DIXIEME LEÇON

Le système focal et le complexe linéaire de rayons.

Lorstine ileiix systèmes réciproques de Tespace sont jilacés de telle sorte (jiie tout plan de Tnii ])asse par le [)ohit cpii lui correspond dans Tautre, ils sont en involution et leur ensemble constitue ce (|u"on appelle un système focal. Tout d'abord, il est clair qu'aucune droite y de l'un des systèmes n'est coupée par la droite correspondante g^ de l'autre système; car s'il en était autrement, tous les points de la ponctuelle çi ne seraient pas situés sur les plans correspondants du faisceau (j^ ; il n'y en aurait f[ue deux satisfaisant à cette condition : le j)oint (j(j^ et celui qui correspond au plan <|(|^. D'après cela, deux rayons homologues r/, (j^ des deux espaces réciproques ne se rencontrent pas, ou coïncident.

Mais tous les rayons passant par un point P ont pour cori'espondants les rayons d'un plan r.^ passant par P; les rayons passant par P et contenus dans ce plan coïncident donc avec leurs correspondants, puisqu'ils sont situés avec eux dans le plan tCj. Au point P d'intersection de ces droites (jui se correspondent à elles-mêmes doit donc correspondre doublement le plan r.^ (pii les joint, c'est-à-dire que ce plan correspond à P dans les deux espaces réciproques.

Puis(pje, d'après cela, les systèmes réciproques de l'espace sont en ii)\olution, on peut les regarder comme un système unique iloiil les éléments sont deux à deux conjugués entre eux. A l'exemple de Mobius et Von Staudt, nous donnerons à ce système le nom de système focal (NuUsysteme) ; à chacun de ses points correspond un ])lan comme

polaire ou plan focal, à chaque plan un pôle ou foi/er et à chaque droite une droite. D'après cela, le système focal a entre autres pro- ])riétés les suivantes :

Dans le système focal, chaque plan passe par son pôle et chaqne point est situé dans son plan polaire; toute droite^ qui est dayis un même plan avec sa polaire, coïncide avec elle; toute ponctuelle est perspective au faisceau de plans qui lui est conjugué; tout si/stème plan a un faisceau de rayons correspondant commun avec la qerbe qui lui est conjuquée et il est récipro(iue à cette yerhe.

Toute droite qui se correspond à elle-même s'appellera une directrice ou un rayon directeur du système focal. Ces directrices donnent lieu à ce théorème :

Toutes les directrices du système focal, qui passent par un point V ou sont situées dans un plan s, forment un faisceau de rayons du premier ordre.

En effet, elles sont situées dans le plan focal de P ou passent par le foyer de s. L'ensemble des directrices d'un système focal a reçu le nom de complexe linéaire de rayons en raison de cette propriété. Deux rayons de ce complexe, qui se rencontrent, appartiennent toujours à un faisceau du premier ordre dont tous les rayons font partie du complexe.

Soient a et a^ deux droites conjuguées qui ne se rencontrent pas, chaque point de Tune est situé dans le plan conjugué qui passe par l'autre ; il en résulte que :

Tout rayon qui coupe deux droites conjuguées a,aj ne se rencontrant pas est une directrice du système focal; et toute directrice, qui coupe une droite a, doit être dans un même plan avec la polaire a^ de cette droite. Deux couples de droites conjuguées du système focal, qui ne se coupent pas mutuellement, sont donc situées sur un système réglé, dont le système directeur se compose de directrices du système^ focal et appartient au complexe linéaire de rayons. Trois rayons du complexe linéaire, qui ne se rencontrent pas, déterminent un système réglé qui fait partie du complexe.

Car les droites qui les rencontrent sont conjuguées deux à deux dans le système focal.

Deux couples de droites conjuguées a,a^ et b,b^ du système focal coupent un plan quelconque en deux couples de points situés sur deux directrices qui passent par le foyer du plan; a,a^ et b,b^ déterminent

G';oMi:Tr,ii; he i-osniox. - ii. G

donc le foyer d'un plan (quelconque ei le plan focal d'un point quelconque.

