SIXIÈME LEÇON

Polarité des surfaces du second ordre. — Diamètres , centre et axes principaux de ces surfaces.

De mèiiie que les courbes du secoud ordre, les surfaces du secoud ordre possèdeut aussi certaines propriétés qu'on désigne généralement sous le nom de propriéU's polairoti ou de pohirilr. On peut les établi)" facilement au moyen des ihéorèmes de la cinquième leçon. Dans ce qui suit, nous laisserons de côté les surfaces coniques du second ordre, parce que leurs propriétés polaires ont été déjà démontrées en même temps que celles des courbes du second ordre (I, page 106).

Soit A un point quelconque de l'espace, cjui n'est pas situé sur une surface donnée F^ du second ordre. Nous menons par A des sécantes quelconques à la surface et sur chacune d'elles nous déterminons le ]ioinl qui est harmoniquement séparé de A par les deux points où la sécante rencontre la surface. Tous ces points conjugués harmoniques doivent alors se trouver dans un même plan a. En effet, le lieu géométiique de ces conjugués harmoniques et un plan quelconque, f[ui passe pai' \ et qui coupe la surface F- suivant une courbe du second ordre, ont une droite commune qui est la polaire du point A par rajiport à cette courbe du second ordre ; et comme toutes ces droites, qui se coupent deux à deux, ne passent pas par un seul et même point, elles sont toutes situées dans un seul et même plan a. Ce plan renferme aussi les points de contact des tangentes que l'on peut mener de A à l'une quelconque des courbes du second ordre dont il vient d'être question ; il contient également les points d'intersection des tangentes

de ces courbes dont les points de contact sont situés sur une droite passant par A (Voir I, pages 96 — 97). Il en résulte que deux plans tangents quelconques à la surface, dont les points de contact sont situés sur une droite passant par A, se coupent sur le plan a; en effet, les tangentes contenues dans ces plans tangents se coupent deux à deux suivant des points de a.

Nous dirons que a est le phni polaire ou la polah^c de A et que, réciproquement, A est le pôle du plan a. Le plan polaii"e d'un point quelconque se trouve donc déterminé par les propriétés suivantes des surfaces du second ordre qui peuvent servir chacune k le définir et à le construire.

Hi par un point A, non situé sur une surface donnée du second ordre, ou mène à cette surface des sécantes et des plans sécants et si l'on détermine :

V Les points de ces sécantes^ hai'moniquement séparés de A par la surface ;

2° Les polaires de A par rapport aux coniques communes à la surface et aux plans sécants ;

3" Les droites d'intersection des plans tangents à la surface en deux points situés sur une même sécante ;

4" Les points de contact de toutes les tangentes et de tous les plans tangents à la surface, qui passent par A;

Tous ces points et toutes ces droites sont situés dans un même plan a, appelé le plan polaire de A et dont A est le pôle .

Les tangentes qu'on peut mener k la surface donnée par l'un quelconque de ses points forment un faisceau de rayons du premier ordre. Si, au contraire, on considère un point quelconque A, non situé sur la surface et dont le plan polaire coupe cette surface, on voit que :

Les points de contact de toutes les tangentes et de tous les plans tangents qu'on peut mener à une surface du second ordre par U7i point donné quelconque A sont situés sur une conique; par conséquent . les tangentes elles-mêmes sont situées sur une surface conique du second ordre, qui est enveloppée par les plans tangents.

La conique dont il s'agit dans ce théorème est celle qui est commune à la surface du second ordre et au ])laii polaire de A. Il est clair que, réciproquement, tout droite qui unit un point P de cette conique avec A est tangente en P à la surface du second ordre ; en effet, si elle coupait la sui'face en un autre point Q, le point harmoniquement séparé de A par P et Q serait extérieur au plan polaire de A, puisque P est situé

dans ce plan. Tout plan qui projette une tangente de la conique du point A est donc un plan tangent de la surface. Comme une droite quelconque menée par A ne rencontre pas plus de deux tangentes de cette conique, lîous avons ce théorème :

Par une droite^ qui n'appartient pas tout entière à une surface du second ordre, on ne peut mener plus de deux plans tangents à la surface; cette surface est donc de seconde classe.

