CONIQUES ALLIÉES

Dans deux ellipses ou deux hyperboles alliées, les diamètres se correspondent entre eux, et de plus tout couple de diamètres conjugués de l'une des courbes a pour correspondant un couple de diamètres conjugués dans Tautre. Cette propriété résulte de ce que tout système de cordes parallèles d'une courbe a pour correspondant un système de cordes parallèles de l'autre courbe et, à cause de la proportionnalité des segments homologues, le milieu d'une corde correspond nécessairement au milieu de la corde homologue. En outre, dans les hyperboles alliées, les asymptotes se correspondent entre elles.

Pour allier deux hyperboles Vune à Vautre, nous pouvons faire eorrespondre chaque asymptote de l'une à une asymptote de Vautre el assigner un point ou une tangente de Vune comme élément correspondant à un point ou aune tangente de Vautre hyperbole.

En eiTet, les hyperboles peuvent être rapportées projectivement Tune à l'autre (I, page 131) de telle sorte qu'aux deux points à l'infini et à lui troisième point quelconque de l'une correspondent respectivement les deux points à l'infini et un troisième point quelconque de l'autre. Les deux systèmes plans, dans lesquels les hyperboles sont situées, sont ainsi rapportés coUinéairement l'un à l'autre (II, page 11), et ils sont en affinité, parce que les droites qui joignent les points à l'infini sur les hyperboles, c'est-à-dire les droites à l'infini des systèmes, se correspondent entre elles.

Pour allier entre elles deux ellipses k et k^, nous pouvons assigner comme correspondants les uns aux autres les points A, B et Ap Bj, qui limitent deux demi-diamètres conjugués.

Soient ABCD et A^BjC^D^ (fig. 11) les deux parallélogrammes respectivement inscrits aux ellipses k et A\ et qui ont pour diagonales les deux couples de diamètres conjugués AC, BD et A^C^ B^D^ ; soient de plus M et Mj les centres respectifs de h et de /,j. Nous pouvons maintenant allier les systèmes plans auxquels appartiennent /.; et /v^ de telle sorle qu'aux points A,B,G de l'un correspondent respectivement les points Aj,Bj,Cj de l'autre. Au point milieu M de AG correspond nécessairement le point milieu M^ de AjC^ et l'ellipse A-, qui est tangente en A el C à deux parallèles au diamètre MB et qui passe par B, a pour correspondante l'ellipse A,\, c est-à-dire la courbe du second ordre qui est tangente en A^ et Bj à deux parallèles à la droite M^B^ et qui passe par B^.

Au lieu des diamètres conjugués SÎÂ et MB de l'ellipse k on peut prendre deux autres diamètres conjugués quelconques de cette coui'be ;

les deux ellipses k el A'j peu\ent donc être alliées Tune à l'autre d'une infinité de manières. J*our chaque position de MA et Allî, le parallélogramme ABC!) doit être dans le même rapport avec la surface de l'ellipse k que le parallélogranune AjBjC,D,, qui est resté invariable, avec la surface de rellipse A^. Donc :

Tous les p(it'(illc'lo(/rmnines, inscrits dans une ellii>s(' cl donl les diagonales sont deux diamètres conjmjue's, ont nictnc surface.

Le parallélogramme circonscrit (fig. 11) dont les côtés sont tangents à l'ellipse aux points \,r),C,D a une surface double de ABGD ; donc:

Tous les parallélogranunes, circonscrits à une ellipse et dont les

côtes sont parallèles à deux diamètres conjugues, ont même surface.

Soient 2 r/ et 2 6 les longueurs des deux axes d'une ellipse; 4rt6 est l'aire d'un de ces parallélogrammes circonscrits, car i ab est l'aire du rectangle formé par les tangentes aux sommets de l'ellipse.

Supposons l'ellipse alliée à un cercle de rayon r. Le rapport de la surface J de l'ellipse à i a h est égal au rapport de la surface ti r- du cercle à la surface i r^ du carré circonscrit au cercle (II, page 34). Donc:

-, — 7 = -; — s» ou bien .1 4 a h 4 r

La surface de V ellipse est égale (tu produit de ses deux demi-axes par le nombre r..

CONinUES ALLIÉES. 61

Le cercle étant divisé en quatre parties égales pai' deux diamètres conjugués, il en est de même de l'ellipse.

Deux systèmes plans coUinéaires ^ et y.^ sont dits semblables, quand les angles homologues qu'ils contiennent sont égaux deux à deux. Comme deux parallèles dans ^j correspondent toujours à deux parallèles dans i: et comme tout ])oint à l'infini de i: a aussi pour correspondant un doint à l'infini de ^Ij, les systèmes sendjiables sont aussi en affinité. Les côtés de triangles homologues de :i et i:^ sont proportionnels, puisque les triangles ont leurs angles égaux, et par conséquent, d'une manière générale, le rapport des segments homologues dans les deux systèmes est constant. Deux systèmes semblables sont perspectifs quand deux droites quelconques de l'un d'eux, qui se coupent obliquement, sont parallèles aux droites qui leur correspondent dans l'autre système ; en effet, les droites homologues sont alors deux à deux parallèles entre elles et les systèmes plans ont pour élément correspondant comumn leur ponctuelle à l'infini (voir II, pages 19 et 20). Deux systèmes semblables perspectifs sont dits semblables et semblablemenf plaeés; ils sont des sections parallèles d'une même gerbe, ou bien sont situés l'un sur l'autre et ont de plus un faisceau de rayons correspondant commun. Dans les deux cas, le point par lequel passent toutes les droites qui joignent les points homologues des systèmes est appelé leur centre de similitude.

Si deux courbes semblables du second ordre sont amenées en position [)erspective de manière que deux cordes ou deux tangentes qui se coupent dans l'une d'elles soient parallèles aux cordes ou aux tangentes homologues dans, l'autre, toute corde ou toute tangente de l'une des courbes est parallèle à la corde ou k la tangente homologue de l'autre courbe. Les courbes sont situées dans un plan, en sorte que les droites qui joignent leurs points homologues se coupent en un seul et même point, ou bien ce sont des sections parallèles d'un même cône. Deux ])araboles peuvent toujours être j'egardées comme deux courbes semblables du second ordre ; si l'on place leurs plans et leurs axes de manière qu'ils soient parallèles, les tangentes homologues de ces courbes sont aussi parallèles deux à deux. Deux ellipses ou deux hyperboles ne peuvent être considérées comme des courbes semblables que si on peut les placer dans un même plan de telle sorte que non seulement leurs axes principaux, mais encore deux couples ([uelconcpies de diamètres conjugués se superposent ; en effet, deux diamètres conjugués quelcon-

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quesde Fune des courbes doivent se couper sous le même angle que les (liamèlres conjugués qui leur correspondent dans l'autre courbe. Dans cette situation des deux courbes, leur centre est en même temps un centre de similitude. Des sections parallèles d'une surface du second ordi'e sont, comme on le voit aisément, des courbes semblables ; il n'y a d'exception que quand ce sont des hyperboles situées dans les angles différents que l'ornient les asymptotes.

L'affinité est un cas particulier de la coUinéation et la similitude un cas particulier de l'affinité ; la comjruence est de même un cas particulier de la similitude. On dit ([ue deux systèmes plans semblables sont congruents quand leurs segments homologues sont égaux. C'est ainsi que la coUinéation nous conduit à ces relations géométriques des figures, (|ui ont fait l'objet principal de la planimétrie des anciens.