Un pentagone gauche simple ABGDE détermine un système focal dans lequel chacun des cinq côtes du pentagone est conjugué à luiuiême et dans lequel par conséquent chaque sommet est conjugué au plan qui passe par les deux côtés adjacents.

En effet, rapportons réciproquement Fun à l'autre deux systèmes de l'espace de manière qu'aux points A,B,C,D,E de l'un correspondent respectivement les i)lans EAB, ABC, BGD, CDE, DEA de l'autre; le côté AB se correspond à lui-même et il en est de même de tout autre côté. Car ce côté AB est d'une part la droite qui joint les points A et B et d'autre part la droite d'intersection des plans EAB et ABC qui correspondent à ces points. Si les deux systèmes considérés ensemble ne constituaient pas un système focal, le lieu de tous les points situés sur les plans qui leur correspondent serait une surface du second ordre passant par les cinq côtés du pentagone (II, page 76) ; cette surface aurait en commun avec un plan quelconque du pentagone, par exemple avec ABC, deux droites AB et BC et en outre elle aurait encore un point autre comnmn situé sur DE, ce qui est impossible. Les systèmes réciproques constituent donc réellement un système focal.

Trois droites g,g^,\ qui ne se rencontrent pas déterminent un système focal dans lequel g et g^ sont conjuguées Vune à Vautre et dont 1 est une directrice.

Menons par g^ deux plans quelconques g^ AE et {/^ CD qui coupent g aux points A et G, Z aux points E et D et désignons par B un point quelconque de g^ ; les côtés du pentagone gauche simple ABGDE sont alors cinq directrices du système focal. Dans ce système, le côté DE ou / est une directrice et la droite AG ou g est conjuguée à la di'oite d'intersection g^ des plans EAB et BGD du pentagone.

Pour construire directement le plan focal d'un point quelconque P au moyen des trois droites j/,j/^,/, nous déterminons d'abord le foyer du plan VI ; ce point se trouve sur l et il est situé sur la droite qui joint les points où les deux droites g et g^ rencontrent le plan. La directrice qui joint ce foyer à P et celle suivant laquelle se coupent les plans Vg et P^ déterminent le plan focal cherché du point P.

Cinq droites quelconques a,b,c,d,e déterminent en général un système focal, dont elles sont les directrices; elles déterminent aussi le complexe de rayons dont elles font parlic.

En eiïet, il existe en général deux droites g etg^ qui coupent les quatre droites a,b,c,d et il n'en existe que deux. Ces droites sont conjuguées l'une à l'autre dans le système focal et, jointes à e, elles déterminent ce système pourvu qu'elles ne se coupent pas et qu'elles ne rencontrent pas c. Quand ces deux droites ne sont pas réelles et quand par conséquent a,b,c,d (et e) ne se rencontrent pas, a,b,e et c,d,e déterminent deux surfaces réglées qui se composent de directrices du système focal cherché.

Sur ces deux surfaces prenons deux couples de rayons a',b' et c',rf' qui soient rencontrés par une droite g et par conséquent aussi par une autre droite g^, a' ,b\c\d' et e ou encore g^g^ et e déterminent le système focal de la manière indiquée précédemment. Ce théorème ne souffre d'exception que si trois des cinq droites a,b,c,d,e sont situées dans un même plan ou font partie de la même gerbe, ou bien si quatre d'entre elles font partie d'un même système réglé; par conséquent, si elles sont toutes coupées par une même droite g.

Deux couples de droites conjuguées p,pj et q,q^ qui appartiennent à un môme- système réglé déterminent aussi un système focal.

Soient a,6,c trois directrices de ce système réglé et d^c deux droites dont l'une coupe p eip^ et l'autre q et g^ le système focal a les droites a,6,c,(/,e pour directrices et est déterminé par elles. Si une droite décrit le système réglé pPiq, la droite conjuguée, qui coupe constamment aussi les trois directrices a,b,c, décrit le système réglé p^pq^ ; mais ces deux systèmes sont projectifs et en involution.

Au lieu du dernier théorème, nous pouvons donc dire aussi que :

Un système réglé en involution pp^^qq^ détermine un système focal dont il fait lui-même partie.