Étant donnée une surface quelconque du second ordre, à tout point qui n'est pas situé sur la surface correspond un plan polaire. Pour le cas limite que nous avons laissé de côté jusqu'ici, nous dirons qu'à tout })oint situé sur la sui-face correspond comme plan polaire son plan tangent et réciprof[uement que le pôle de tout plan tangent à la surface est son point de contact. Le théorème suivant établit clairement le mode de correspondance des points et des plans.

Étant donnés deux points A et B, si le premier est situé dans le plan polaire du second, le second est aussi dans le plan polaire du premier.

Étant donnés deux plans, si le premier passe par le pôle du second, le second passe aussi par le pôle du premier.

En effet, coupons la surface du second ordre par un plan contenant les points A et B et construisons la polaire de chaque pohit par l'apport à la courbe de section. Par hypothèse, la polaire de B passe par le point A ; par conséquent (I, ])age 99) la })olaire de A passe par le point B. Or, la polaire de A par rap])ort à cette courbe de section est contenue dans le plan polaire de k par rapport à la surface du second ordre ; donc B est situé dans ce plan polaire. Le théorème de droite n'est que la répétition de celui de gauche.

Si donc un point se meut dans un plan, son plan polaire pivote en même temps autour du pôle de ce plan ; et si un plan pivote autour d'un point, son pôle se meut dans le plan polaire de ce point. Nous déduisons de là que :

Si un point se meut sur une I Si un plan tourne autour d'une

droite et par conséquent dans deux plans en même temps, son plan |)olaire tourne autour d'une droite ; en effet, iL tourne autour des

droite, et par conséquent autour de deux points de cette droite en même temps, son pôle se meut sur une droite ; en effet, il se meut

pôles des deux plans et |)ai- conséquent autour de la droite ([ui réunit ces pôles.

dans les plans polaires des deux points et par conséquent sur l'intersection de ces plans.

Etant données deux droites, on dit que Tune d'elles est Xa polaire de l'autre, quand les plans polaii'es de tous les points de l'une passent par l'autre et quand, réciproquement, les jiôles de tous les plans passant par Tune sont situés sur l'autre. La surface du second ordre fait donc correspondre à toute di-oite de l'espace une auti'e droite qui est sa polaire. La double j)roposition qui précède peut aussi s'énoncer comme il suit:

Si une droite passe par un point, sa ]X)laire est située dans le ])Ian ])olaire de ce point.

Si une droite est situé dans un plan, sa polaire passe par le pôle de ce plan.

D'après cela, pour construire la polaire (j^ d'une droite {/, nous pouvons chercher les plans polaires de deux points de g et déterminer leur droite d'intersection gy, ou chercher les pôles de deux plans passant pai' g et déterminer la droite gi qui les unit. Si la droite g est coupée en deux points pai- la surface du second ordre, les deux plans tangents à la surface aux deux points d'intersection passent ])ar la polaire f/, de g. Si de g l'on peut mener deux plans tangents à la surface, r/i contient les deux points de contact de ces plans. Si g est tangente à la surface, elle est coupée par sa polaire en son point de contact et se trouve avec elle dans un plan tangent de la surface; en effet, g étant située dans le plan tangent, r/, doit contenir le pôle de ce plan, c'est-à-dire son point de contact, et connue g passe par ce point, r/, doit être située dans le plan polaire de ce point, c'est-à-dire dans le plan tangent.

Dans tout autre cas, nous pourrons déterminer la polaire 7, d'une droite g ainsi (|u'il suit. Nous couperons la surface du second ortke pai" des plans contenant la droite g et nous cherchei'ons le pôle de g par ra|)poi-t à chacune des courbes d'intei-section ; tous ces pôles sont situés sur la droite 7,. Lu elfet, soit P l'un (pielconque de ces pôles; le plan ])olaire de V passe par la droite g et par conséquent P doit être situé sur r/,. Quelle construction réciproque ])eut-on déduire de celle qu'on vient de donner?

