SYSTÈME DE RAYONS DE 1<"' ORDRE ET DE 1'* CLASSE

un axe u à riufini, toute droite normale aux plans qui passent par u est un axe principal du système. Soient r et 7\ les distances d'un axe principal à deux rayons quelconques du système et p et p^ les angles qu'il fait respectivement avec ces rayons, on a la relation

r. tangpzi^r, tangp, (II, page 80).

DOUZIEMIÎ LEOON.

Formes engendrées par deux gerbes ou deux systèmes plans

coUinéaires — Courbes gauches

et faisceaux de plans du troisième ordre.

Les formes fondamentales réciproques de deuxième et de troisième espèce nous ont conduit aux surfaces et aux gerbes de }3lans du second ordre et nous ont fourni leurs propriétés les plus importantes. Consi dérons maintenant les formes engendrées par les formes fondamentales collincaires et tout d'abord celles auxquelles donnent naissance deux gerbes coUinéaires. La loi de réciprocité nous permettra d'étendre ensuite les résultats que nous aurons trouvés à deux systèmes plans coUinéaires.

Lorsque deux gerbes coUinéaires S et Sj ne sont ni concentriques ni perspectives, elles engendrent un système de rayons du premier ordre suivant les rayons duquel les plans homologues des gerbes se coupent deux à deux. Par un point quelconque A de l'espace il ne passe en général qu'un seul rayon de ce système, parce que le faisceau de plans SA de la gerbe S engendre en général avec le faisceau de plans correspondant de Sj un système réglé appartenant au système et dont il ne passe qu'un seul rayon par A. Il n'y passe plus d'un rayon, et dans ce cas il y en a une infinité, que si les axes de ces deux faisceaux de plans se coupent en A, et si par conséquent A est le point d'intersection de deux rayons homologues des gerbes; dans ce cas, A est un point singulier du système de rayons et les rayons du système qui passent par lui forment un faisceau ordinaire de ra\ ons ou une surface conique du

FoKMliS ENGENDHÉES l'AK DEUX GERBES COLLINÉAIRES. 97

second ordre, suivant que les faisceaux projectifs de plans SA et SjA ([ui les engendrent ont ou n'ont pas de plan correspondant commun. Tout système réglé ou toute surface conique du second ordre engendrée par deux faisceaux homologues de plans passant par S et S,, passe par tous les points d'intersection des rayons homologues des gerbes ; car l'un quelconque de ces points singuliers du système de rayons est toujours silué dans deux plans qui se correspondent Tun à l'autre dans ces faisceaux.

Quand les gerbes coUinéaires S et S, ont le rayon SS^ comme élément correspondant commun, elles engendrent, conmie nous le savons déya, un système de rayons de premier ordre et de première classe ; nous pouvons considérer ce cas comme traité com])lètement dans la leron précédente. En second lieu, si les gerbes ont, non plus le rayon SS^, mais un plan r, correspondant commun, leurs faisceaux homologues de rayons situés dans vi engendrent une courbe du second ordre /.-, passant par S et Sp et suivant les points de laquelle les rayons homologues se coupent deux à deux. Par chaque point de k^ passent une infinité de rayons du système de rayons engendré par S et S^ ; ils forment un faisceau ordinaire de rayons et par suite sont situés dans un plan singulier du système. Deux pareils plans singuliers se coupent suivant une droite v dont les points doivent également être des points d'intersection de rayons homologues de S et Sj, parceciu'il passe plus d'un rayon du système par chacun d'eux : le point où v coupe le i)lan de hdoit donc se trouver sur la courbe /^•^ Les droites d'intersection des plans homologues de S et Sj ontpai- conséquent \n\ point commun aussi bien avec v qu'avec li^ et toute droite qui est coupée par v et Ir en deux points différents ap|)artient au système de rayons engendré par S et S^. Comme un plan contiejit en général deux de ces di-oites, on voit que :

Deux (jcrbes coin itcaires S cl S,, iuni c())icciifriqucs, (ji/i notil pas (le rdi/oii mais qui oui un plan correspoudanl commun^ enqetul roii un systèiue de pr ci nier ordre el de seconde classe. Les jxnnls singuiio's de ce système sont silncs sur une conique k^ et une droite v qui se coupent, et la conique k^ passe par les centres S et S^ des deux (jerbes. Le système de rayons se compose de tous les rayons qui joiyneiu les points de v avec ceux de k'.

