SYSTÈMES RÉCIPROQUES SUPERPOSÉS

Projetons les systèmes réciproques 2 et 2^ par des gerbes issues de deux points quelconques S et S^, ces gerbes sont aussi réciproques et engendrent une surface du second ordre. Tout point du plan qui est situé sur la droite qui lui correspond appartient à cette surface du second ordre, parce qu'il est le point de rencontre d'un rayon de la geibe S avec le plan correspondant de la gerbe S^. Réciproquement, tout point connium à la surface du second ordre et au plan est situé sur les deux droites qui lui correspondent dans les systèmes réciproques 2i et 2. Suivant que la surface du second ordre aura en commun avec le plan une courbe du second ordre, ou deux droites, ou une seule droite, ou un seul point, ou enfin quelle n'aura aucun point réel comnmn avec' lui, on se trouvera en présence de l'un des cas suivants :

Quand deux stjslèines réciproques sont situés dans le même plan, tous les points (réels) du plan situés sur les droites qui leur correspondent forment une courbe du second ordre, ou un système de deux droites, ou une seule droite, ou un seul point, ou bien enfin il ny a pas de point satisfaisant à cette condition. En même temps, les rayons [réels] du plan, qui passent par les points qui leur correspondent, forment un faisceau de rayons du second ordre, ou un système de deux faisceaux de rayons du premier ordre, ou un seul faisceau de rayons du premier ordi'e, ou bien il n existe quun seul rayon qui satisfasse à cette condition, ou enfin il ny en a aucun.

Les formes de rayons, dont il est question dans la seconde partie du théorème, correspondent aux formes de points de la première partie et leur sont doublement perspectives.

En général, la surface du second ordre n'a pas de point commun avec le plan, ou elle le coupe suivant une courbe du second ordi'e; en effet, quand le plan contient deux droites, une droite ou un point de la surface, il lui est tangent et se trouve par suite dans une situation tout à fait particulière par rapport à elle. De tous les cas énoncés dans le théorème, il ne se produit en général que le premier ou le dernier et l'on ne rencontre qu'exceptionnellement l'un des autres. Par exemple, nous verrons que pour les systèmes réciproques en involution, ces cas particuliers ne peuvent jamais se présenter.

Les systèmes plans réciproques sont en situation involutive, quand à tout point du plan correspondent deux droites qui coïncident, quand par suite à tout point correspond doublement une droite. Le théorème suivant montre que cette situation involutive est possible.

Liiio- yj;:t<ni('s jhcn.s m ,'pi( (pu s v el ^ s(,)il m lnv(ihili(.n, (jiiaiid les sommets A, D,C d'un Ividmjlc de '^ ont pour correspond ants les côtés opposés aj,bj,Cj de ce même triangle dans ^^ (fig. 15).

Il est d'abord facile de voir que les sommets du triangle correspondent doublement aux côtés qui leur sont opposés. Par exemple, désignons par Aj le point de :ij qui est l'intersection de />^ et Cj et qui coïncide avec le point A : il a pour correspondant dans i le côté a^ qui joint les sommets B et C et qui coïncide avec la droite n^ de 2

Vu faisceau AA^ correspond donc aussi doublement la ponctuelle ««j ; et comme le point BB^ cori-espond doublement au rayon hh^ de ce faisceau de même que le point CCj au rayon cc^. le faisceau AAj est en involution avec la ponctuelle aa^ (I, page 152). A tout rayon du faisceau AAj doit donc correspondi'e doublement un point de la ponctuelle aa^ et l'on voit de même qu'à tout rayon des faisceaux BB^

et i\i\ correspond douJ)lement un point de hh^ et cc^. Soit donné maintenant un i-ayon quelconque p^ ou p du plan ; il coupe les côtés du triangle en trois points auxquels correspondent doublement trois rayons des faisceaux AA^ BB^ et CCj. Au rayon pp^ doit donc cori'espondre doulîlement le point PP^ suivant lequel ces trois i-ayons se coupent ; autrement dit, les systèmes réciproques sont en involution.