Le centre d'involution de la courbe involutive du second ordi'e suivant laquelle le système réglé est coupé par un plan quelconque est le foyer de ce plan ; et le plan d'involution du faisceau involutif du second ordre qui projette le système réglé d'un point quelconque est le plan focal de ce point. Le système focal renferme une infinité de systèmes réglés involutifs.

Le complexe linéaire de rayons qui passe par cinq droites «, 6, (',c/,<? ([ui ne se rencontrent pas renferme les dix systèmes réglés abc,

abd, cde, et tous les systèmes réglés qui passent par trois rayons

quelconques de ces dix systèmes réglés. En continuant à construire successivement des systèmes réglés de ce gem-e, on peut arriver à

(léteriiiiiier tous les rayons du complexe. Lorsque les ciiK} rayons, (|ui ne se rencontrenl pas, coupent une droite g, mais sont d'ailleurs indépendants les uns des autres, on obtient de celte manière un complexe linéaire singulier qui se compose de tous les rayons qui coupent la droite y; mais dans ce cas, les rayons du complexe ne sont pas des directrices d'un système focal.

Toutes les droites et les j)lans dont les polaires et les ])ôles sont à rinfini sont appelés les diainèires et les plans diaméUaux du système focal. Tous passent par le pôle ou foyer du plan à rinlini, d'où résulte que :

Les diamètres du sijslùnie focal sonl parallèles entre eux et aux plans diamétraux.

Toutes les directrices du système focal, situées dans un même i)Ian diamétral, sont ])arallèles parce qu'elles passent par le foyer du plan, lequel est à l'infini. Le faisceau de rayons parallèles qu'elles constituent ne change pas, quand on le déplace dans la direction du diamètre. Nous en concluons que :

La complexe linéaire et le sijstème focal qui s'// rapporte ne chan- (jent pas quand on les déplace suivant la direction des diamètres parallèles .

Tout plan parallèle à deux droites conjuguées est un plan diamétral du système focal.

Les foyers de plans parallèles sont situés sur un diamètre dont la polaire est contenue dans le plan parallèle situé à rinlini.

Le diamètre n, qui renferme les foyers de tous les plans perpendiculaires aux diamètres, peut s'appeler Vaxe principal du système focal et du complexe linéaire correspondant. Cet axe n est normal à toutes les directrices (\m le rencontrent; il se trou\e sur un même paraboloïde équilatère avec deux droites conjuguées quelconques (j^cj^ ([ui ne le rencontrent pas et coupe normalement la droite ([ui mesure la plus courte distance de (j et^j. En elfet, d'après les théorèmes précédents, toutes les directrices normales à n qui rencontrent g doivent aussi couper (/^ et forment par conséquent un système réglé parabolique (1, page 126).

Quand on donne Taxe })iincipal n, on donne en même temps sa polaire n^ située à l'infini ; il résulte alors immédiatement d'un théorèiiui démontré précédemment que :

Le sijstèmc focal est déterminé par son axe principal n et une direc-

trice 1 prise aî^bitraircmenf, mais qui ne reneontre pas l'axe principal et ne lui est pas perpendiculaire.

Toutes les directrices qui passent par un point quelconque P de / sont dans un même plan :: avec / et la perpendiculaire abaissée de P sur n. Le foyer d'un plan quelconque s mené par P est le point d'intersection de la directrice r.i et de la perpendiculaire élevée à n dans le plan s.

Une gerbe dont le centre C est situé sur l'axe principal n a pour conjugué dans le système focal un système plan qui lui est réciproque et dont le plan y est normal à l'axe principal en C. Aux tangentes d'un cercle situé sur y et ayant son centre en C correspondent donc les rayons d'une surface conique du second ordre dont le centre est C. Or comme par rapport au cercle le point (\ est le pôle de la droite à l'infini n^ du plan v, le plan y est le plan polaire de l'axe principal n par rapport à la surface conique ; et comme deux directrices quelconques qui se coupent rectangulairement en G sont conjuguées par rapjiort au cercle, ces directrices, situées dans y, puisqu'elles se correspondent à elles-mêmes dans le système focal, doivent aussi être conjuguées par rapport à la surface conique. Le plan y est donc un plan de symétrie et tout rayon issu de G et situé dans y est un axe principal de la surface conifiue; donc (I, page 189) :

A tout cercle, aj/ant son centre sur Vaxe principal n et dont le plan est normal à n, correspond un cône de révolution, dont n est Vaxe de révolution.