Pour construire le pôle d'un plan donné, nous cherchons les plans ou

les droites polaires d'un nombre quelconque de points ou de droites situés par ce plan; tous ces plans ou droites polaires se coupent au point cherché, lui j)aiticulier, les plans tangents en tous les points connnuns à la surface et au plan passent par le pôle cherché ; si i)ar une droite quelconque du plan on peut mener deux plans tangents à la surface, le pôle est situé sur la droite qui unit les deux points de contact et il est liannoni([uement séparé (II, page 42 ) du plan donné par les deux plans tangents.

La polarité des surfaces (hi second ordre nous coudiiil à ini cas particulier de la réciprocité dans l'espace. En ellet, puisque par le moyen d'une surface du second ordre à tout point P correspond un plan TT connne plan polaire et à tout plan ou toute droite passant par I* un point, qui est le pôle du plan, ou une droite, qui est la polaire de la droite, ce point ou cette droite étant contenus dans tt, la définition générale de la réciprocité (donnée II, page 25) trouve immédiatement son application ici.

Deux formes de l'espace sont rapportées réciproquement l'une à l'autre, et par suite projectives, quand elles sont les polaires l'une de l'autre par ra})port à une surface du second ordre.

Au moyen de ces remarques, on peut démontrer maintenant le théorème qui suit.

Toute su)'face du second ordre est enveloppée jnir une gerbe de plans du second ordre.

Imaginons la surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques S et Sj, de telle sorte qu'en tout point P de la surface se coupent un rayon de S et le plan correspondant de S,. Alors tous les plans tangents de la surface sont engendrés par deux systèmes plans réci])roques t: et q, le plan tangent en un j)oint quelconque P joignant un rayon de i au point correspondant de cr,. Les deux systèmes plans sont les polaires par rapport à la surface du second ordre des gerbes 8 et Si ; la surface est respectivement tangente en S et S^ aux plans c et Cl et toute droite ou tout plan de S ou de Si a respectivement pour élément correspondant une droite ou un point de a ou a^.

En vue de nos recherches ultérieures, nous introduirons encore les dénominations qui suivent :

Deux points, ou un point et un rayon sont dits conjugués, quand

Deux plans, ou un plan et une droite sont dits conjugués^ quand

chacun d'eux est situé sur le plan polaire ou la droite polaire de l'autre.

chacun d'eux passe par le pôle ou la polaire de l'autre.

Dcua: dioiies sont dilcs conjuguées, fiiuiinl <h(tcune d'elles est dans lin même plan avec la polaire de Vaalre.

D'après cela, un point est conjugué à tous les points et à tous les rayons qui sont situés dans son plan polaire; un plan est conjugué à tous les rayons et à tous les plans qui passent par son pôle ; et enfin une droite g est conjuguée à tous les points situés sur sa polaire j/j, à tous les plans qui passent ])ar (ji et à toutes les droites qui sont coupées par rj^. Tout [)oint, toute tangente et tout plan tangent de la surface est conjugué à lui-même.

Si deux points A et B sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, ils sont aussi conjugués par rapport à toute courbe du second ordre suivant laquelle un plan quelconque du faisceau AB coupe la surface.

Si deux plans a et [i sont conjugués par rapport à une surface du second ordre, ils sont aussi conjugués par rapport à tout cône du second ordre circonscrit à lasurface et dont le sommet est situé sur la droite a^.

En effet, par hypothèse, le plan polaire du pohit A passe par B ; il renferme donc aussi (II. page 42) la polaire de A par rapport à la courbe d'hitersection du second ordre, et par conséquent cette polaire doit contenir le point B, ainsi qu'on l'a énoncé. Cette double proposition admet une réciproque.

Soit donc g une droite qui n'est pas conjuguée à elle-même (c'est-àdire qui n'est pas tangente à la surface du second ordre) et supposons qu'on fasse correspondre l'un à l'autre

les points de la ponctuelle g qui sont conjugués deux à deux, ces points sont accouplés involutivement (I, page 147).

les plans du faisceau g qui sont conjugués deux à deux, ces plans sont accouplés involutivement.

Si dans ufl faiseeau de rayons, dont le centre et le plan ne sont pas conjugnés à eux-mêmes, on fait correspondre entre eux les rayons conjugués deux à deux, ses rayons sont accouplés invohitivement.

