SEPTIEME LEÇON

Affinité, similitude et congruence des systèmes plans et des courbes du second ordre.

Deux systèmes collinéaires ])lans i: et "i^ sont dits alliés, ou en offinilé, quand leurs droites à rinfini se correspondent. A tout point à l'infini dans l'un des systèmes correspond un point à l'infini dans l'autre, à tout parallélogramme correspond un parallélogramme, à toute ponctuelle une ponctuelle piojective semblable (I, page 92). Une gerbe de rayons parallèles est coupée par deux plans quelconques suivant des systèmes alliés.

Pour rapporter l'un à faiilrc deux sijslè)n('s plans tic numièrc quils soiciil en affinité, nous poiivoits prendre àvolonté dans chacun d'eux un triangle propre et faire correspondre arbitrairement les uns aux antres les soniniels de ces triau(iles. Ces triangles forment avec les droites à rinfini des deux sijsièmes deux quadrilatères complets rapportés r un à r autre ; parleur uioijen, le point ou le rayon deVun des systèmes qui correspond, à un point ou ii un rayon de Caulrc système se trouve déterminé d'une seule manière.

JNous savons que dans les ponctuelles projectives semblables les segments homologues sont deux à deux dans un rapport constant et que par suite les ponctuelles sont divisées en parties proportionnelles par leurs points homologues.

Dans deux systèmes alliés i; et li soient donnés deux couples de droites homologues x, y ei x^, j/j (fig. 7) qui se coupent respectivement aux [)()ints M et M, ; supposons de plus qu'on connaisse les rapports

i ll et -rr-rr des segments homologues ; on peut alors construire le ponit

K, de 2^ homologue à un point quelconque K de v en procédant comme

il suit. Nous menons par K une parallèle à x; qui coupe ij en J, et une parallèle à y, qui coupe x en L. Puis nous déterminons le point J, de 7J^ qui correspond à J, de manière qu'il vérifie la proportion suivante

De même nous déterminons le point L^ de Xi qui correspond à L, de manière que

Enfin nous menons par J, une parallèle à Xi et par Lj une parallèle à y^; ces deux droites se coupent en un point K^ qui correspond à K.

Nous pouvons énoncer comme il suit cette règle de construction qu'Euler avait déjà donnée en se servant des termes de la géométrie analytique :

Pour construire la forme alliée à une forme plane donnée, nous rapportons cette dernière à deux axes fixes de coordonnées. Ensuite nous augmentons ou nous dimiiinons les ordonnées de tous les points dans un l'apport constant quelconque et vous en faisons autant pour les

54 géomt'.trif, de position.

abscisses m pmiaiil arbitra ircmenl ie rapport aiuilocpip. Enfni, an moyen do CCS nouvelles coordonnées, nous construisons ions les points de la forme alliée cherchée par rapport à deux axes fixes de coordonnées choisis à volonté.

Si nous donnons le nom de Figure à une portion du système plan limitée dans tous les sens, nous pouvons énoncer pour les systèmes ])lans en affinité un théorème analogue à celui qui a été rappelé plus haut pour les ponctuelles projectives semblables; le voici:

Dans les systèmes plans en affinité les figures cpii se correspondent deux à deux sont dans un rapport constant; ou deux figures quelconques de Vun des systèmes sont entre elles dans le nuune rapport que les figures correspondantes de l'aidre système.

Nous allons démontrer d" abord ce théorème pour les parallélogrammes et les triangles. Soient donc (fig. 7) ABGD et EFGH deux parallélogrammes quelconques de Tun des systèmes 2 et z\jB^G,Dj et EiFjG^Hj les parallélogrammes qui lein* correspondent respectivement dans le second système 2^. Les droites AB et CD sont respectivement coupées, par EH en J et M et par FG en K et L ; de sorte que JKLM est un nouveau parallélogramme de ^ auquel correspond un parallélogramme analogue JjKiLjMj dans ly. Les parallélogrammes ABGD et JKLM sont entre eux comme leurs bases DG et ML, puisque leurs hauteurs sont égales et l'on a de même

JjK.LjMj MjL/

Mais comme les formes rectilignes MLDG et M^L^D^C^ sont projectives semblables, on doit aussi avoir la proportion

DG D^j ML"~ M^L,'

et nous en déduisons la proportion suivante :

AlîGD

A,B,G,D,^ JjKjLjMj

Comme on a de même :

.IkLM KL FFGIi '" FG~

K,Lj J,KjL,M, F.G.-K.F.G.H,

il en résulte la proportion

Kl (lu ~ EiFjGjH/

En joignant cette dernière relation à celle qu'on vient (V écrire, on trouve enfin la relation cherchée :