COL'I^RES GAUCHES ET FAISCEAUX DE PLANS DU S"" ORDRE

Quatre faisceaux projectifs de plans du premier ordre, situés d'une manière quelconque dans Tespace, engendrent, quand on les prend trois à trois, quatre courbes gauches du troisième ordre; deux quelconques de ces dernières sont situées sur une surface réglée, engendrée par deux des faisceaux projectifs de plans, elles ont un système de cordes communes et par suite au plus quatre points communs. Il l'ésulte de là que :

En ffénéral, il // a au plus quatre points oi( se coupent (/ualrc plans homologues de <iuafre faisceaux de plans projectifs.

On peut encore citer ici le théorème suivant :

Par six points S, S^, \, ]>, (1, D, dont quatre ne sont pas situés da)is un même plan, on ne peut faire passer quune seule courbe qauche du troisième ordre.

Ya\ ellet, les deux cù)ies du second ordre qui projettent la courbe des deux points S et Sj, sont com])lètement déterminés par les rayons f|ui joignent chacun de ces points aux cinq autres. On peut constiuire ti'ès facilement la courbe en joignant trois des six points par des cordes et en procédant connue dans les problèmes précédents.

Deux courbes gauches du troisième ordre ne peuvent donc avoir plus de cinq points conmiuns, sans coïncider.

On démontre d'une manière absolument analogue le théorème qui suit :

Une courbe gauche du troisième ordre est complètement déterminée par cinq de ses points et la tangente en l'un d'eux, par quatre points et les tangentes en deux d'entre eux, ou par trois points et les tangentes en ces points.

En efl'et, soient par exemple A,B,G trois points de la courbe et a.,b,c les tangentes en ces points, le cône en second ordre qui projette la courbe du point A, doit passer par les trois rayons a, AB, Ad et être tangent suivant ces deux derniers aux plans A6 et Ar. 11 est donc complètement déterminé et il en est de même pour les cônes du second oidre qui projettent la courbe de B ou de G.

Une courbe gauche du troisième ordre est en général complètement déterminée, quand on donne deur de ses points et quatre de ses cordes, ou trois points et trois cordes, ou cinq points et une corde.

En efl'et, dans le premier cas, la collinéation des deux gerbes qui projettent le système des cordes de la coui'be gauche des deux points

donnés est en général complètement déterminée par les quatre couples de plans homologues qui se coupent suivant les quatre cordes données. Quand trois des quatre cordes forment un triangle, la courbe passe par ses sommets; c'est ce (\u\ juslifie le ti'oisième cas. Le second cas a été traité précédemment.

Transportons tous les résultats obtenus jusqu'ici à la forme de rayons engendrés par deux systèmes collinéaires plans - et S^, nous aurons l'énoncé qui suit :

Deux syatèmefi collinéaires plans S (?/ Sp non sîlvés dans le même plan et nayani aucun élément correspondant commun, engendrent un système de rayons de première classe et de troisième ordre et de plus un faisceau de plans du troisième ordre. Chaque rayon du système joint deux points homologues cl chaque plan dn faisceau du troisième ordre deux droites homologues de v et s^. Nous dirons que chaque rayon du système est un axe du faisceau de plans du troisième ordre et que ce dernier est le faisceau double du système de rayons. En général, un plan quelconque ne confient qunn seul axe du faisceau de plans du ti^oisième ordre; cesl seulement quand le plan appartient au faisceau qu'il renferme une infinité d'axes; ceuxci forment un faisceau de rayons dn second, ordre et sont les intersections du plan donné avec tous les autres plans du faisceau du troisième ordre. Chaque plan de ce faisceau contient un axe par lequel ne passe pas de second plan du faisceau; on le nomme le rayon de contact du plan et te point de cet axe, qui nest situé sur aucun autre axe, est dit le point de contact du plan. Par chaque point de Vespace, il passe au pins trois ])l(tus réels et au moins un plan réel du faisceau, et le même nombre d'axes réels du faisceau. Le faisceau de plans du troisième ordre est coupé par deux quelconques de ses axes suivant des ponctuelles projectives , chaque plan du faisceau donnant deux points homologues des ponctuelles. Le système d'axes est coupé par deu.v plans (juelconques de son faisceau double suivant deux st/stèmcs plans collinéaires, chaque plan du faisceau double donnant deux rayons homologues et chaque rayon du système d'a.res deux points homologues des systèmes collinéaires. Trois ponctuelles projectives, dont 1rs lieux aj,a^,a.^ ne sont juis situés dans un même plan, engendrent en général un faisceau de plans du troisième ordre, dont aj,a^,a2 sont trois axes ; une ponctuelle rectiligne et un système réglé projcclifs donnent les mêmes résultats. Par six plans, dont