DIAMÈTRE?, PLANS DIAMlÎTl^AUX, CENTRE, ETC. 47

Ce dernier théorème peut se ramener aux précédents. En elïet, nous pouvons dans le plan du faisceau faire correspondre à chaque rayon un l)ohîtqui lui est conjugué; nous obtenons ainsi une ponctuelle dont les points sont accouplés involutivement et à laquelle le faisceau de rayons est perspectif.

Si un point ou un rayon décrit un système plan a, sa polaire décrit une gerbe A réciproque à «, dont le centre est le pôle du plan a. Toute section plane p de cette gerbe est également ra])portée réciproquement à a et toute gerbe B perspective à a est réciproque à A. Donc:

Deux systèmes plans a et [i, dont les heux ne sont pas conjugués, seront rapportés réciproquement Fun à l'autre, si à tout point de Tun on assigne comme correspondant la droite de l'autre système qui lui est conjuguée.

Deux gerbes A et I>, dont les sommets ne sont pas conjugués, seront rapportées réciproquement l'une à l'autre, si à tout rayon de l'une on assigne connue correspondant le plan de l'autre gerbe qui lui est conjugué.

Si un point décrit une forme rectiligne g, son plan polaire décrit un faisceau de plans g^ projectif cà^/ ; toute section de j/^ est donc projective à g et toute projection de g est projective à g^. Entre autres propriétés, on déduit de là que :

Deux ponctuelles ou deux faisceaux du premier ordre, dont les lieux ne sont pas conjugués, seront rapportés projectivement entre eux, si l'on assigne comme correspondants l'un à l'autre les éléments de ces formes qui sont conjugués deux à deux.

APPENDICE

DIAMÈTRES ET PLANS DIAMÉTRAUX — CENTRE, AXES PRINCIPAUX ET PLANS DE SYMÉTRIE DES SURFACES DU SECOND ORDRE.

Les points milieux de toutes les cordes qu'on peut mener dans une surface du second ordre parallèlement à une direction donnée quelconque sont situés dans un plan diamétral de la surface. Ce plan renferme aussi les points de contact de toutes les tangentes et plans tan-

48 GÉOMETRIt: Di: POSITION.

genls, meurs ù la surface j)(t)'allèle>nciil a hi (lireclioti (hniiiée, et les centres de loiiles les combes du second ordre ([ui soiil slhiées sur la sin-fdce el doiil les pions eoiilieinieiil celle direclloii.

Ce pla)i diomêlral est lo plan polaire du poini à riiifini cpil est siltié sur la (liiection donnée.

Si l'on coupe vne surface du seanid ordre pa)' an faisceaa de phtns poj'allèles, les cenh'cs de lonles les courbes d'inlosi-clion soni silaes sa r nue droïlc qiC on appelle un diamètre de la sarface. Les plans lan- (fcnls ((ax points ou la surface esl coupée par le dianièire soit parallèles aux plans sécants.

Ce diamètre esl la ])oIaii'e de la droite à l'iiilini qui est commune aux plans parallèles.

Tous les diamètres et tous les plans diamétrau.) d'une surface du second ordre passent par un inènw point.

C'est le pôle du plan à rinfini, parce que ce plan contient les polaires et les pôles de tous les diamètres et de tous les plans diamétraux.

Si la surface du second ordre est tangente au plan à Tinfini, le point de contact est le pôle de ce plan; ce pôle est donc aussi ù Tinlini. C'est ce qui a lieu pour les deux paraboloïdes ; donc :

Les diamètres et les plans diaméiraax d'un paraboloïde elliptique ou hyperbolique passent par le point à fin fini oii la surface est tangente au plan à Vinfini. Les diamètres d'u)i paraboloïde sont donc parallèles.

Pour les autres surfaces du second ordre, le pôle du i)lan à Finfini est un i)oint ])ropre qu'on appelle \e centre de la surface.

Le centre d'an ellipsoïde, d'un ligperboloïde à une nappe ou d' un hijperboloide à deux nappes esl aussi le centre de toutes les coaibes du second o)-dre qui sont situées sur la surface el dont les plans j)assent par ce point. Toute coi'<le de la surface qui passe par le centre est bisseclée par ce point.

