PHOJECTIVITÉ ET POLAKITÉ DES CUBIQUES GAUCHES, ETC

et loi) trouvent immédiatement leur application ici ; par exemple: Deux courbes gauches du Iroisièine ordre, projectives et situées l'une sur f autre out tous leurs poiuts correspondants couiuiuns, ou bien elles eu oui au plus deux.

La couibe g.iuche du troisième ordi'e k^ est projetée de chacune de ses cordes a suivant un faisceau de plans du premier ordix' j)erspectit'à /t" et de chacun de ses points S suivant un cône S/."" du second ordre (pii lui est perspectif. Deux faisceaux de plans a et «, perspectifs à /.'' engendrent un cône ou un système réglé perspectif à la courbe suivant que leurs axes se rencontrent ou ne se rencontrent ])as.

Beaucoup des théorèmes qui précèdent peuvent nuiinteuant ètie réunis ensemble ainsi qu'il suit :

Tous les faisceau. r de plans, coues du second ordre et si/slémes réglés perspectifs à une eouibe gauche du troisième ordre, sont projectifs entre eux.

Toutes les ponctuelles, tous les jaisceaux de ragous du second ordre et les sgstèines réglés perspectifs à un faisceau de plans du troisième ordre, sont pi'ojectifs entre eux.

Pour ra[)porter deux courbes gauches li' et /./' du troisième ordre })rojectivement Tune à l'autre de telle sorte qu'aux points A,I>,C de h correspondent resi)ectivement les points Aj,l>,,Cj de /./•, nous rapporterons projectivement l'un à l'autre deux faisceaux de plans perspectifs Fun u à /.'", l'autre v^^ à h-', de manière que les plans uk, uW, uV, du premier aient respectivement pour correspondantsles plans t'jA,,y,]>j,t),(;j du second. Les points de la courbe qui seront projetés par deux plans homologues des faisceaux se correspondront alors deux à deux. — Les courbes gauches projectives sont en même temps des formes homologues de deux systèmes collinéaires de l'espace. En effet, soient D,E,F trois nouveaux points de la courbe/.;' auxquels correspondent les points J)j,l\,l^\ de k-\ nous pouvons rapporter collinéairement l'un à l'autre deux systèmes de l'espace i: et Ij, de manière qu'aux cin([ points A , lî , (1 , D , E de !i correspondent respecti vemen t les cinq points Aj , B, , C^ , D^ , Ej de ^1- Au faisceau de plans Alî (CDEF) correspond alors le faisceau AjBj ((nDjE^Fj) qui lui est projectif, par suite au plan AÏiF de 2 correspond aussi le plan A^B^Fj de Sj ; et l'on peut démontrer de même que toutautre plan de ï qui réunit le point V à lui côt''- quelconque du pen-

110 GÉOMÉTRIE DE l'OSlTlON.

lagoiie AHCDK a pour correspondant le ])lan de i^ (|ui joint h\ au coté correspondant du pentagone A^B^G^D^Ej. Comme d'après cela le point F de 1' (|ui est l'intersection de ti'ois de ces plans a pour correspondant le point Fj de S^ qui est l'intersection des trois plans homologues aux précédents, la courbe k^ sur la([uelle sont situés les six points A,B,G,D,E,F doit avoir pour correspondante la courbe k^^ qui réunit les six points homologues \j,Bj,Cj,Dj,l\,Fj ; car ])ar six points de l'espace on ne peut faire passer qu'une seule courbe gauche du troisième ordre.

Une coui'be gauche involutive du troisième ordre est projetée de chacun de ses points suivant une surface conique involutive du second ordre et les rayons conjugués de cette dernière sont d'après cela situés deux à deux dans un même plan avec une droite (j, qui passe par le sommet du cône, mais qui n'est pas située sur sa surface (I, page 147).

Les points conjugués de la courbe gauche sont donc situés deux à deux dans un même plan avec g, et les droites qui les joignent appartiennent à un système réglé de cordes dont g est une directrice. Si la courbe involutive a deux points doubles, leurs tangentes appartiennent aussi à cette surface réglée; elles séparent sur la surface réglée 'les cordes propres des cordes impropres. Si nous avons égard aux théorèmes précédents, on déduit tle là, en passant, que :

Si Von fait passer une surface réglée par une courbe gauche du troisième ordre^ tout rayon de Vun des systèmes réglés de cette surface est une corde de la courbe, tandis que tout rayon du second système réglé ne coupe la courbe quen un seul point. Les points de la courbe sont accouplés involutivement par les rayons du premier système; chaque rayon de ce système est une corde propre ou bien deux d'entre eux sont tangents à la courbe et séparent les cordes propres des cordes impropres .

Les théorèmes de Pascal et de Brianchon nous conduisent à d'autres propriétés importantes des courbes gauches et des faisceaux de plans du troisième ordre. Nous allons auparavant faire quel([ues remarques sur les coui'bes gauches du troisième ordre déterminées par deux points S,Sj et quatre cordes quelconques a,bji^.b^ (voir II, page 105).

