HUITIEME LEÇON

Affinité, similitude, congruence et symétrie des systèmes de l'espace et des surfaces du second ordre.

Nous dirons que deux systèmes de l'espace 2 et 2^ sont alliés, ou en affinitc, quand leurs plans à l'infini se correspondent l'un à l'autre. Connue, d'après cela, toute droite à l'infini dans - a pour correspondante une droite à l'infini dans -j, deux systèmes plans homologues dans - et ^^ sont aussi en affinité; et de même, deux ponctuelles homologues de 2 et 'L^ sont projectives semblables. A tout parallélogramme de 2 doit correspondre un parallélogramme de 2^ et à tout parallélipipède un parallélipipède.

Pour allier l'un à Vautre deux systèmes de Vespace, nous n avons quà choisir à volonté un tétraèdre propre dans chacun d'eux et à faire correspondre arbitrairement les sommets de ces tétraèdres.

En eiïet, comme les quati-e faces de l'un des tétraèdres correspondent ainsi aux faces de l'autre et qu'en outre les plans à l'infini de chaque système se correspondent entre eux, un élément quelconque de l'un des systèmes détermine sans am])iguïté celui qui lui correspond dans l'autre (II, page 26). La construction des figures alliées dans l'espace peut s'opérer, à l'aide de coordonnées parallèles, d'une manière entièrement analogue à celle qu'on a indiquée précédemment pour le plan (II, pages 53-54). Nous laissons au lecteur le soin de trouver la démonstration facile de cette proposition.

Si nous donnons le nom de co)ps ou .solide à une portion d'un

système de l'espace, qui est limitée dans tous les sens, nous pouvons énoncer la proposition que voici :

Dans les systèmes alliés de l'espace, deux corps ou solides correspondants quelconques sont entre eux dans un rapport constant; ou deux corps ou solides quelconques de Vun des systèmes sont entre eux dans le môme l'apport que les solides qui lui correspondent dans Vautre système.

IN ous allons d'abord démontrer ce théorème pour les parallélipipèdes et les tétraèdres, en supposant connus quelques théorèmes de stéréotomie. Soient P et () deux paiallélipipèdes ({uelcon(|ues de Fun Zdes systèmes et soient 1\ et Qj ceux qui leur correspondent dans 1^. Nous construisons dans }i un troisième pai'allélipipède R compris entre deux des faces parallèles opposées de P et deux des faces parallèles opposées de Q, et nous déterminons le parallélipipède correspondant \\^ dans -,. P et l\ étant compris entre des plans parallèles ont même hauteui' et sont entre eux connue leurs hases; il eu est de môme de V^ et Pi,. Mais les bases de P et Pi sont entre elles dans le même rapport que celles de P, et R,, parce que les systèmes plans qui contiennent ces bases sont en affinité. Donc

Les mêmes raisonnements s'appliquent à Pi, () et R,, 0^ et Ton a :

Ces deux proportions nous doiment alors :

1 = 1^ Q Qi

et par suite le théorème est démontré pour les paralléhpipèdes.

Par tout sommet A d'un parallélipipède (fig. i'i) passent trois arêtes qui joignent trois autres sommets B,G et D avec A. Le plan diagonal B(ll) sépare du parallélipipède un tétraèdre ABGD qui a même hauteur que ce parallélipipède, dont la base est la moitié de celle de ce solide et dont le volume est le sixième de celui du parallélipipède. Dans chacun

ESPACES ALLIlis. 65

des solides P et, Q détachons un tétraèdre de ce genre; nous pourrons les regarder connue deux tétraèdres entièrement arbitraires du système 1, puis([ue P et Q ont été pris d'une manière tout à fait quelron(|ue. Les tétraèdres correspondants dans 1^ sont des parlies analogues de \\ el C\ et connue

lions a\ons démontré de la sorte que deux tétraèdres (pielconques du systèuie - sont entre eux dans le même rapport ([ue les deux tétraèdres correspondants de ij.