Eu efl'et, le centre est conjugué à tout point et à tout rayon à Tinfini et il est séparé harmoniquement du point à l'infini sur cha({ue corde par les deux points où cette corde perce la surface (II, page 45).

Tous les plans tangents aux points à rinfini sur un hijperboloïde à une ou à deux nappes se coupent au centre de la surface {U, ])age hb)et enveloppent vu cône du second ordre., qu'on appelle le cône asijmptotique de l'hyperboloïdc.Le cône asijmi>loli(jae esl langent à l'hgperboloïde le long de sa couibe à l'infini. Un plan sécant quelconque a en

DIAMÈTRKÇ, PLANS DIAMÉTRAUX, CENTRE, ETC. 49

coininuH avec Vhyperboloïdc une ellipse, une parabole oit une hyperbole^ selon que ce plan ou un plan pavallèle coupe le cône asijuiplolïque suivant une ellipse, une parabole ou une hyperbole.

Un diamètre quelcon([ue cVun ellipsoïde ou d'un hyperboloïde a pour conjugués un ])lan diamétral, et l'un quelcon(|ue des diamètres situés dans ce plan diamétral. Le plan conjugué divise en deux parties égales toutes les cordes de la surface qui sont parallèles au diamètre ; et réci- [)roquement, le diamètre passe par les centres de toutes les coniques de la surface dont les plans sont parallèles au plan diamétral f[ui lui est conjugué. Si le plan ([ui unit deux diamètres conjugués coupe la surface du second ordre, ces diamèti'es sont aussi des diamètres conjugués dans la section qu'il détermine dans la surface, parce que toutes les cordes de cette courbe qui sont parallèles à l'un des diamètres sont bissectés par l'autre.

Un diamètre qui est perpendiculaire au plan qui lui est conjugué s'appelle un axe principal ou m\ axe de la surface du second ordre.

Un paraboloïde na qu^in seul axe a.

Les centres des coni([ues de la surface, dont les plans sont normaux à la direction du diamètre, sont situés sur cet axe. Les plans diamétraux qu'on peut mener par l'axe a sont conjugués deux à deux; par consé- ([uent, le faisceau de plans a est eu involution (II, page 40). Coupons-le par un plan perpendiculaire à a, qui nous domie un faisceau de rayons en involution; il en résulte que suivant que ce faisceau sera rectangulaire ou non, les plans -conjugués a et a^ du faisceau a seront perpendiculaires deux à deux, ou qu'il y en aura au moins un couple satisfaisant à cet te condition (I, page 181). Or, comme le plan a est conjugué et normal à tous les plans qui sont perpendiculaires à l'axe principal «, il est aussi normal à la direction sur laquelle est situé son pôle à l'infini ; il divise donc en deux parties égales toutes les cordes du paraboloïde ({ui lui sont normales et l'on peut d'après cela lui donner le nom de plan de syniélrie de la surface. 11 en est de même pour le plan aj.

Le paraboloïde a donc au moins deux plans de syuiélrie qui se coupent normalement suivant son axe.

Si tout plan mené par l'axe a est un plan de symétrie, toute courbe d'intersection du paraboloïde par un plan perpendiculaire à a possède un faisceau rectangulaire de diamètres, comme on Ta remarque précédemment ; cette courbe est donc un cercle ^I, page 11 I). Dans ce cas, le paraboloïde est un paraboloïde de révolution.

En général, les diamètres tfun ellipsoïde on (\\u\ hyperboloïde ne sont pas perpendiculaires aux plans diamétraux qui leur sont conjugués. Car lorsque ceci a lieu d'une manière générale, lorscpe par conséquent tout diamètre est un axe principal de la surface, celle-ci est une sphère. En elTet, dans ce cas, tout faisceau de diamètres est rectangulaire et conséquemment la courbe suivant laquelle son plan coupe la surface est un cercle; et par suite aussi, tous les points de cette surface sont à égale distance de son centre. — Dans un ellipsoïde ou un hyperboloïde, il n'y a en général qu'un seul diamètre f/j conjugué à un diamètre d qui lui soit perpendiculaire ; ce diamètre d^ se trou\ e à la fois dans le plan diamétral S conjugué à d et dans le plan diamétral ô^ perpendiculaire à d.