Si donc on fait tourner d'une seule pièce autour de l'axe principal un point quelconque et son plan focal, le point décrit un cercle et le ])lan focal enveloppe le cône qui correspond au cercle, puisqu'il ne cesse pas d'être le plan focal du point. Donc :

Une rotation autour de Vaxe principal ne change en rien le système focal et le complexe linéaire de rayons.

Ils ne changent pas non plus, si on les fait tourner autour de Taxe principal en leur imprimant en même temps une translation suivant la direction de cet axe, en donnant en un mot au système un mouvement hélicoïdal autour de l'axe principal.

En désignant par r la distance d'un point quelconque P à Vaxe principal n et par p V angle que le plan focal de ce point fait avec Vaxe principal., le produit r. tang p a une valeur constante, indépendante de la position du point.

Pour démontrer cette propriété remarquable, sur Taxe principal 7i et sur une directrice u qui coiq)e rectangnlairement cet axe en un point C, prenons deux ponctuelles projectives égales qui aient le point G comme point correspondant coinjnun. Elles ont pour conjugués deux faisceaux projectifs de plans n^ et u qui ont le plan focal y du point G comme élément correspondant commun, qui par conséquent sont perspectifs et engendrent un faisceau de i-ayons parallèles. Un rayon de ce faisceau est situé à l'infini dans le plan 7iu; c'est celui suivant lequel se coupent les plans focaux des points à Finfini de u et n; le plan du faisceau de rayons parallèles est donc parallèle au plan nu et à une certaine distance e de lui.

Soient maintenant P et P' deux points homologues de u et n, ils sont à égale distance du point G et leurs plans focaux se coupent suivant une droite parallèle à u et située à la distance e du plan vu. Le plan focal de P passe par u et fait avec l'axe principal n un angle p ; le plan focal de P' au contraire coupe rectangulaii-ement l'axe principal en P'. On a par conséquent GP'. tang p = e, ou bien r. tang p =e, cruelle que soit la position du point P sur u. Or, une rotation de la directrice u autour de n et une translation suivant la direction de n permettent d'amener cette directrice à se superposer à une autre directrice quelconque qui coupe l'axe, et le système focal n'éprouve aucun changement par suite de ce double mouvement ; donc, la constante e a la même valeur pour toutes ces directrices, et d'une manière générale, le produit r. tang p est indépendant de la position du point P. Les foyers de tous les plans qui font un angle de 45" avec l'axe principal n sont à la distance e de n et sont par suite situés sur un cylindre de révolution de rayon e.

Soit r la dhtance cVunc génératrice quelconque 1 à faxe principal n et p Vangle que font entre elles les directions de n et [, le produit r. ta7ig p est éaal à la constante e.

En effet, la plus courte distance de n et / coupe normalement ces deux droites aux points G et P, dont la distance PG = r; mais p est l'angle que le plan focal du point G, qui passe par / et G, fait avec l'axe principal. Le théorème est donc ramené au précédent. La relation r. tang p = e, à laquelle satisfont tous les rayons du complexe linéaire, peut être considérée comme l'équation du complexe par rapport à son axe principal.

Les tangentes d'une hélice, cpii a l'axe principal pour axe et qui est tangente à une directrice quelconque, sont toutes des directrices du

système focal. Chaque point de cette courbe a son plan osculateur pour plan focal; par conséquent les plans osculateurs de tous les points communs à l'hélice et à un plan quelconque passent tous par un même point qui est le foyer de ce plan. L'hélice détermine le système focal et le complexe de rayons correspondant ; suivant qu'elle sera dextrogyre ou lévogyre, nous pourrons diviser les complexes en complexes dextrogyres ou lévogyres. L'axe principal et la constante e déterminent le complexe, quand on indique de plus s'il doit être dextrogyre ou lévogyre.