De deux points quelconcfues P et P^ de k'' projeto)is cette courbe et la ponctuelle v au moyen de couples de faisceaux de rayons ; ces derniers sont rapportés projectivement l'un à l'autre par k^ et v et les rayons

(iÉOMl'niilE DE POSITION. — 11. 7

communs aux deux couples de faisceaux P et I^ se correspondent entre eux, parce qu'ils projettent le point d'intersection de k"^ et y. Ces faisceaux projectifs de rayons établissent ainsi une collinéation entre les gerbes V et Pj (II, page 7) de telle manière les plans homologues de ces gerbes se coupent deux à deux suivant une droite qui a un point commun avec A," et V. Donc :

Le système de raijons de premier ordre et de seconde classe est projeté de deux points quelconques de sa courbe directrice du second ordre k" suivant deux (jerbcs collinéaires.

Il n'y a d'exception que pour le point d'intersection de li^ et v d'où le système de rayons est projeté suivant le faisceau des plans singuliers de V.

Le système de rayons de premier ordre et de seconde classe a pour réciproque le système de rayons de première classe et de second ordre. Ce dernier est engendré par deux systèmes collinéaires plans qui ont un point, mais pas de droite, comme élément correspondant commun. Ses plans singuliers forment une faisceau de plans du second ordre et un autre du premier ordre et il se compose de toutes les droites suivant lesquelles se coupent deux à deux les plans de ces deux faisceaux. Toutes les tangentes d'une surface conique du second ordre qui rencontrent une tangente donnée de cette surface forment un faisceau de rayons de première classe et de second ordre.

Nous allons supposer maintenant que les gerbes collinéaires S et S^ n'aient aucun élément correspondant commun. Elles engendrent dans ce cas un système de rayons de premier ordre et de troisième classe dont les points singuliers sont situés sur une courbe gauche du troisième ordre. En effet, tous les rayons du système qui passent par un point singulier forment une surface conique irréductible du second ordre qui passe par tous les autres points singuliers ; tout point d'intersection de deux rayons du système est un point singulier et toute droite qui unit deux points singuliers est un rayon du système. Si un plan quelconque renfermait plus de trois rayons du système, leurs points d'intersection seraient tous des points singuliers et par l'un ou par l'autre d'entre eux il passerait un cône de rayons du système qui aurait plus de trois rayons communs avec un plan, ce qui est impossible. Le système de rayons est donc de troisième classe et il y a au plus trois de ses points singuliers situés dans un plan et au plus deux sur une droite.

COURP.ES GAUClIIiS ET FAISCEAUX DE PLANS DU 3' OllDKE.

Deux faisceaux homologues deplans de S et S^ engendrent une surface réglée du second ordre ; c'est ou une surface conique ou un système réglé contenu dans le système de rayons, selon que leurs axes se coupent (en mi point singulier) ou ne se rencontrent pas. Deux surfaces du second ordre ainsi engendrées ont en commun le rayon du système, différent de SSj, qui coupe les deux couples d'axes des faisceaux de plans qui les engendrent ; elles se coupent en outre suivant une courbe gauche du troisième ordie. passant par les points S et Sj, suivant les points de

laquelle les rayons du système se coupent deux à deux et qui est le lieu des points singuliers du système. Donc :

Deux (jerbcH colliiiéaircs non concentriques S, »S\, qui nont aucun élément correspondant commun, engendrent un faisceau de rayons de premier ordre et de troisième classe. Celui-ci contient toutes les cordes d'une courbe gauche du troisième ordre k', qui est le lieu de ses points singuliers et de chacun des points de laquelle il est projeté suivant une surface conique du second ordre (fig. 15). Cette courbe cubique gauche k' passe par les centres des deux gerbes et en chacun de ses points se coupent deux rayons homologues de S et S\.

