AB(]D A,B,C,D^ EFGH " E,F,G,H

Remplaçons chaque parallélogramme par sa moitié, c'est-à-dire pai' Tun des deux triangles en lesquels une diagonale le décompose, nous avons la proportion

ABC kfi^G, EFG É,F,G/

Comme les paiallélogrammes ABGD et EFGH ont été pris d'une manière tout à fait arbitraire dans 2, nous pouvons aussi regarder les triangles ABC et EFG comme absolument quelconques. Nous avons démontré de la sorte que deux triangles quelconques d'un système sont entre eux dans le même rapport que les triangles qui leur correspondent dans l'autre système.

Notre théorème s'applique aussi pour des figures quelconques limitées par des lignes droites, parce que l'on peut les décomposer en triangles par le moyen de leurs diagonales ; il doit donc aussi subsister pour les figures à contour curviligne, puisqu'il est vrai pour les polygones qu'on peut inscrire ou circonscrire à ces figures et dont l'aire se rapproche indéfiniment de celle que renferme le contour curviligne.

Il égalité est un cas particulier de l'affinité. Ce cas se produit dans les systèmes alliés, quand deux figures homologues quelconque ont même aire. L'idée d'égalité est prise ici dans un sens plus restreint que dans la planimétrie d'ans le sens d'équivalence ; en effet, par exemple, deux quadrangles KLMN et K^L^M^N^ qui ont même surface ne sont des figures homologues dans deux systèmes en affmité que si les triangles KLM, KLN, KMN et LMN contenus dans le quadrangle KLMN ont respectivement même surface que les triangles K^LjM^, KjE^N^, K^MjN^ et L^M^N^. Il s'agit donc ici de l'égalité qui s'étend aux plus petites parties qui se correspondent dans les figures.

GEOMETRir: DE POSITION.

Deux courbes, qui se corres|)ondent dans des sysièines alliés, ont le même nombre de points à Tinlini et d'asymptotes, puisque tout point à Tinfini a pour correspondant un point à Tinfini, et toute tangente d'une courbe une tangente de l'autre courbe. Une ellipse ne peut donc uniquement avoir pour figures alliées que des ellipses, une parabole des paraboles, et une hyperbole des hyperboles. Réciproquement, il est facile de démontrer que deux courbes du second ordre, et de même espèce, peuvent toujours, et d'une infinité de manières, être rapportées l'une à l'autre par affinité. Ces relations nous conduiront à un grand nombre de propriétés intéressantes :

Pour allier deux paraboles Vmie à Vautre^ nous pouvons prendre à volonté deux points A et C sur Vune et leur assigner pour correspondants deux points quelconques Aj et B^ sur Vautre. De cette ma-

nière, à tout point de Tune des paraboles ou de son plan correspond un point de Vautre parabole ou de son plan.

Soient (fig. 8) CTet CB les tangentes h la première parabole /.• aux points A et B et soient de même CjA^ et CjEj celles de la seconde parabole /t\ en A^ et Bj. Nous devons et pouvons alors allier l'un à l'autre les systèmes plans auxquels appartiennent k et k^ de telle sorte qu'aux sommets du triangle ABC correspondent respectivement les sonnnets du triangle AjB^C^. La parabole k qui est tangente en A et B aux droites CÂ et CB et qui a ])Our tangente la droite à l'infini dans son plan a pour correspondante une courbe du second ordre qui, de même que k^, est tangente aux droites XJ^^ et C^ en A^ et B^ et qui a pour tangente la droite à l'infini ; cette courbe se confond donc avec k^ (I, page 78).

Le segment de la parabole k limité par la corde AB est avec le

triangle AHC dans le même rapport que le segment de A-p limité par ^J^^ avec le triangle \J)fi^. Or, comme les points A et B de h ont été pris d'une manière entièrement arbitraire et peuvent par conséquent être remplacés par deux autres points quelconques de la courbe, il en résulte qu'un segment quelconque de parabole est dans un rapport constant avec le triangle formé i)ar la corde de ce segment et les deux tangentes aux extrémités de cette corde.

Soit maintenant G (fig. 0) le point milieu de AB de sorte que la droite GG soit bissectée par la parabole en D (I, page 114) ; soit de plus EF la tangente en D, qui est parallèle à AB et qui rencontre respective-

ment en E et F les tangentes AG et BG. Représentons par (AB), (DB) et (AD) les segments de parabole limités respectivement par les cordes AB, DB et AD ; nous avons

(AB)(DB)(AD) ABG~DBF A DE '

m désignant une ffuantité constante. D'autre part, la figure nous donne :