Soient g et gj deux droitefi conjuguées, a et \ leurs distances à Vaxe 'principal du système focal, a et a^ les angles qu'elles font avec cet axe, on a la relation a. tang a^ = a^ tang a. = e; par suite :

a : aj r= taîig a : tang a^

En effet, le plan focal du point de g qui est à la distance a de l'axe principal, passe par g^ et fait avec l'axe principal l'angle a^ ; d'où résulte que

a. tang a^ =e.

Le système focal et ses propriétés les plus importantes ont été découverts, dès 1853, par Môbius * à propos de ce problème de mécanique : Construire les deux forces écpiivalentes à un système de forces données dans Vespace. Ce problème comporte une infinité de solutions. Si l'on choisit pour l'une des forces, le point P par lequel elle doit passer, l'autre est située dans un plan t., passant par P, qui est conjugué à ce point P dans un système focal déterminé par le système de forces. Les directrices de ce système focal se distinguent des autres droites de l'espace en ce que le moment statique du système de forces par rapport à chacune d'elles est nul. Quelques années après Môbius, M. Chasles a retrouvé le système focal^ ; entre autres théorèmes, il démontre le suivant : Si un corps solide éprouve un déplacement infiniment petit, les plans normaux aux trajectoires de ses différents points sont conjugués à ces points dans un système focal déterminé par le déplacement ; il faut toutefois que le déplacement soit dû à un mouvement hélicoïdal et non pas à une translation ou à une rotation simple.

1. MoBius. Journal de Crelk. Tome X, page 317. Voir aussi sa Statique. Leipzisr,

2. Chasles. Aperçu Imtorique. Bruxelles, 1837. 2' édition, Paris, 1875, page 614.

ONZIÈME mm.

Le système de rayons de premier ordre et de première classe.

Un système de rayons est dit du n'' ordre quand, par un point quelconque, il passe en général n de ses rayons et pas plus de n; on dit qu'il est de la k' classe, quand il y a en général k de ses rayons dans un plan quelconque. Les centres des surfaces coniques et les plans des faisceaux de rayons qui peuvent faire partie du système sont appelés les points et les plans sinrjuliers du système.

Les directrices communes à deux systèmes focaux forment un système de rayons de premier ordre et de première classe; en eflet, par un point quelconque il passe un rayon qui est l'intersection des plans focaux du point et de même un plan quelconque contient un rayon du système. Lorsque deux rayons de ce système se coupent, les deux plans focaux de leur point d'intersection coïncident avec le plan qui les réunit et tout rayon de ce plan, passant par le point d'intersection en question, est une directrice connnune aux deux systèmes. Donc :

Deux complexes linéaires ont. un système de rayons de premier ordre et de première classe qni leur est commun. Ce système contient tous les faisceaux de rayons du premier ordre passant par deux rayons du système, qui se coupent, et tous les sj/stèmes réglés passant par trois rayons du système, qui ne se rencontrent pas (II, page 81).

Lorsqu'une surface réglée du second ordi'e passera par un système réglé contenu dans le système, nous dirons, pour abréger, qu'elle est contenue dans le svstème.

SYSTF.ME DE RAYONS DE 1"' ORDRE ET DE l""* CLASSE. 89

Tous les rayons du système de premier ordre et de première classe, qui coupent une droite quelconque g, forment en général un système réglé; ce dernier est déterminé par trois de ces rayons. Soit / un rayon quelconque du système, S un point situé sur / et 7 un plan passant par /; aux points suivant lesquels a est coupé parles autres rayons (lu système nous pouvons faire correspondre les plans suivant lesquels ces rayons sont projetés de S. Aux points d'une droite de 7 correspondent alors les plans d'un faisceau du premier ordre fJ^ passant par S ; en efiet, les rayons du système qui passent ])ar ces points forment un système réglé qui contient aussi le rayon / et dont par consé([ueiit les autres rayons sont projetés de S suivant un faisceau ordinaire de plans {|^.

