SYSTÈME DE RAYONS DE P"" ORDRE ET DE P' CLASSE

dont la droite d'intersection est un élément correspondant commun, sans que les points de cette droite se correspondent à eux-mêmes, engendrent un si/stèine de rayons de premier ordre et de première classe; tonte droite, qui joint deux points homologues des deux plans, fait partie du système.

De même, deux ger])es collinéaires, qui ont comme éléments correspondants communs un rayon et deux plans au plus, engendrent un système de rayons de premier ordre et de première classe. Le système de rayons déterminé par quatre rayons a.b,c,d qui ne se rencontrent pas, contient le système réglé abc ainsi que tout autre système réglé, qui a deux rayons communs abc et qui passe par d ; on peut le construire au moyen de ces systèmes réglés.

Projetons un système de rayons de premier ordre et de première classe de deux points S^ et S^, situés sur l'un de ses rayons; d'après un théorème précédent, nous obtenons deux gerbes collinéaires. Les plans homologues de ces gerbes se coupent deux à deux suivant les rayons du système et les gerbes ont comme éléments correspondants communs le rayon S^S^ et deux plans ■q,(j> passant par lui, qui peuvent se confondre ou être imaginaires. Les faisceaux homologues de rayons de Sj et S^ situés dans -q et 9 ont toujours le rayon S^S.^ correspondant commun et engendrent deux ponctuelles rectilignes u.v; nous donnerons à leurs lieux le nom â'axes du système de rayons. Comme tout plan de la gerbe S^ qui passe par un point de u ou de v a ce point qui lui est commun avec le plan correspondant de la gerbe S^, il s'ensuit que :

Les axes u et v du système de premier ordre et de première classe coupent tous les rayoïis du système, et toute droite qui rencontre u et v appartient à ce système. Les deux axes contiennent tous les points singuliers du système, et tous les plans singulières de ce système passent par eux. Ils sont conjugués fun à Vautre dans tout système focal dont le complexe de directrices passe par le système de rayons.

Les deux axes u,v n'ont aucun point commun l'un avec l'autre quand ils ne coïncident pas ; cela résulte de ce que, en général, deux rayons du système ne se rencontrent pas.

Quand deux rayons du système se coupent, ils sont dans un même plan avec l'un des axes et se rencontrent en un même point avec l'autre. Les deux axes sont des directrices communes à tous les systèmes réglés contenus dans le système; ils sont imaginaires ou réels,

9^ GÉOMHTRIE DE POSITION.

OU bien ils coïncident, suivant que la surface du second ordre qui passe par l'un de ces systèmes rencontre chacun des rayons du système non situé sur elle en deux ])oints imaginaires ou réels, ou bien lui est tangente. Si les deux axes ne sont pas réels, ce sont deux droites imaginaires conjuguées de seconde espèce (I, page 178). Lue surface réglée est touchée suivant les points d'une droite située sur elle-même par les rayons d'un système de premier ordre et de première classe dont les axes coïncident avec cette droite ; toutes les surfaces réglées contenues dans ce système de rayons sont tangentes suivant les points de cette droite.

Les plans polaires d'un point quelconque P par rapport à toutes les surfaces réglées contenues dans un stjstènie de rai/ons de premier ordre et de première classe se coupent en un point P^ du raj/on du système qui passe par P. De même les pôles d'un plan r^ par rapport à toutes ces surfaces réglées sont contenues dans un plan T,^ qui a un raijon du si/sième commun avec r.. Les points et les plans de l'espace sont ainsi conjugues deux à deux par rapport à toutes les surfaces réglées du système.

En effet, si le système de rayons a deux axes réels u et v, P^ est le ])oint qui est harmoni([nement séparé de P par u et v; car les surfaces réglées du système passant toutes par u et v, les plans polaires de 1* doivent passer par P^. Si, en second lieu, toutes les surfaces réglées du système sont tangentes suivant les points d'une même droite, P^ est le point suivant lequel elles sont touchées par le plan Vu. Enfin, en troisième lieu, si les deux axes du système sont imaginaires, ou d'une manière générale ne sont pas identiques, soit / le rayon du système qui passe par P ; on peut au moins faire passer par / un couple de plans réels conjugués par rapport à deux quelconques des surfaces réglées IV- et R^- (I, page 181).

Ces deux plans seront rapportés collinéairement l'un à l'antre par le système de rayons de telle manière que leurs points homologues, et en particulier ceux situés sur / soient conjugués par rap|)ort aux deux surfaces (II, ])age !)0), par suite le point Pj de / qui est conjugué au point P par rapport à II- est aussi conjugué à P par rapport à toute autre surface P»i- du système.

Prenons encore deux points S^ et S^ sur un rayon / d'un système de premier ordre et de première classe et projetons de ces points le système suivant deux gerbes collinéaires. Au moyen du système de