DEUXIEME LEÇON

Éléments à l'infini. — Relations des formes fondamentales

entre elles.

Dans la géométrie des anciens, on dit que deux droites sont parallèles entre elles quand elles sont dans un même plan et n'ont aucun point comnmn. On dit de même que deux plans ou qu'un plan et une droite sont parallèles quand aucun point de l'un n'est commun avec l'autre. La géométrie moderne envisage le parallélisme d'une autre manière et nous allons nous occuper immédiatement de faire connaître cette conception diflérente ou définition nouvelle que V. Staudt a nommée définition perspective. iXous y sommes conduits directement en déduisant les formes fondamentales les unes des autres et en considérant l'une connue section ou comme projection de l'autre.

Si une droite u (fig. 0) est située dans le même plan qu'un faisceau de rayons S, mais ne passe pas par son centre, elle le coupe suivant une ponctuelle ; c'est-à-dire que chaque rayon «, h, c,... de S est rencontré par u en un point A, B, C, situé sur cette ligne. Si un rayon, tournant dans un sens déterminé a b c autour de S, décrit le fais-

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ceau s, sa trace sur la droite u décrit en même temps la ponctuelle u dans le sens A B G ; le point d'intersection partant de A marche vers B, le dépasse en s'éloignant toujours jusqu'à l'infini, puis revient de l'infini par le côté opposé jusqu'à ce qu'il ait repris sa position primitive. Suivant la manière dont l'entendaient les géomètres anciens, lorsque la droite mobile est dans la position particulière p, où elle est parallèle à u , elle ne coupe plus cette droite ; de sorte que, par suite de ce cas d'exception, nous ne pouvons plus dire d'une manière générale que toute droite qui est dans un même plan avec ?t a toujours avec elle un point commun. Dans la géométrie moderne, on se débarrasse de cette exception en assignant encore à deux droites parallèles un point commun, à savoir un point infiniment éloigné ou point à tinfini.

D'après les notions de la perspective, une droite quelconque u n'a du reste qu'un seul point à l'infini, parce que, conformément à un axiome d'Euclide, par un point donné S en dehors d'une droite u on ne peut lui mener qu'une seule parallèle p ; et on ne peut attribuer à cette parallèle plus d'un point commun avec u^ parce qu'un autre rayon quelconque du faisceau S n'a qu'un seul point commun avec ?/. Cette conception nouvelle présente sur la manière de voir des anciens cet avantage essentiel qu'elle j)ermet d'énoncei- d'une manière entièrement générale beaucoup de théorèmes dans lesquels il faudrait sans cela introduire des exceptions, et que bien des théorèmes différents en apparence peuvent maintenant être réunis sous un même énoncé. La géométrie analytique nous a du reste familiarisés avec ces considérations ; dans cette science, on a aussi l'habitude de dire que deux droites situées dans un même plan sont parallèles quand les coordonnées de leur point d'intersection sont infiniment grandes et quand par suite ce point lui-même se trouve à distance infinie.

Nous arrivons au point à l'infini d'une droite quand nous imaginons qu'un point se meut toujours dans le même sens sur cette droite, soit dans une direction, soit dans l'autre. Le point à l'infini se trouve donc à la fois de part et d'autre de la droite, aussi bien d'un côté que de l'autre, et la droite se présente à nous comme une ligne fermée dont les deux cotés se réunissent au point à l'infini. Nous sommes forcément conduits à cette conclusion du moment que nous admettons l'idée, justifiée cidessus, que toute droite a un point à l'infini, et un seul. Nous verrons plus loin que nous devrons de la même manière considérer les deux branches d'une hyperbole comme réunies à l'infini. L'analyse conduit

aux mêmes résultats en montrant dans de nombreux exemples qu'on peut passer du positif au négatif non seulement par zéro, mais aussi par l'infini.

Comme, d'après ce qui précède, nous pouvons sur une droite aller d'un point à un autre en passant par le point à Finfini, nous avons maintenant ce théorème général : Su7^ quatre points cViine ponctuelle^ deux couples seulement sont séparés Vun de Vautre; de même que sur quatre éléments d'un faisceau il n'y a que deux couples séparés l'un de l'autre. Et de même qu'un faisceau est divisé par deux de ses éléments en deux angles complets (angles adjacents), de même une forme rectiligne est divisée par deux de ses points en deux segments dont chacun s'appelle le complément de l'autre. L'un de ces deux segments renferme le point à l'infini de la droite quand ce point ne constitue pas lui-même l'un des points limites des segments.

Pour distinguer le point à l'infini d'une droite des points situés à distance finie sur cette droite, on appelle le premier point impropre et les autres points propres. La nouvelle acception qu'on vient de donner pour le parallélisme devrait aussi mériter l'épithète d'impropre. Toutes les parallèles qu'on peut mener dans un plan suivant une direction donnée n'ont en commun qu'un seul point à l'infini ou point impropre ; c'est celui qu'une quelconque d'entre elles a en commun avec les autres. Ces parallèles peuvent donc être regardées comme formant un faisceau dont le centre est un point à l'infini dans le plan et auquel nous donnerons à l'avenir le nom de faisceau de rayons parallèles, quand il y aura intérêt à le distinguer des autres faisceaux de rayons. De même aussi par gerbe de rayons parallèles il faudra entendre l'ensemble de tous les rayons parallèles, de direction déterminée, possibles dans l'espace et de tous les plans qui passent par eux. Nous ferons aussi remarquer que les deux énoncés suivants : les droites parallèles ont même direction et elles contiennent le même point à Vinfiiii, expriment la même chose. Chaque direction détermine un point à l'infini, et réciproquement tout point impropre détermine une direction dans l'espace, de même que toute droite propre détermine une direction et un point à l'infini, celui qui se trouve sur elle.