Si l'on nous donne la courbe gauche A;^ et les points S et S^ situés sur elle, nous connaissons par là même les deux cônes homologues suivant lesquels k^ est projetée de S et Sj. Ces deux cônes sont projectivement rapportés l'un à l'autre par le moyen de la courbe gauche et sont per-

100 GÉUMÉTRIE DE POSITION.

spectifs au faisceaude plans SSj ; comme ils n'ont aucun élément coiies- ])ondant eonnnuii, ils ne sont pas tangents, mais se coupent suivant le ra\on SSj. Un plan quelconque rencontre les deux cônes suivant des courbes du second ordre (|ni se coupent en un point situé sur SS^ et qui par conséquent ont au moins un point et au plus trois points communs. Donc :

La courbe cubù/ue gauche k' a au moins un point et au plus Irais points communs avec un plan quelconque.

Les cônes projectifs -S' (h^) et S'j {h^j déterminent conqjlètement la coUinéation des gerbes S et Sj (II, page 11) en sorte que la courbe gauche h^ détermine aussi le système de rayons engendré par S et S^. Tonte corde ou toute tangente de /t'estprojetéedeS et S, par des plans homologues sécants ou tangents de ces cônes et appartient au système de rayons. Tout rayon du système, ([ui est projeté de S et S^ par (\eii\ plans extérieurs à ces cônes, peut toutefois être considéré aussi comme une corde (impropre) de la courbe gauche /.'' ; en effet, il conpe les ôvnx faisceaux homologues de ravons de S et 'S^ contenus dans ces plans snivant deux ponctuelles ])rojectives dont les points correspondants comjnuns sont situés sur /.% mais qui sont ici imaginaires conjugués. D'après cela, nous pouvons dire ([ue:

Le si/strine de rayons de jiremicr o)'dre et de troisième classe se compose de toutes les cordes de la courbe qauche du Iroisièmc ordre k', ([ui contient les points singuliers du siislèmc. Un raipm dn système est une corde propre ou impropre de k''. suirant (pCil joint deux points rrcls on iniayinaires conjugués de In courbe. Les langeâtes à k"' apparliennenl aussi au système : elles y sèjxirent les cordes propres des cordes inrj)]'opres et ont chacune encommun arec la courbe deux points qui coïncident. Nous apjicllerons k^ la courbe double du systènu' de rayons.

La courbe gauche A;'' peut être réunie à deux cordes (juelconcpies a^ b par une suface réglée du second ordre qui contient un s\ stcMue de cordes ; car les couples de plans (|ui projettent les deux cordes de S et S^ se cou|)ent suivant les axes de deux faisceaux homologues de j)lans des gerbes collinéaires et ces faisceaux engendrent la surface. Comme cette surface du second ordre peut aussi être décrite par une droite qui glisse sur h^ et coupe constamment les deux cordes a et 6, on a ce théorème:

Lacourbe (fauche du troisième ordre est projetée de deux quelconques de SCS cordes su ira ni deux faisceaux projectifs de plans ;

COURBES GAUCriES ET FAISCEAUX DE P[-ANS DU 3^ ORDRE. TOI

car les plans qui joignent les cordes a, b avec la droite mobile et conséqiiemment avec un point mobile de /t% décrivent autour de a et 6 deux faisceaux project ifs de plans. Le théorème a encore lieu quand a et ^ se coupent sur la courbe et par suite sont situées avec elle sur un même cône du second ordre. Nous allons l'utiliser immédiatement pour construire linéairement les plans osculateurs de la courbe /.•^

Soit a la tangente à /.' en un point A et soit h une autre corde quelconque. Si un point P décrit la courbe gauche /.', les plans nV et M* décrivent des faisceaux projectifs de plans autour de a et b. Or «1* devient le plan osculateur en A , quand V se rapproche indéfmimentde A ; en même temps b\^ devient le plan bk.

