rayon de l'un des systèmes est projeté du point qui luicoirespoiid dans Tantre suivant un plan de la gerbe.

La surface du second ordre et la gerbe de plans du second ovdie étant des formes réciproques, la loi de réciprocité permet de déduire immédiatement toutes les propriétés de l'une de ces deux formes des propriétés de l'autre; c'est pourquoi, nous pourrons nous borner à étudier les surfaces du second ordre. On verra plus tard que la gerbe de ])lans du second ordre se compose de tous les plans tangents à une surface du second ordre; de sorte qu'en faisant même abstraction de la loi de réciprocité, la théorie de la gerbe de plans se trouve comprise dans celle de la surface du second ordre.

or.oMRTr.ir-, nr. positkin. — ii.

34 GÉOMÉTniE DE POSITION.

Soient S etSj les centres des deux gerbes réciproques qui engendrent une surface du second ordre; il est tout dabord facile de voir que tout plan a mené par S coupe la surface suivant une courbe du second ordre. Cette courbe passe par le ])oint S et par le point où le plan a est rencontré par le rayon cii qui lui correspond dans la gerbe Si ; dans certains cas particuliers, elle peut se décomposer en deux droites. En effet, au faisceau de rayons de S, qui est contenu dans le plan «, correspond dans Si un faisceau de plans qui lui est projectif et dont l'axe est la droite tii. Ces faisceaux projectifs engendrent la courbe du second ordre qui est commune au plan a et à la surface F^ et qui ne peut se décomposer en deux droites que si un rayon du faisceau a est situé dans le plan de (ii qui lui correspond. La courbe du second ordre est aussi engendrée par deux faisceaux projectifs de rayons, dont Tun est le faisceau a de S dont il vient d'être question, et dont l'autre est la section du faisceau de plans a^ par le plan a ; ces faisceaux ne sont perspectifs que dans des cas particuliers. On voit d'après cela que la courbe d'intersection de F^ et de a passe par les points S et «la.

De la même manière, la surface du second ordre sera coupée par tout plan mené par Si suivant une courbe du second ordre passant par ce même point S^.

Il résulte de là que la surface F^ ne peut pas avoir plus de deux points communs avec une droite quelconque g qui n'est pas située tout entière sur elle ; en effet, la courbe du second ordre, intersection de la surface avec le plan S g ne peut avoir au plus que deux points communs avec la droite g. La surface est donc bien du second ordre. Toute droite 9, passant par S, a en général avec la surface un autre point commun différent de S, c'est celui où elle est coupée par le plan yi qui lui correspond ; ce second point ne coïncidera avec S que si y, passe par le rayon SSj commun aux faisceaux. Nous dirons que tout rayon de S, qui n'a avec la surface du second ordre aucun ])oint commun différent de S, est mie tangente à la surface au point S. Comme toute tangente a pour élément correspondant un plan passant par SSi, toutes les tangentes à la surface qui passent par S sont situées dans le plan de la gerbe S qui correspond au rayon commun S Si; et ce plan est appelé le plan tangent de la surface F^ au point S. Donc:

Au rayon S Si commun anx deux gerbes correspond en S et Si im plan tangent à la surface du second ordre.

l^eut-il encore exister de pareils plans tangents dans d'autres points

de la surface ? et la surface est-elle coupée suivant des courbes du second ordre par des plans sécants qui ne passent ni par S ni par S^ ?

Ces questions s'imposent à nous tout d'abord et nous sommes évidemment tentés de répondre affirmativement à la seconde, si nous remarquons qu'aucune section plane de la surface ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points. Nous savons aussi déjà que par tout point P d'une surface du second ordre il doit passer au moins deux systèmes de coniques situées sur la surface; car tout plan des deux faisceaux dont les axes sont les droites qui joignent le point P aux centres S et Si des gerbes réciproques a une conique comnmne avec la surface du second ordre. Nous pourrons répondre affirmativement aux deux questions précédentes, et avec toute certitude, quand nous aurons démontré que :

Un poini quelconque d'une surface donnée du second, ordre peut cire choisi pour centre de Vune des deux gerbes réciproques qui cn^ qendrent la surface.

Soient S et Si les centres des deux gerbes réciproques qui ont primitivement engendré la surface donnée du second ordre F^ et soit S^ un troisième point quelconque de F^ ; il s'agit de rapporter réciproquement l'une à l'autre les gerbes S et S^ de manière qu'elles engendrent aussi la surface. Si les gerbes S et S^ sont rapportées réciproquement Tune à l'autre d'une manière entièrement arbitraire, elles engendreront une deuxième surface du second ordre Fi^, passant par les points S et Sj. Nous allons établir la réciprocité entre S et S^ de telle manière que Fj^ ait en commun avec F^ deux coniques passant par S, mais non par Sj, et nous prouverons ensuite que F^ et F/ coïncident en tous leurs points et conséquemment sont identiques.