Nous pouvons aussi regarder les deux systèmes en involution comme un système unique dans lequel tout jioint a pour élément conjvgué une droite et toute ponctuelle un faisceau de rayons en involution avec elle; nous donnerons à ce système le nom de système polaire plan. Tout point situé sur la droite qui lui est conjuguée sera appelé vn point double du système et la droite leçoit le nom de raijon double. On peut alors démontrer que :

Un système polaire plan na aucun point double ou rayon double, ou bien il en a une infinité. Dans ce dernier cas, les points doubles

comtihœnt une courbe du sceond ordre qui est lamiente aux raijon doubles et (pion appelle la courbe double ou la directrice du système polaire.

Soit A (fij;. li) 1111 point (lu système polaire, fini est situé sur la droite a qui lui est conjuguée; tout point B de la droite a diiïérent de A doit être situé en dehors de sa droite conjuguée />, j^aire ((ue b passe par A et ne peut pas coïncider avec a. De plus, connue la ponctuelle b est en involution avec le faisceau de rayons B et ])ar suite avec une section de ce faisceau, elle contient, en outre de A, uji second point double C (I, page 149). Le système polaire renferme donc une infinité

de points doubles du moment qu'il en existe un. Si tous ces points doubles étaient situés sur une droite, un rayon quelconque passant par A ne pourrait plus contenir de second éléiuent double, et si ils étaient placés sur deux droites, un point quelconque A de l'une des droites aurait pour conjugué un rayon a qui couperait encore la seconde droite en un point double, ce qui est impossible ]uiisr(ue tout rayon double a ne doit contenir qu'un seul point double A.

Les points doubles du système constituent donc (II, page 71) une courbe du second ordre et cette dernière sera tangente aux rayons doubles, parce que chacun d'eux n'a qu'un seul point double commun avec la courbe.

Nous retrouvons ainsi à nouveau toutes les propi'iétés de la polarité dans les courbes du second ordre ; en même temps, nous voyons qu'il

peut exister des systèmes polaires qui n'aient pas de courbe double réelle. Nous appliquerons encore à ces systèmes polaires les dénominations que nous avons introduites précédemment dans nos recherches relatives à la polarité des courbes du second ordre.

Nous dirons ainsi que, dans le système polaire, tout point est le pôle de la droite qui lui est conjuguée et réciproquement que toute droite est la polaire du point qui lui est conjugué, ^ous dirons de plus que deux points sont conjugués, quand chacun d'eux est situé sur la polaire de l'autre et que deux rayons sont conjugués quand chacun d'eux passe par le pôle de l'autre. Enfin tout triangle du système polaire dont les sommets sont les pôles des côtés opposés et dans lequel par conséquent les sommets et les côtés sont conjugués deux à deux sera appelé un fi-iangle polaire du système.

Un sijstème polaire plan renferme une inftnité de triangles polaires.

On construit un triangle polaire en prenant sur une droite a (fig. 15), qui ne passe pas par son pôle A, un point B qui ne soit pas situé sur sa polaire b, et en déterminant le point G où se coupent les droites a et b. G étant le pôle de ÂB, le triangle ABC est un triangle polaire.

Deux triangles polaires quelconques ABC et DEF cVun même système polaire plan sont inscrits à une même courbe du second ordre et circimscrits à une autre courbe du même ordre.

La démonstration donnée antérieurement (I, page 151) s'apphque également au cas où le système polaire n'a pas de courbe double.

Si, dans un plan, on prend un triangle quelconque ABC comme triangle polaire, et si de plus on assigne une droite quelconque p qui ne passe par aucun des so))imels du triangle (fig. 15) comme correspondante à un point arbitraire P qui n'est situé sur aucun des côtés de ce même triangle, ces éléments déterminent un système polaire plan.

En efiet, nous ])ouvons et devons rapporter réciproquement l'un à l'autre les deux systèmes qui composeront le système polaire, de telle sorte ([u'aux quatre points A,]),G,P de l'un correspondent respectivement les droites B(j,GA,AB, p de l'autre. Ces deux systèmes sont alors en position involutive (II, page 72) comme on le demandait.

Quand le système polaire a une courbe double^ tout triangle polaire ABC a Vvn de ses sommets à l'intérieur et les deux autres à l'extérieur de celte courbe.