Le plan 7, de même que tout autre plan mené par /, est donc d'après cela rapporté réciproquement à la gerbe S par le moyen du système de rayons, de telle manière c[u'il a avec S un faisceau de rayons correspondant connnun et l'on voit ainsi que :

Le si/slème de rai/ons de premier ordre et de première classe est coupé par deux plans 7,7^ menés par le même rni/on I, suivant deux si/stèmes collinéaires et il est projeté de deux points (pielconques S,S^ pris sur l suivant deu.r gerbes collinéaires. Ces gerbes sont rapportées réciproquement à ces si/sti'mes plans par le moi/en du sgstème de rai/on et elles ont avec lui, et rime avec faiitre^ le )ai/nn\ correspondant commun.

Les systèmes plans collinéaires 7 et G^ ont en commun avec un système réglé quelconque abc du système de rayons qui ne passe pas par / deux coniques homologues, et comme la droite / se correspond à elle-même, ses pôles par rap[)ort à ces deux coniques sont des points homologues de 7 et 7^ (JI, page 11) et sont situés sur un même rayon du système. La droite qui unit ces deux pôles est la polaire de / par rapport à la surface réglée abc contenue dans le système de rayons ; il en résulte c[ue :

Le système de ragons de premier ordre et de première clause e.'it conjugué à lui-même par rapport à tojite surface réglée qui passe par un de ses systèmes réglés, c'est-à-dire que ses rayons sont deux à deux polaires réciproques Vun de Vautre par rapport à la surface réglée.

Dans le cas particulier (dont on ne tient pas compte dans la démonstration) oi:i les deux pôles se confondent et où par suite la droite / est

tangente à la surface réglée abc, Texactitude du théorème ressortira facilement de considérations ultérieures.

Nous supposerons à présent que les deux plans quelconques z et g^ menés par l sont conjugués par rapport à la surface réglée abc et que cette dernière n'est pas tangente à la droite /. Chacun des deux plans coupe donc la polaire de / au pôle de l'autre plan par rapport à la surface réglée. Une droite g de c qui passe par le pôle de '7^ et coupe deux rayons quelconques d et e de la surface abc a donc pour correspondante dans le plan a^ collinéaire à c;, une droite g^ qui passe par le pôle de G et qui coupe les deux mêmes rayons d et c. Mais comme la polaire de g par rapport à la surface réglée abc passe par le pôle de g et coupe les deux droites d et e qui sont conjuguées à elles-mêmes, elle se confond avec g^ et les points homologues de g et g^ sont conjugués deux à deux par rapport à la surface réglée. Si Ton imagine que les systèmes collinéaires plans g et g soient décrits par les droites g et g^ qui se corpondent, on voit que :

Deux plans passant par un raj/on 1 du système de rayons et conjugués par rapport à une surface réglée quelconque abc du système, laquelle ne contient pas ce rayon et ne lui est pas tangente, sont rapportés collinéairement l'un à Vautre par le système de telle sorte que leurs points homologues (et en particulier aussi ceux qui sont situés sur 1) sont conjugués par rapport à la surface réglée.

De même chacun des rayons du système sera projeté de deux quelconques de ces points conjugués suivant deux plans conjugués par rapport à la surface réglée.

Le système de rayons de premier ordre et de première classe est, en général, complètement déterminé par quatre rarjons a,b,c,d pris arbitrairement. En effet, comme ces quatre rayons peuvent être joints à un cinquième rayon quelconque par un complexe linéaire de rayons, on peut aloi's faire passer par eux un système de rayons de premier ordre et de première classe. Ce système sera coupé par deux plans menés par a suivant des systèmes collinéaires et leur collinéation sera déterminée en général par la droite a qui se correspond à elle-même et par les trois couples de points homologues que b,c,d ont en commun avec les deux plans. Si donc Ton joint chaque point de l'un des plans avec le point qui lui correspond dans l'autre plan, on obtiendra tous les rayons du système. On voit en même lemps que :

Deux systèmes collinéaires, situés dans des plans différents et