Nous admettons que tous les points à l'infini d'un plan sont sur une même ligne à l'infini ou ligne impropre. Cette ligne doit être considérée comme une droite, parce que toute ligne propre du plan ne la coupe qu'en un seul point, le point à l'infini sur cette droite, tandis que les

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lignes courbes peuvent avoir plus d'un point commun avec une droite. Cette manière de voir a encore une autre raison : c'est ce fait que, d'après les notions de la perspective, deux plans parallèles doivent avoir en commun tous leurs points à l'infini. Si en elTet un troisième plan les coupe suivant deux droites propres, ces droites ne peuvent se rencontrer suivant aucun point propre; et, puisqu'elles sont dans un même plan, elles sont aussi parallèles et par suite elles ont en commun un point infiniment éloigné appartenant aux deux plans. On démontre de cette manière que tout point à l'infini d'un plan se trouve aussi sur l'autre. Mais, comme en général deux plans qui se coupent n'ont en commun qu'une seule ligne droite, on ne peut attribuer aussi à deux plans parallèles qu'une seule droite commune.

Nous avons dit que les droites parallèles ont même direction; de même nous dirons aussi que les plans parallèles ont même position; et de même que sur chaque direction il y a un point à l'infini, de même dans chaque position il y a une droite à l'infini. Gomme tous les plans parallèles qu'on peut imaginer menés suivant une même position dans l'espace passent par une seule et même droite à l'infini, celle suivant laquelle un quelconque de ces plans est coupé par les autres, on peut regarder des plans parallèles comme formant un faisceau de plans dont l'axe est une droite à l'infini et auquel on donnera le nom de faisceau de plans parallèles.

Nous admettons que tous les points à l'infini et toutes les lignes à l'infini de l'espace se trouvent sur une surface infiniment éloignée ou surface impropre qu'on peut considérer comme un plan, parce qu'elle est coupée par une droite propre quelconque en un point seulement et par un plan propre quelconque suivant une droite. Ce plan à l'infini ou plan impropre est commun à toutes les gerbes de rayons parallèles et à tous les faisceaux de plans parallèles, parce qu'il passe par les centres des premiers et par les axes des seconds. De même dans chaque plan la droite à l'infini est un rayon comnum à tous les faisceaux de rayons parallèles contenus dans ce plan parce qu'elle passe par leurs centres. On ne peut donc assigner aucune direction déterminée à la droite à Finfini d'un plan, mais elle contient la direction (le point à l'infini) de toute droite du plan.

Les relations qu'on peut établir entre les formes fondamentales mettent encore mieux en lumière 1(3S éléments à l'infini ou éléments impropres. On dit que deux formes sont rapportées l'une à l'autre quand

à chaque élément de l'une correspond un élément de l'autre et quand à une série d'éléments se suivant d'une manière continue dans l'une correspond une série d'éléments se suivant d'une manière continue dans l'autre. Deux éléments ainsi rapportés l'un à l'autre s'appellent éléments correspondants ou éléments homologues. Si deux formes fondamentales sont rapportées à une troisième, elles sont aussi rapportées entre elles. En effet, à chaque élément de la troisième correspond un élément de chacune des deux autres formes et par conséquent les deux éléments de celles-ci sont aussi rapportés entre eux ou sont correspondants.

On rapporte deux formes d'espèce différente Tune à l'autre de la manière la plus simple et la plus claire en regardant ou déduisant l'une d'elles comme une section ou une projection de l'autre. Si, par exemple (fig. 6), un faisceau de rayons S et une ponctuelle u ne passant pas par son centre sont dans un même plan, nous pouvons faire correspondre

à chaque rayon le / ^ point de la ponc-

tuelle qui se trouve sur lui. Au rayon /; de S correspond ainsi le point à l'infini de n. Si l'on regarde un système plan 2 comme une section d'une gerbe dont le sommet est en dehors de 2, S et ^ sont alors rapportés l'un à l'autre de telle manière qu'à chaque point de ^ correspond le rayon de S qui passe par lui et à chaque droite de 2 le plan de S qui passe par elle. Au plan de S parallèle à - correspond ainsi la droite à l'infini de ^ ; et chaque rayon de S contenu dans ce plan aura pour correspondant le point de 2 situé à l'infini dans cette direction. A chaque faisceau de plans dans S correspond le faisceau de rayons suivant lequel il coupe 2 ; ce dernier faisceau se composera de droites parallèles, si l'axe du faisceau de plans est parallèle à 2. Si S est une gerbe de rayons parallèles, dont le centre soit conséquemment à l'infini, à chaque point propre de - correspondra un rayon propre de S et à chaque élément impropre du premier système correspondra un élément impropre du second. Si - est le plan à l'infini et S un point propre, à chaque rayon de S correspond son point à l'infini, à chaque plan sa droite à l'infini, à chaque faisceau de rayons une ponc-

Fii.l.