En effet, si le sommet A est intérieui- à la courbe double, tous les

points de sa polaire BC sonl extérieurs à cette courbe ; si A est extérieur, sa polaire BCl coupei'a la courbe et les points de cette polaire qui sont conjugués deux à deux, comme B et C par exemple, seront harmoniquement séparés par la courbe, en sorte que l'un est intérieur et l'autre extérieur à la courbe.

Pour décider si un système polaire donné a ou n'a pas de courbe double, il nous suffit de rechercher si deux des côtés d'un triangle polaire quelconque contiennent ou ne contiennent pas de points doubles, ou, ce qui revient au même, si les ponctuelles situées sur ces côtés sont involutives opposées ou concordantes avec les faisceaux de rayons qui leur sont conjugués (I, pages 148-149). Le problème est donc du second degré et se l'ésout aisément au moyen de la construction qui nous a permis de trouver les points doubles d'une ponctuelle involutive.

Un pentagone plan simple ABCDE détermine un système polaire dans lequel chaque côté du pentagone est la polaire du sommet qui lui est opposé.

En ellfet, soit F le point d'intersection de AB et CD ; nous pouvons regarder iVDF comme un triangle polaire d'un système polaire dans lequel E est le pôle de BC ; dans ce système polaire qui est complètement déterminé, A,B,C et D sont les pôles des côtés CD,DE,EA et AB du pentagone qui leur sont opposés.

Si nous projetons un système polaire plan 2 d'un point quelconque S non situé sur 2, nous obtenons une gerbe polaire. Tout rayon de la gerbe S a pour conjugué un plan de la gerbe et réciproquement. Si le système polaire plan a une courbe double, elle sera projetée suivant une surface conique du second ordre qu'on appellera la surface double ou la directrice de la gerbe polaire. Deux rayons ou deux plans de la gerbe sont conjugués, quand ils sont conjugués par rapport à la surface double et réciproquement.

Parmi les gerbes polaires, nous signalerons la gerbe reclan gidaire; dans cette espèce de gerbe, tout rayon est normal à son plan conjugué et les rayons et plans conjugués sont perpendiculaires entre eux. Comme deux liiarêtes polaires d'une gerbe polaire sont inscrits à un cône du second ordre et circonscrits à un autre cône du même ordre, on a le théorème suivant pour les gerbes rectangulaires :

Deux trièdres trirectangles concentriques sont inscrits à une sur-

76 GÉOMKTRIE DE POSITION.

face conique du second ordre et cirronscrils à une surface de même espèce.

On ])eut (Irduii'o de là ce (héorèiiH? qu'élaiit donnée une surface conl(|ue, on peut lui inscrire et lui cii'conscrire une infinité de trièdres ii'irectaiiu,ies. ou bien Ton ne peut lui en inscrire on ciiTonscrire aucun.

Nous allons maintenant procéder pour les systèjncs réciproques de Tespace à des recherches analogues à cehes auxquelles nous venons de nous livrer pour les systèmes réciproques plans. Les résultats ac([uis jusqu'ici vont nous être de la plus grande utilité. Nous exclurons, f{uant à présent, de notre étude le cas particulier où chac[ue plan de l'un des systèmes passe par le point qui lui correspond dans l'autre; ce cas intéressant fera Tobjet de la prochaine leçon.

Soit a un plan (pielconque de l'un des systèmes de l'espace ^ qui ne passe pas par le point correspondant Ai de l'autre système Si- Au système plan a de S correspond une gerbe réciproque Ai dans l,. Nous pouvons couper cette gerbe par le plan a suivant un second système aj f[ui est réciproque au premier système contenu dans a. Tout point de a, qui est situé sur la droite de a^ qui lui correspond, est aussi contenu dans le plan coiTesi)ondant de la gerbe A^, et de plus nous savons déjà ((ue tous ces points, quand il en existe dans a, forment une courbe du second ordre, ([ui ()eut aussi se décomposer en deux droites, se réduire à une seule droite ou bien à un seul point.

