SYSTÈME DE RAYONS DE 1^' ORDRE ET DE U' CLASSE

rayons rapportons collinéairement deux ])Ians quel(:oiK{ues ol^ et fi, de S, aux plans a^ et 3, qui leur correspondent dans S^; à tout point d'intersection de a, et (3i correspondra un point commun à %, et [3^; caries faisceaux de plans a^l^j et a/i^ engendrent un système réglé du système de rayons dont les deux droites ajfij et a.fi, sont deux directiices. l)'a])rès cela, nous pouvons considérer les plans collinéaires comme des formes homologues de deux espaces collinéaires dont l'un contient les plans aj, fij et l'autre les plans a,, [3,. Ces espaces collinéaires ont pour éléments correspondants communs tous les rayons du système de rayons, parce que chacun de ces rayons unit deux points de a, et [3j et en même temps les points correspondants de a, et p^. Toutes les droites qui joignent les points homologues et toutes celles qui sont les intersections de jjlans homologues de ces espaces collinéaires font en conséquence partie du système de rayons et ce dernier sera engendré aussi bien par deux gerbes homologues que par deux systèmes plans homologues (non coïncidents) des espaces collinéaires. Ces espaces ont comme éléments correspondants comnmns les deux axes du système de rayons ainsi que tout point de ces axes et tout plan qui ]msse par eux.

Si les deux axes ne coïncident pas, nous pouvons prendre les points S, et Sj sur le rayon / de telle manière qu'ils soient conjugués par rapport à toutes les surfaces réglées contenues dans le système de rayons. Mais alors les plans homologues des gerbes Sj et S^, comme par exemple les plans a, et a^, et les points homologues de ces plans sont conjugués deux à deux par rapport à toutes ces surfaces réglées, et I)ar consé([uent il en est de même pour tous les plans et plans homologues des espaces collinéaires. Donc :

/Si Von fait corrcapoudre deux à deux les points et les plans qui sont conjugués par rapport à toutes les surfaces réglées coutotues dans le si/siènii' de rayons^ on obtient ainsi uniquement des couples (W'iéuicnls homologues de deux espaces collinéaires {en situation invfdulivc) qui ont pour éléments correspondants communs tous les raijons du siislènie^ tous les poi)ils de ses axes et tous les plans qui passent par ces axes.

Tous les rayons d'un système de premier ordre et de première classe qui coupent une courbe quelconque du second ordre®, sont en général situés sur une surface réglée du quatrième ordre F*. En effet, cette surface a au plus quatre points communs avec une droite quelconque, parce (jue tous les rayons du système qui coupent cette droite sont

situés sur une surface réglée du second ordre qui a au plus quatre points communs avec 9. En général la surface F^ passe deux fois par le rayon s du système situé dans le plan de ©.

Tout plan passant par s a en commun avec F'*, en outre de s, une conique projective à 9 et les rayons de F* sont projetés d'un point quelconque de s suivant un faisceau de plans du second ordre projectif à ?.

Comme deux droites u et v, qui ne se rencontrent pas, peuvent toujours être considérées comme les axes d'un système de rayons, nous pouvons dire aussi que : si une droite fj se meut en rencontrant constamment une conique 9 et deux droites 21 et v, qui ne se coupent pas, elle décrit en général une surface réglée du ([uatrième ordre F\ Les droites u ei v sont les droites qui contiennent les points doubles de cette surface ; en effet, par un point quelconque de u ou v, il passe en général deux génératrices (j de F' et ces droites sont respectivement dans un même plan avec v ou u.

Si la conique 9 a un point commun U avec l'une des droites m, F^ se décompose en un plan Ui» et une surface réglée F* du troisième ordre. La droite u est un lieu des points doubles de la surface F* ; cette dernière passe par v et en général a en commun avec un plan passant par V deux génératrices dont le ])oint d'intersection est situé sur u. La ponctuelle v est rapportée projectivement à la conique 9 par le faisceau de plans u de sorte qu'avec 9 elle engendre la surface.

Un complexe linéaire de rayons renferme chaque système de rayons de premier ordre et de première classe déterminé par quatre rayons du complexe ; réciproquement, un pareil système de rayons peut être léuni à un rayon qu'il ne contient pas par un complexe linéaire, parce que ce dernier est détenniné par cinq rayons (quelconques. Nous pouvons donner aux axes principaux de tous les complexes linéaires de rayons qui passent par un système de rayons donné le nom d'axes principaux du système. Chacun de ces axes principaux est normal à tous les rayons du système qui le rencontrent ; ces derniers forment donc un système réglé d'un paraboloïde hyperbolique équilatère. En général, le système de rayons ne contient qu'une seule droite à l'infini; elle est située sur le paraboloïde é(|uilatère et les axes principaux du système de rayons sont parallèles aux plans qui contiennent cette droite et sont coupés normalement par le l'ayon du système qui est perpendiculaire à ces plans. Cependant quand le système de rayons a