Le théorème s'étend aux corps Ihnités d'une manièi'e (|uelcon((ue par des plans, paice (ju'ou [)eut toujours les décomposer en tétraèdres.

Il a également lieu pour les corps à surface courbe, })arce qu'il est vrai pour tous les polyèdres f[u'on peut inscrire ou circonscrire à ces corps et dont le volume peut s'a])procher d'aussi près qu'on le veut du volume des corps considérés.

Si le rapport de deux cor])s homologues est égal à l'uuité, on dit que les systèmes alliés de lespace sont égaux. Les systèmes plans qui se correspondent dans des systèmes égaux de l'espace ne sont pas égaux en général, mais seulement alliés.

Deux surfaces alliées n'ont aucun point commun avec le |)lan à l'inlini, ou lui sont tangentes chacune en un ])oint ou sont coupées par lui suivant une ligne située à l'infini; car à tout point à l'infini de l'une des surfaces doit correspondre un j)oint à l'inlini sur l'autre. JJ'après cela, comme une surface réglée ne peut être coUinéaire qu'à une surface réglée (II, page '29), on voit que deux surfaces du second ordre de même espèce peuvent être alliées l'une à l'autre ; par exemple, deux ellipsoïdes, deux hyperboloïdes à une nappe, deux ])araboloïdes elliptiques, deux cônes propres, etc. Connne tout système de cordes

GÉOMÉTKIE DE POSITION. — 11. O

parallèles clans l'une des surfaces a pour correspondant un système de cordes pardlèles dans l'autre et que tout point milieu d'une corde correspond au point milieu de la corde homologue, il en résulte que :

Dans deux surfaces alliées du second ordre, un plan diaiiiélrat correspond à un plan diamviral et deux diamètres conjugués à deux diamètres conjugués.

■ Supposons qu'on veuille allier deux paraboloïdes elliptiques ou hyperboliques n et IIj ; nous prendrons sur chacun d'eux une courbe du second ordre qui ne contienne pas le point de contact à l'infini du paraboloïde et qui par conséquent ne soit pas une parabole, et nous alUerons ces deux courbes l'une à l'autre; de cette manière, tout pohit de n sera rapporté à un point de IT^. En elïet, soient A,B,C trois points de l'une des courbes k, et D le pôle de leur plan par rapport à la surface n sur laquelle est située /.■; soient de plus Aj,Bj,Cj les points correspondants de l'autre courbe k^ et D^ le pôle de leur plan par rapport à IIj, nous pouvons et devons allier l'un à l'autre les deux systèmes de l'espace dans lesquels sont compris les paraboloïdes de manière que les sommets du tétraèdre ABCD correspondent respectivement aux sommets du tétraèdre AjBjG^D^. Comme les deux systèmes plans ABC et AjBjGj sont en affinité, la courbe k correspond à la courbe k^ de la manière qu'on a supposée et les cônes circonscrits aux surfaces n et 11^ qui projettent A: et /vj respectivement de D et D^ se correspondent l'un à l'autre. Les deux diamètres d et d^ des surfaces n et n^ qui joignent respectivement les points 1) et D^^ aux centres de k et /.-j se correspondent entre eux. Enfin toute parabole située sur II, qui coupe A- en deux points K et L et dont le plan passe par f/, a pour correspondante dans le second système une parabole qui est coupée par /.-^ aux deux points homologues Kj et L^ et dont le plan passe par d^ ; cette seconde parabole est située sur la surface IIj parce qu'elle a en commun avec une section de cette surface sa tangente à l'infini, les deux points K^ et L^ et enfin les tangentes D^lv^ et D^L^. Or, comme un point quelconque de n est situé sur une quelconque de ces courbes, il a pour correspondant un point de 11^ ; c'est-à-dire que les surfaces il et n^ se correspondent entre elles.

Supposons que n (et par suite aussi IIj) soit un paraboloïde elliptique, le plan de l'ellipse k en détachera un certain segment ; ce solide est au cône, qui a pour base k et pour sommet D, dans le même rapport que le solide correspondant de lij est au cône correspondant Dj. Or, comme