Soit, de plus, ^ un plan de S passant par le point B^ qui lui correspond dans S, ; considérons-le comme appartenant à l\ et désignons-h^ en conséquent par ';^, il ain-a pour correspondant dans S un point (] qui doit se trouver sur ^, puisque 7, passe par Bj. Au faisceau G de S qui est situé dans le plan fi correspond dans ^^ un faisceau de rayons qui lui est projecîif. f[ui se trouve dans le plan Yi identique avec ^ et dont le centre est \)^. Ces faisceaux engendrent une coui'be du second ordre ([ui peut se décomposer en deux droites et dont chacun des points est situé sin- le plan (|ui lui correspond dans le système récipro(|ue de l'espace. \\\\ ellet, soit P le point où un rayon (|uelcon([ue ji du faisceau (i est coupé pai' le rayon correspondant />j du plan '■;^ ; à ce |)oint P du rayon y> cori'espond dans le système 1\ u)î plan z, c|ui passe par le rayon />, et pai- suite aussi par le point P lui-même. De là résulte (|ue :

Le lieu de tous les poinis de Vespace, qui sont situés dans les plans correspondants du si/stcme réciproque, est une surface du second

SYSrÈMES POLAIRES. 77

ordre; et tous les plans, (pii passenl par les points (/ui leur corresponde)it, forment une gerbe de plans du second ordre.

Va\ efTet, nous avons déinontiv (juo le lieu de ces ])oinls a en connnun avec un plan quelconque y. ou ^^ (supposé contenir de ces points) une <-ourbe du second ordre, deux droites, une droite ou Jiien enfin un seul point; or, cette propriété ne convient qu'à la surface du second ordre. C'est à cette surface que coi-respond, dans chacun des systèmes réci- |)roques, la gerbe de plans du second ordre dont il a été question dans la deuxième partie du théorème. ÎNoIre théorème n'exclut pas la possibilité du cas oîi aucun point réel de l'espace ne serait situé sur le plan qui lui correspond. Pour une position particulière des systèmes récipro(pies, la surface du second ordre peut aussi se décomposer en deux plans.

Deux systèmes réciproques de C espace ^ et i\ sont en involution. (piand les sonunets AJi,CJ) d'un tétraèdre de S ont pour correspondants dans 1\ les faces opposées aj,[j^,Yj,o^ de ce même tétiaèdre.

\\\ point d'intersection des plans fi,.Ypgp c'est-à-dire au |)oint \ de ^j cori'espond aussi dans i] le plan lUll) ou a, et de juème à chaque autre sonniiet du tétraèdre correspond doublement la face opposée. Il en j'ésulte que le système plan a.^ est en situation involutive par rapport à la gerbe A qui lui est réciproque, car il est en involution (11, page 72) avec une section de cette gerbe. A tout point ou tout rayon de a^ (comme de (J^Yi ^^ ^i) correspond ainsi doublement un plan ou un rayon de \ (ou de B,G ou D). Par conséquent, tout |)lan qui couj)era a,,jSpYj,Cj suivant t[uatre droites quelconques aui'a pour élément lui correspondant doublement le point qui sera projeté de A,B,(1,D suivant les quatre rayons correspondants.

Nous pouvons regarder deux systèmes inxolutifs de l'espace v et v^ comme un seul système dans lequel à tout point correspond un plan et à toute droite une droite. Ce système a reçu le nom de s ijstème polaire de l'espace; tout point est dit le pôle du plan qui lui est conjugué, toute droite ou tout plan est dit la polaire du rayon ou du point qui lui est conjugué. Si le système polaire contient des points situés dans leurs plans polaires, ils se trouvent sur une surface du second ordre appelée \-à surface double on la direct)'ice du système (II, page 7()). Récipro- ([uement, les développements donnés dans la sixième leçon montrent qu'une surface du second ordre, qui n'est pas un cône, détermine un système polaire de l'espace dont cette surface est la chrectrice. Les

définitions données à cet endroit (II, pages 45-46) pour les points, les rayons et les plans conjugués sont applicables à tout système polaire, même ([uand ce système n'a pas de surface double.

On dira de plus que tout tétraèdre d'un système polaire de l'espace dont les sonunets sont les pôles des faces opposées est un tétraèdre polaire.

