COURBES GAUCHES ET FAISCEAUX DE PLANS DU 3« ORDRE

commun avec un plan quelconque, comme de plus tout point d'intersection de deux cordes est situé sur la courbe double, il s'ensuit que :

Un plan renferme autant de cordes réelles cjve de points l'éels d^une courbe gauche du troisième ordre ^ c'est-à-dire au moins une corde et au plus trois.

Une courbe gauche du troisième ordre peut aussi être engendrée au moyen de surfaces réglées comme le montre le théorème suivant :

Deux surfaces réglées R et R^, ou une surface réglée R et un cône K du second ordre., qui se coupent suivant un rayon a, ont encore en général une courbe gauche k' du troisième ordre qui leur est commune et dont a est une corde.

Tout plan mené par a coupe chacune des surfaces suivant un rayon différent de a. Faisons correspondre ces rayons l'un à l'autre, les deux systèmes réglés de R et R^ auxquels a n'appartient pas, ou le système réglé de R et le cône K, sont rapportés projectivement l'un à l'autre, puisqu'ils sont perspectifs au faisceau de plans a. Deux rayons correspondants des surfaces se coupent en un point de la courbe k^ et tous ces points d'intersection sont projetés de l'un quelconque P d'entre eux suivant les rayons d'un cône du second ordre. En effet, les deux formes projectives de rayons R et R^ ou R et K sont projetées du point P par deux faisceaux projectifsde plans du premier ordre)^i'"Bngendrent le cône en ({uestion. La courbe k^ est donc une courbe gauche du troisième ordre, quand l'un des cônes ou les deux cônes du second ordre menés par elle ne se décomposent pas en faiseaux de rayons du premier ordre, ce qui est possible. Dans ce cas particulier, la courbe gauche du troisième ordre peut se décomposer en une droite et une conique ou trois droites, ou bien se réduire à une ou à deux droites. — Comme un rayon quelconque g du système réglé R n'a qu'un point commun avec la courbe gauche k^ et ne lui est pas tangent, et comme par g et k^ on ne peut faire passer qu'une seule surface réglée du second ordre dont le ileuxièmé système réglé doit se composer de cordes de la courbe, il s'ensuit que a est l'une de ces cordes.

Trois faisceaux projectifs de plans, dont les axes a, a^, a, ne passent pas par un seul et même point., engendrent en général une courbe gauche k' du troisième ordre dont a, a^, a^ sont des cordes. En chaque point de k' se coupent trois plans homologues des faisceaux.

En effet, le faisceau a engendre avec chacun des deux autres faisceaux

104 GÉOMKTRIE DE POSITION.

un cône ou nne surface réglée et les deux surfaces ainsi formées ont la droite a correspondante commune. Le théorème est donc ramené au précédent. On peut regarder connue le iéciprof|ue d'un autre théorème démontré précédemment (11, page 100). 11 nous permet de résoudre ce problème :

Coitslruirc une courbe gauche du Iroisirmc ot-drc, couuaissant IroU de sen poinis P, Q, R et trois cordea a, a,, a, (pii ne passent par aucun de ces poiiils et (fui ne reneontreut jxix les droites (jiii tes joifjueul .

Pour cela, nous rapporterons les trois faisceaux de plans a, «,, «, projectivement entre eux de manière que trois plans homologues des faisceaux se coupent en chacun des points P, Q, \\. Les faisceaux de |)laiis engendrt'ul alors la courbe cherchée. Si les cordes a. r/^, «, forment ini liiangle, la courbe gauche passe aussi |iar ses sommets, par consé- (pient elle passe par six pohits arbitraires.

Lorsqu'un sf/siènie réglé on uu cône du second ordre et un faisceau de plans du premier ordre sont rajtportés projeet iveinoit run à Vautre ils enijeudrent en général une courbe gauche du troisième ordre, dont laxe a du faisceau de plans est nne corde.

Soient a^ et a, deux faisceaux de ])lans perspectifs à la forme de ravons, ils sont projectifs à a et engendrent avec lui la courbe gauche. Il existe encore ici des cas d'exception.

On peut en général construire sur une surface réglée R^ du second ordre deux courbes du troisième ordre qui passent par trois points A, B, C pris sur R^ et qui aient pour corde une droite a non située sur la surface. En effet, rapportons, projectivement les deux systèmes réglés de la surface R- au faisceau de plans a de manière que leurs rayons passant par A, B, C cori'es])ondant respectivement aux plans aA, aB et ôC ; ils engendrent avec le faisceau de plans les deux courbes gauches. Ces dernières passent par les points communs à « et à R- ; donc :

Sur une surface récjlée du second ordre R-, on peut construire ou plus deux courbes gauches du troisième ordre gui passent par cinq points donnés sur if.

(lliacun des systèmes réglés de R" se compose de cordes, de l'une de ces courl)es gauches et est perspectif à l'autre. Du dernier théorème on déduit d'après cela que :

Deux courbes gauches du troisième ordre différentes Vune de Vautre, dont les cordes commmies forment un si/stème réglé, ont au plus quatre points communs.