Si le diamètre d décrit autour du centre de la sui'i'ace un faisceau de rayons y, le plan diamétral o qui lui est conjugué décrit un faisceau de plans projectifs au faisceau de rayons y (II> page 4^)) et dont l'axe (j est conjugué au plan y. En même temps, le plan diamétral B^ normal à d décrit un second faisceau de plans dont l'axe g^ est normal à y ; et ce faisceau de plans g^ est aussi projectif au faisceau de rayons y, puis(|ue deux rayons dece dernier comprennent entre eux le même angle que les plans du premier faisceau qui leur sont perpendiculaires. Les faisceaux de plans (j et g^ sont donc projectifs entre eux et engendrent en général un cône du second ordre.

Si un diaitièlrc d, qui pivote uniour du centre d\iu ellipsoïde on d'un hyperboloïde, décrit un faiaceau de rayons y, le diamètre d, gui lui est conjugué et normal décrit en même temps un cane du second ordre, qui a pour sommet le centre de la surface.

Il n'y a d'exception à ce théorème que si le faisceau de rayons y contient un axe principal de la surface, parce que les faisceaux de plans g et g^ ont alors comme élément correspondant commun le plan diamétral conjugué à l'axe principal et })ar conséquent sont perspectifs.

A l'aide dece théorème, nous pouvons démontrer que tout eUipsoïde et tout hyperboloïde a des axes principaux (cette proposition se trouve déjà établie pour le cas d'exception ([ue nous venons de mentionner). Supposons qu'on construise les cônes du second ordre r et E qui correspondent à deux faisceaux de diamètres y et s ; et admettons que l'on ait choisi s de telle manière que E réunisse l'un à l'autre deux diamètres menés l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur de r ; ceci peut se faire facilement. Les cônes concentri({ues r et E doivent alors se couper ; ils

AXES d'une SUHFACE DU SECOND ORDRE. 51

auioiil tlonc au moins deux rayons et au plus ([uatre rayons communs. IVun de ces rayons communs est conjugué et normal au rayon commun aux faisceaux de diamètres y et £ ; tout autre d'entre eux a a un diamètre conjugué aussi bien dans y que £ et il est normal à ces diamètres. Par conséquent a est aussi normal au plan dans lequel ces rayons conjugués sont situés ; c'est donc un axe principal de la surface considérée (ellipsoïde ou hyperboloïde). Le plan diamétral conjugué à l'axe a est un plan de symétrie de la surface, puisqu'il bissecte toutes les cordes qui lui sont perpendiculaires.

Le faisceau involutif de diamètres, situé dans le plan de symétrie, est rectangulaire ou renferme deux diamètres conjugués 6 et c qui sont perpendiculaires l'un à l'autre. Dans le premier cas, comme pour le j)araboloïde, on voit que la surface du second ordre est de révolution et que chacun de ces diamètres est un de ses axes principaux ; dans le second cas, la surface n'a que trois axes principaux a, 6, c qui sont perpendiculaires entre eux et conjugués deux à deux.

Dans les recherches qui précèdent et qui ont trait aux axes principaux d'un ellipsoïde ou d'un hyperboloïde, nous avons pi'is pour point de départ cette proposition que tout diamètre a un plan diamétral conjugué et qu'à tout faisceau de diamètres correspond un faisceau, projectif de plans diamétraux conjugués. De même, dans les cônes propres du second ordre, à tout rayon passant par le sommet correspond un plan diamétral et à tout faisceau de rayons un faisceau projectif de plans diamétraux conjugués. Nos considérations sont donc encore applicables aux cônes du second ordre et nous pouvons énoncer le théorème ainsi qu'il suit:

Tout ellipsoïde, tout hyperboloïde et tout cône propre du second a trois axes principaux perpendiculaires entre eux; les trois plans qui les joignent deux à deux sont des plans de symétrie de la surface. C\'s( seulement quand la surface est de révolution qu'elle a plus de trois axes principaux ; elle en a alors une infinité.