Dans un pareil tétraèdre, les sommets, les faces et les arêtes sont conjugués deux à deux. Le si/stème polaire de Cespace 7'enferme un nombre infini de systèmes polaires plans, de gerbes polaires et de tétraèdres polaires. En elfet, comme toute gerbe A, dont le centre est extérieur au système plan a qui lui correspond, est réciproque à ce dernier et en involution avec lui, on voit que le plan a est le lieu d'un système polaire dans lequel tout point a pour élément correspondant la droite qui lui est conjuguée; le point A se présente aussi à nous comme le centre d'une gerbe polaire. Tout triangle polaire du système polaire plan est projeté du point A suivant un trièdre polaire de la gerbe polaire et il forme avec ce point un tétraèdre polaire du système polaire de l'espace. Tout système polaire plan a, appartenant au système polaire de l'espace, a aussi un centre et des diamètres, même quand il n'a pas de courbe double. Le centre est le point conjugué à la droite de l'infini du système polaire a et tout diamètre est conjugué à un point à l'infini de a. Les diamètres sont conjugués entre eux deux à deux ; deux d'entre eux sont perpendiculaires l'un sur l'autre et s'appellent les axes du système polaire a. De même, les trois rayons conjugués de la gerbe polaire A, qui sont deux à deux perpendiculaires entre eux, sont appelés les axes principaux de cette gerbe, même quand elle n'a pas de cône double.

Si Von prend pour tétraèdre polaire un tétraèdre AIJCD et si à un point quelconque E, qui n'est situé sur aucune des faces du tétraèdre, Von assigne pour correspondant un plan s, <pn ne passe par aucun des sommets de ce tétraèdre, ces éléments déterminent un système polaire de r espace.

En effet, nous pouvons rapporter réciproquement l'un à l'autre deux systèmes de l'espace de manière qu'aux cinq points A, B, G, D, E correspondent respectivement les plans BCD, (IDA, DAB, ABC et s (II, page 25). Ces deux systèmes sont alors en involution (II, page 77) et, pris ensemble, ils constituent le système polaire.

Le système polaire, situé dans le plan s qui appartient à ce système

polaire de l'espace, est complètement déterminé par rintei'section du plan 'avec le pentagone complet ABGDE de l'espace. En eiïet, chacun

des dix côtés AB, AC, Ï)E de ce pentagone est conjugué dans le

système polaire de l'espace à la face GDE, BDE, ABC, et deux éléments opposés quelconques du pentagone passent d'après cela par deux éléments conjugués l'un à l'autre dans le système polaire plan. Donc :

Les dix couples d'éléments opposés [arêtes et faces) d'un pentagone de Vespace sont coupés par un plan quelconque^ ne passant par aucun de ses sommets, suivant dix couples d'éléments conjugués [pôles et i)(tlai)-es) du système polaire plan.

La figure résultant de l'intersection se compose de dix points et dix droites ; sur chacune de ces dernières sont situés trois des dix points et par chaque point passent trois des dix droites. Si de deux des sommets du pentagone on projette les trois autres sommets sur le plan de section, on obtient deux triangles en perspective, et l'on reconnaît facilement que la figure formée par les dix points et les dix droites est identique avec une autre figure dont il a été question antérieurement (1, page 5). Le tétraèdre formé par quatre des cinq sommets est coupé [)ar le plan suivant un quadrilatère polaire du système polaire plan (I, page 227). Sa projection sur le plan, faite du cinquième sommet, est un quadrangle polaire du système polaire plan et les six côtés de ce quadrangle polaire passent par les six sommets du quadrilatère polaire.

Deux faisceaux de plans, dont les axes ne sont pas conjugués, sont projectifs, quand à chaque plan de l'un correspond le plan qui lui est conjugué dans Tautre (II, page 47). Soient ABCD et EFGH deux tétraèdres polaires quelconques d'un système polaire de l'espace ; on a en conséquence ÂB (CDGH) 7\ EF (DGHG) ; en effet, les plans ABG et ABH, par exemple, ont respectivement pour conjugués les plans EFD et EFG, parce que D et H sont les pôles de ABG et EFG. Or comme ËF (DGHG) 7\Eî' (GDGH), (voiri, page 151), il s'ensuit que ÂB (GDGH) 7\ Èf^(GDGH); ou bien :

Les sommets de deux tétraèdres polaires d\un système polaire de fespace peuvent être réunis avec deux arêtes non conjuguées des tétraèdres par le moyen dune surface réglée du second ordre.