Soient x et X les deux coniques d'intersection de la surface donnée du second ordre F^ (fig. 5) par deux plans passant par le point S, mais ne contenant pas S,. Soit T le point où la droite d'intersection de ces deux plans rencontre la surface pour la seconde fois et soit ST"la corde commune aux deux coniques y. et X, corde qui peut devenir une tangente, si T se rapproche indéfiniment de S.

Tout d'abord, pour que T soit situé sur la surface ¥^ engendrée par les gerbes S et S^, il faut qu'au rayon ST de S corresponde un plan S^KL de S^ passant par T. Soient K et L les points où ce plan coupe pour la seconde fois les coniques y. et X ; nous pouvons maintenant établir de la manière suivante la réciprocité demandée pour les gerbes S

el Sj. ^()us projetons la courbe •/. du second ordre du point S suivant un laisceau de l'ayons S-/, et de Taxe S^k suivant un faisceau de plans; ce dernier se trouve ainsi rap])orté projectivement au faisceau de rayons. De même nous i)rojetons la conique X de S suivant un faisceau de rayons SX et de S.,L suivant un faisceau de i)lans ({ui est alors projectif au faisceau de rayons. Or, comme le plan ISJiL conunun aux faisceaux de j)lansqui projette le point d'intersection T des deux coniques, correspond au rayon ST conunun aux deux faisceaux de rayons, les deux gerbes S el S., sont d'après cela rapportées réciproquement Tune à l'autre (d'après la page 7 ). La surface F,^ qu'engendrent ces deux gerbes passe non seiiîejuent par S et S,, mais aussi parla conique •/., puisque celle-ci est engendrée par le faisceau de rayons Sy. et le faisceau cori'espondanl

l\v [)lans S^ K; de même la surface passe aussi par la coni(jue>. — Accessoirement, cette construction nous donne la proposition suivante:

Par (Icii.i- cotiiqKcs (loinii'cs y. cl >.. (fiii son/ silures thiiis des plans (liffércnls, mais qui sccoiipcitl en (leti.r poiiils'S cl '\\oii qui sonltannciilcs l'H lin poinl S, cl jtar un /loiiil S,, c.cicriciir à leurs plans, on peni faire passer nne surface de second ordre.

On ne peut pas en faiie passer plus d'une, car deu\ suifaces telles que F^ et Fi^ qui passent tous les deux i)ar -/., \ et S^ sont identiques, comme on le verra dans ce ([ui suil . D'abord, toul plan mené par Si et S^, qui contient deux points de chacune des coui'bes y. et X, coupe la surface suivant deux coniques qui coïncident en tous leurs points, puisqu'en outre de S, elles ont en comnmn les quatre points de x et X dont il

vient d'être question (I, pa^e 78). Or il est toujours possible de mener de pareils plans, si l'on a d'avance convenablement choisi y. et), sur la surface F^ Soit maintenant [;. une conique, passant par Si et S.^, qui appartient aux deux surfaces, mais qui peut ne pas passer par le point S ; soit de plus P un point quelconque de l'une des surfaces. Le plan SPSj (de mêime que SPS^) coupe les deux surfaces suivant deux coniques qui, en outre de S et Sj (ou S et SJ, ont encore trois autres points communs qui appartiennent aux coniques x, X et i;,. Ces deux coniques coïncidant, le point P de Tune des surfaces est situé sur l'autre ; c. q. f. d.

On voit aussi qu'il existe également en S^ un plan tangent à la surface F^et que tout autre plan mené par S, a une conique comnmneavec F'- ; suivant les circonstances, cette courbe peut dégénérer en deux droites. S^ étant un point quelcon({ue de la surface, nous avons de la sorte démontré la propriété fondamentale suivante des surfaces du seconil ordre :

Vue surface «Jr sccojkJ ordre ne peu/ e/re eoiipe'e jxir ini phiu (pieleonque que suivani inie conique, qui peut aussi se réduire à deux droites. La surface est touchée en chacun de ses points par un plan qui contient toutes les tangentes possibles de la surface en ce point.

Nous appellerons l'attention sur un point particulier, l^our démont rciqu'on peut faire passer une surface du second ordre par ■/., X et S^ nous avons rapporté réciproquement l'une à l'autre les gerbes S et S^et nous avons tout d'abord fait correspondre au rayon ST un plan arbitraii'e S^KL passant par T. En changeant ce plan, nous pourrons rapporter d'une infinité de manières les gerbes S et S^ réciproquement l'une à l'autre de manière qu'elles engendrent la surface dont il s'agit; donc :

Deux gerbes, dont les centres sont situés sur une surface donnée du second ord^e, peuvent d^une infinité'de manières être rapportées réciproquement Vune à Vautre, de façon à engendrer la surface du .second ordre.

