SURFACES ALLIÉES DU SECOND ORDRE

nous avons choisi Tellipse k arbitrairement sur la surface FI, nous en concluons ce théorème :

Tout segment cVun jxnaboloïde est dans nu rapport constant avec le cône qui a même base que ce segment et dont le sommet est le pôle de cette base.

On voit aisément par le calcul, dans le cas d'un paraboloïde de

révolution, que ce rapport est égal ky

Pour allier deux ellipsoïdes, nous n'avons qu'à allier entre elles deux courbes k et k^ du second ordre suivant lesquelles ils sont coupés chacrm par un plan diamétral et à faire correspondre l'un à l'autre deux points D et D^ des surfaces dont les plans tangents sont respectivement parallèles aux plans diamétraux de section.

En effet, les deux systèmes de l'espace, dont font partie les ellipsoïdes, peuvent être alliés l'un à l'autre de telle sorte que les ellipses Z^et A-, se correspondent de la manière qu'on vient d'indiquer et que D et Dj se correspondent aussi entre eux. Les centres M et M^ des elhpses, qui sont aussi les centres des ellipsoïdes, sont également des points correspondants. Toute ellipse de l'un des ellipsoïdes qui a deux points connnuns K et L avec k et dont le plan renferme le diamètre MD a pour correspondante dans le second système de l'espace une ellipse qui a en commun avec /.j les points homologues K^ et L^ et dont le plan passe jmr MJ)^. Cette seconde ellipse est située sur le second ellipsoïde, parce qu'elle a en commun avec l'une de ses sections les points Dj, Kj,L^ et les deux tangentes en Kj et Lj qui sont parallèles à M^D^.

Nous pouvons allier les ellipses k et k^ en rapportant les unes aux autres les extrémités de deux couples de diamètres conjugués. Les demi-diamètres MD et M^D^ sont conjugués aux plans de k et /.j par rapport à chacun des ellipsoïdes. Donc :

Pour allier entre eux deux ellipsoïdes, nous n avons quà faire correspondre les unes aux autres les'exlrémités de deux ternes de demidiamètres conjugués.

On déduit facilement de là ce théorème :

Tous les parallclipipèdes dont les faces sont tangentes à nn ellip^ soïde aux extrémités de trois diamètres conjugués quelconques ont le même volume.

Ils sont avec le volume de l'ellipsoïde dans le même rapport que le volume d'un cube avec la sphère qui lui est inscrite, c'est-à-dire

comme 8 :-^« Pour le démontrer, allions 1 ellipsoïde à la sphère. Soit J

le volume de l'ellipsoïde et 2(i, "Ih, 'le les segments interceptés par la surface sur ses trois axes; le volume du parallélipipède circonscrit, dont les laces sont parallèles aux trois |)laMs de symétrie de l'ellipsoïde est i^dhc; on a par consé(|uent :

\ai splière étant partagée en huit parties é(juivalentes par trois plans diamétraux conjugués, il en est de même de l'ellipsoïde (II, page 65).

Pour allier l'un à l'autre deux hyperboloïdes à une ou deux nappes, nous n'avons qu'à allier les courbes A: et k^ du second ordre suivant lesquelles leurs cônes asymptotiques sont coupés par deux plans tangents quelconques et de plus à faire correspondre l'un à l'autre les centres des deux surfaces. Nous ne donnons pas la démonstration de cette propositioji qui est entièrement analogue à la |)récédente; nous ferons seulement remar(|uer ({ue les |)oints de c<jntact des deux plans avec les hyperboloïdes respectifs sont en même temps les (^entres des courbes k et k^ (I, page Hi) et conséquemment doivent se correspondre. Deux ])lans tangents d'un hyperboloïde à deux nappes déterjuinent dans le cône asymptotique deux solides de même volume.

Deux systèmes coUinéaiies de l'espace 2i et 1^ sont dits seniblaldes quand leurs angles homologues sont égaux deux à deux. Par consé(pient (II, page 61) deux systèmes })lans correspondants de ^ et ^j sont aussi semblables et comme, d'api'ès cela, toute droite à l'infini dans 1 a pour correspondante une droite à l'iniini dans 2ij, les systèmes sont en affinité. Les segments homologues de systèmes semblables sont deux à deux dans un rapport constant l'un avec l'autre; ceci résulte du reste du théorème déjà démontré pour les systèmes plans semblables. Si deux systèmes semblables de l'espace sont placés de telle manière que trois di'oites quelcontpies de l'un, qui ne sont ni parallèles à un même plan, ni perpendiculaires entre elles, soient parallèles aux trois droites homologues de l'autre système, les deux systèmes ont leur système plan à l'infini connnun et sont perspectifs (II, page 51 1. Les points homologues sont par conséquent deux à deu\ sui- une même droite avec un entre fixe de coUinéation, qui est le centre de similitude.

SURFACKS ALLIKES DU SECOND ORDRE. 69

Si deux systèmes de l'espace semblables ont leurs segments homologues égaux, nous dirons qu'ils sont coiujnicnts ou symétriques . En effet, si nous amenons les deux systèmes dans une position telle qu'ils aient une gerbe correspondante commune, deux points homologues coïncident, ou bien le segment qu'ils limitent est bissecté par le centi-e de la gerbe. Dans le premier cas les systèmes sont congruents, dans le second ils sont symétriques. Par exemple, la courbe d'intersection de deux surfaces du second ordre concentriques est symétrique par rapport au centre des surfaces et peut se composer de deux lignes symétriques qui ne se réunissent pas.

NKUVIEME LEÇON.

Systèmes réciproques situés l'un dans l'autre. — Systèmes polaires dans le plan et dans l'espace.

Lorsque deux systèmes plans réciproques Z et Z^ sont placés l'un sur l'autre, un point quelconque de leur plan peut être considéré comme appartenant aussi bien à Z qu'à Z^. De même, à toute droite du plan correspondent deux points, puisque nous pouvons attribuer la droite à chacun des deux systèmes réciproques. Il sera convenable, pour cette raison, de désigner chacun des éléments du plan par deux lettres, par exemple, un seul et même point quelconque par Al\. Au point A de Z correspond un rayon n^ dans le système Z^ ; et si nous regardons le même point comme faisant partie de -^ et si nous le désignons par B^, il aura pour correspondant dans Z un rayon b. Etant données deux ponctuelles projectives situées l'une sur l'autre, nous avons cherché précédemment s'il existe des points de Tune qui coïncident avec leurs correspondants dans l'autre, quel en est le nombre et dans quelles circonstances les ponctuelles sont en involulion. iNous allons résoudre ici les questions analogues. Combien y a-t-il de points situés sur les droites qui leur correspondent ? Quand les deux droites qui correspondent à chaque point du plan coïncident-elles?

Lorsqu'un poiîit ÀB^ csl situé sur r un des deux rayons a^ qui lui correspondent, il se trouve aussi sur Vautre h. En effet, au point Bj de la ponctuelle a^ correspond dans 2 un rayon du faisceau A, d'après la définition de la réciprocité. De même, une droite pq^ ne passe par aucun des points /\ et Q qui lui correspondent, ou bien elle passe par ces deux points.