COURBES GAUCHES ET FAISCEAUX. ."^E PLANS DU 3" ORDRE

(ptafrr no paftsrui pas par un même poini ^ on ne peut faire passer qu'un seul faisceau de plans du troisième ordre, etc.

Nous pouvons distinguer plusieurs espèces de courbes gauches du tioisième ordre, connue nous l'avons fait pour les coniques, en ayant égard au nombre et à la position de leurs points à l'infini. Nous pouvons appeler asymptotes les tangentes aux points à l'infini et plans asymptoliques les plans osculateurs en ces points. La courbe gauche du troisième ordre est projetée de chacun de ses points à ri)ifini suivant une surface cylindrique du second ordre. La courbe gauche est coupée par le plan à l'infini en trois points, ou elle n'a avec lui qu'un seul point commun, ou bien elle le coupe en un point et lui est tangente en un autre point, ou enfin le plan à l'infini est un plan osculateur en l'un de ses points. Nous avons d'après cela quatre espèces de courbes gauches du troisième ordre auxquelles Seydewitz a donné les noms suivants :

1" V hyperbole (jauche . Elle a trois points à Tinfini dont les asymptotes et les plans asymptotiques sont à l'infini. Elle est l'intersection de trois cylindres hyperboliques dont les plans asymptotiques sont parallèles deux à deux.

1" L ellipse gauche (fig. 15). Elle n'a qu'un point à l'infini avec une asymptote et un plan asymptotique à lïnfini. Par cette courbe on ne peut faire passer qu'un seul cylindre qui est du genre elliptique.

3" Vhyperbole parabolique a deux points à l'infini ; l'une de ses asymptotes est à l'infini ; l'autre au contraire et les deux plans asymptotiques sont à distance finie. On peut, par l'hyperbole parabolique, faire passer un cylindre parabolique et un cylindre elliptique.

V La parabole yauchen^ qu'un seul point à l'infini dont l'asymptote et le plan asymptotique sont à Finfini. On ne peut faire passer par elle qu'un seul cylindre, qui est du genre parabolique.

TIIEIZIIÎMR LEOON.

Projectivité et polarité des courbes gauches et des faisceaux de plans du troisième ordre.

La pliipaii, (](s llirorriiies élal)Ils ji]Sf[ii'ici pour les coll|•bpi^ n;aii(li('s H les faisceaux de plans du lioisièiiie ordre peuvent, s'énoncer bien ])lns siui|)leMient, si Ton étend la notion de projectivité à ces lurnies. A cet ell'et, nous poserons les définitions suivantes :

Quatre ])oin1s d'une courbe gauche /.■■' du tioisièuie ordre sont ap- ])elés poinis hannotilfpies. s'ils sont projetés d'une coi'de quelconque, et par suite (11, page 100) de toutes les cordes de la courbe suivant quatre plans harmoniques et d'uu ])oint quelconque S de la coui'be suivant quatre rayons harmoniques d'uu cône du second ordre S/.'".

Quatre plans d'un faisceau K' du troisième ordre sont appelés pUnis harmoniques, s'ils sont coupés |)ar l'un (juelconque, et par suite par tous les axes du faisceau suivant quatre points haimoniques, et par un plan quelconque c du faisceau suivant quatre rayons harmoniques d'un faisceau 7 k'" (]\i second oi'dre.

Nous doiuKM'ons en outre aux coui'bes gauches et aux faisceaux de plans du 1i"oisième ordre le nom de foruicx t'Ic'inoitaiirs du Iroisiènir ordre.

Les définitions et théorèmes généraux énoncés antérieurement pour les foiines élémentaires du premier et du second ordre (L pages 129