La propriété fondamentale des surfaces du second ordre que nous avons démontrée plus haut va nous servir immédiatement pour faire une classification de ces surfaces. Nous distinguerons les surfaces réglées du second ordre, qui peuvent être décrites par une droite, et celles qui ne contiennent aucune droite. — Si une surface du second ordre contient une droite g, elle a encore une seconde droite / commune avec tout plan sécant mené par g ; car la conique suivant la([uelle ce plan la coupe se décompose alors en deux droites. Quand le plan sécant tour-ne

autour de 9, la seconde droite / parcourt la surface. Les surfaces du second degré à génératrices rectilignes ne sont autres que les surfaces réglées et les cônes du second ordre que nous connaissons déjà. En effet, ou bien la droite mobile / se meut de telle façon que deux droites qui figurent deux quelconques des positions qu'elle occupe ne se rencontrent pas, ou bien il y a deux positions l^ et /^ où elles se coupent. Dans ce dernier cas, le point M d'intersection de l^ et /^ (fig. 0) ne peut se trouver que sur la droite (j, puisque les plans (|l^ et r//^ sont diOerents l'un de l'autre. Soient maintenant A etB deux points (quelconques de la surface qui ne soient sur aucune des droites g, Z^, 1^ et supposons la surface du second ordre coupée suivant les coniques •/. et! par deux plans passant par A et B. Les deux surfaces coniques qui

projettent y. et 1 du point M sont alors identiques puisqu'elles ont en commun les cincj rayons MA, AIB, g, Z^, /^ ; et chacun de leurs rayons appartient à la surface du second ordre donnée, parce qu'il renferme Irois de ses points, à savoir M et un point de chacune des coniques y, et X. Dans ce cas, la surface est donc un cône du second ordre.

D'autre part, si aucunes des positions de la droite mobile / ne se rencontrent, nous prendrons trois quelconques d'entre elles, /j, Z^, /.. Une quatrième droite qui rencontre /j, 1, et /. fait également partie de la surface du second ordre puisqu'elle a trois points d'intersection communs avec elle, et l'on ])0urra aussi décrire la surface en faisant glisser une droite mobile sur les trois di'oites l^, 1.^, !.. Dans ce cas, la surface du second ordre est donc une surface réglée, c'est-à-dire un hyperboloïde aune naj^pe ou un paraboloïde hyperbolique.

Les surfaces du second ordre sur lesquelles ne sont situées aucunes droites se divisent en cUipsoïdes^ en paj^aboloïdes elliptiques et en hijperboloïdes à deïixîiappes. L'ellipsoïde n'a aucun point commun avec le plan à l'infini ; le paraboloïde elliptique lui est tangent et l'hyperboloïde à deux nappes le coupe suivant une courbe du second ordre. On obtient des cas particuliers de ces genres de surfaces en faisant tourner une conique autour d'un de ses axes ; l'ellipse, dans une rotation de ce genre, décrit un ellipsoïde de révolution, la parabole un paraboloïde de révolution et l'hyperbole un hyperboloïde de révolution à deux nappes, quand la rotation s'effectue autour de son axe principal. Si au contraire la rotation a lieu autour de son axe conjugué, on obtient un hyperboloïde de révolution à une nappe.

D'après sa définition, l'eUipsoïde a une ellipse commune avec un plan sécant quelconque. La section du paraboloïde elliptique par un plan ne sera une parabole que si ce plan contient la direction sur laquelle se trouve le point à l'infini du paraboloïde ; dans tout autre cas, c'est une ellipse. Nous avons vu de même (I, page 126) que la section du paraboloïde hyperbolique par un plan est une hyperbole qui peut aussi dégénérer en deux droites ; ce n'est exceptionnellement une parabole que si le plan sécant passe par le point de contact du paraboloïde et du plan à l'infini. Un plan sécant coupe l'hyperboloïde à une nappe et l'hyperboloïde à deux nappes suivant une ehipse, une parabole ou une hyperbole, selon que ce plan ne contient aucun point de la courbe située à l'infini sur l'hyperboloïde ou bien qu'il en renferme un ou deux; dans le cas de l'hyperboloïde à une nappe, la section peut aussi se composer de deux droites.

Une surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques quelconques S et S^ est-elle réglée ou non ? On peut facilement le savoir à l'avance en se servant de cette propriété que tout plan tangent d'une surface réglée a avec elle une ou deux droites communes. Or, le rayon SSj de la gerbe S a pour corres])ondant le plan tangent en S^ et les différents plans du faisceau SS^ ont pour éléments correspondants les différentes tangentes à la surface en Sj. Si deux des rayons de ce faisceau de tangentes sont contenus dans les plans du faisceau SS^ qui leur correspondent, le plan tangent a ces deux rayons communs avec la surface du second ordre et cette dernière est une surface réglée. Si la coïncidence n'a lieu que pour un seul rayon, nous avons un cône ; enfin, si aucun des rayons du faisceau de tangentes n'est situé dans le plan qui lui

40 GÉOMKTllIE DF. POSITION.

con-espoii(1, la surface du second ordre n'a pas de génératrices rectilit^nes. Dans le cas tout à fait particulier où trois plans, et par suite tous les plans du faisceau SS^ passent par les rayons de S^ qui leur corresi)ondent, la surface du second ordre se décompose en deux plans; et il en résulte que toute conique commune à la surface et à un plan quelconf|ue doit se décomposer en deux droites.