Si donc la projectivité des faisceaux de plans a et b est détei-miiiéo par trois couples de plans homologues, nous trouverons le ])lan osculateur du point A en construisant le plan qui correspond à />A dans le faisceau a. — Si la corde b passe par le point A, lorsque le point P tend vers A. la droite AP se rapi'oche indéfiniment de la tangente a et le plan />P (lu |)laii b(i ; mais en même temps «P devient le plan tangent suivant le rayon a au cône du second ordre engendré par les faisceaux a eib. Donc :

Ij' 1)1(1)1 osruldIcKr rti un jioi))! <iiiolcmi<fiiO A de la coinbc prissi' par la laïujciilc a eu ce point cl csl laïKjcul suivant a à la surface coin(/Hc du second ordre par la(/U('lle la courbe (fauche k^ est projetée de A.

lN)ur mener une corde de la courbe par un point quelconque 0 sans nous servir des gerbes collinéaires, joignons Q à un point quelconque P de /.-^ par une droite cj et menons par (j deux plans qui coupent chacun la courbe en deux points différents de P. Les droites a et b qui unissent ces couples de points sont situées avec la courbe gauche sur une surface réglée du second ordre à laquelle appartient aussi la droite rj ; car (j a les trois points g a, (j h et P communs avec la surface. Cette surface réglée, qu'il est facile de construire et à laquelle appartiennent a et b, a l'un de ses rayons qui passe par le point Q; ce ravon est la corde cherchée. Cette construction réussit toujours, même quand la corde qui passe par 0 est impropre. En passant, on voit que:

Par une courbe (jauche du troisième ordre et une droite g, qui coupe la courbe en un point, mais n est pas une de ses cordes, on ne peut faire passer qu'une seule surface réglée du second ordre. L'un des systèmes réglés de cette surface se compose de cordes de la courbe ;

les raijons de Vanlre sjjslùine, dont g fait partie, coupent cJiacnn la courbe gauche en un seul point.

Pour justifier cette dernière proposition, nous ferons remarquer que (ont rayon (/' du deuxième système peut èlre réuni à une corde propre quelconque du premier système par un plan qui a trois points communs avec la courbe gauche ; deux d'entre eux sont situés sur la corde et conséquemment le troisième se trouve sur (f.

D'un point quelconque S^ de la courbe gauche A'^ projetons son système de cordes; à deux plans homologues a et a^. des gerbes collinéaires S et S^ est rapporté un plan «, de S^ qui passe par leur droite d'intersection aa^. Et comme les cordes de /.-'' qui engendrent deux faisceaux homologues de plans de S et S^ sont situées sur un cône ou un système réglé passant par S^, elles seront projetées de S, suivant un troisième faisceau de plans dont l'axe est également une génératrice de cône ou une directrice du système réglé. Donc, non seulement un plan de S a pour correspondant un plan de S^, mais à tout faisceau de plans du premier oidre dans S correspond un faisceau analogue dans Sj ; c'est-à-dire que les gerbes S et S^, sont rapportées collinéairement l'une à l'autre comme S et S^, de sorte qu'elles engendrent également le système des cordes de la courbe gauche /^^ Les centres S et Sj des gerbes collinéaires dont on a fait primitivement usage peuvent donc être remplacés par deux autres points quelconques S^, S. de la cour])e gauche ; ils ne se distinguent en rien des autres points de k^ et toutes les propriétés démontrées i^our ces premiers points s'appliquent aussi aux autres points de la courbe. En particulier, on a ce théorème;

La courbe gauche du troisième ordre est projetée de deux quelconques de ses points suivant deux cônes projectifs du second ordre et son système de cordes suivant deux gerbes collinéaires \ cest-à-dire que chaque corde est projetée par deux plans homologues et chaque point de la courbe par deux rayons homologues des gerbes.

Tout plan mené par S contientau moins une cordede la courbe gauche, c'est sa droite d'intersection avec le plan homologue de la gerbe S^. Si le plan a trois points comnuins avec la courbe, les trois droites qui joignent ces points font partie du système des cordes ; si, en outre de S, le plan ne renferme qu'un seul ])oint P de la courbe, il est tangent à celle-ci en S ou en P et ne contient que deux rayons du système de cordes qui sont SP et la tangente au point de contact. Or, comme S est un point quelconque de la courbe et que celle-ci a au moins un point