Nous établirons entre les quatre cordes un certain ordre de succession de manière qu'elles soient projetées dans la gerbe à partir de S,Sj et d'un point (juelconque S^ de la courbe suivant un angle quadrarête et que chaque couple de cordes a,^^, et 6,èj donne un couple de faces opposées de cet angle quadrarête. Dans chacun de ces angles nous joi-

RELATIONS PKOJECTIVES ENTRE LES CUBIOUES GAUCHES. 111

gnons par un plan les deux rayons suivant lesquels se coupent les deux faces opposées et nous obtenons ainsi dans les gerbes S,Sj et S^ les plans c,Œj et ir^. Ce sont des plans homologues des gerbes et, par consé- ([uent, ils se coupent suivant une seule et même corde s. Si le point S^ se meut sur la courbe gauche, le plan c^ tourne autour de la corde s. Cette propriété sert de base à une construction extrêmement simple de la courbe gauche du troisième ordre.

Soit une courbe gauche du troisième ordre donnée par deux points S,Sj et deux couples de cordes a,ai et b.b^. Nous menons par S un premier rayon qui rencontre a et a^ et un second rayon qui coupe h et bj et nous joignons ces deux rayons par un plan a. Nous menons de même par S^ un plan c^, passant par deux rayons issus de Sj et rencontrant : le premier a,aj et le second b,b^, et nous déterminons la droite d'intersection s des plans g et a^. Tout plan a^ conduit par s coupe les cordes •d,a,^^ eth,h^ en deux couples de points A,Aj etY),B^] (es droites ÀA^ et BB^ qui joignent ces points se coupent en un point S^ de la courbe gauche du troisième ordre.

On reconnaît l'exactitude de cette construction en remar([uant que la corde s et la courbe gauche cherchée du troisième ordre sont l'intelsection des deux surfaces réglées qui joignent s avec a^a^ et b,b^.

Soit maintenant un hexagone inscrit dans la courbe gauche k^ du troisième ordre; il est projeté d'un point quelconque S de la courbe suivant un angle sexarète inscrit dans le cône SA;" du second ordre. En ayant égard à ce qui précède, on déduit ainsi du théorème de Pascal que :

Toïit hexagone inscrit dans une courbe gauche du troisième ordre est projeté d'un point quelconque S de la courbe suivant un angle sexarète, dont les trois couples de faces opposées se coupent suivant trois droites menées dans un même plan c. Lorsque S se meut sur la courbe^ le plan ç tourne autour d'une corde fixe s.

Cette corde s est complètement déterminée déjà par deux couples de côtés opposés a,a^ et 6,6^ de l'hexagone; les deux surfaces réglées qui unissent respectivement la courbe gauche aux couples de cordes a,a^ et b,b^ se coupent suivant la corde s.

Parmi les autres théorèmes qui découlent du théorème de Pascal, nous ne ferons usage que de celui relatif au triangle inscrit (I, page 85) pour en déduire le théorème suivant sur les courbes gauches du troisième ordre :

112 geuiMi;trie de rusniON.

tioil SAliC ini lélracdrc iiisrril à la coin-br (jaiirlic k'' du Iroisièitir orilrr cl soicnl S^,^^^)^^]^ les jK>iiils oti Irs Idinjciilcs m S.A,I),('i roujnnil jTspccUveiiirnl les faces opjjosccs ; les jxniils Sj,Aj,B^,C, déleriiujtcnl Kii second lélrdcdrc qui est en inciiic leiiips inscrit et circonscrit au preuiicr. Le plan A.U^tl,, par c.reniple, passe par S; il tourne autour (F une corde impropre s, f/uaud S.sr uicut sui' la courbe \J' sa)is (pie les points \. !>.('-, clKUiyent d<; position.

En ellel, le triangle ABC est projeté de S suivant un angle triarête inscrit à la surface conique S/r du second ordre et les tangentes aux points A,}),C sont elles-mêmes projetées suivant les ])lans tangents le long des Irois arêtes SA, SB, Sd du cône. Les trois rayons SAj, SB^, SCj suivant lescjuels les faces de cet angle trièdre sont coupées par les plans tangents aux arêtes 0[)posées doivent donc se trouver dans un même plan A,Bj(v Bemplaçons S par un antre point Sj de la courbe; au lieu de A^lî^Ci nous avons un autre ])lan A',!)',!!', ; ces deux ])lans se coupent suivant une corde n. j)uis(prils se correspondent dans les gerbes coUiiiéaires riui pi'ojettent la co.uibe gauche du troisième ordre et son système de sécantes des points S et Sj. La corde .s- est impropre; en ellet, le planSAjBj(îj n'a aucun rayon réel conunun avec le cône S/r' puisqu'il est séparé liarmoni([uenient de clia([ue face de l'angle triarête S (ABC) par le rayon polaire de la face et les plans tangents des arêtes opposées.

On peut faire une application tiès impoilante de ces théorèmes aux plans osculateurs d'une courbe gauche du troisième ordre.

Désignons par a,b,c les tangentes AA^, BBj, CC^ anx points A,B,C et par P le point où la corde ,s est rencontrée j^ar le plan ABC.' Comme on vient de le démontrer, la droite d'intersection des ])lans SBC et Sa doit être dans un même plan avec la corde s, ([uelle que soit la position du point S sur la courbe. Le point S s'api)rochant indélmiment de A, le plan Sa devient le plan osculateur du j)oint A, SI>C devient le plan ABC. et la droite d'hitersection de ces deux plans doit coïncider avec AP puis({u'elle doit couper constamment la droite .s. On voit de même que les plans osculateurs des i)oiiits !> et C doi\ent [)asser j)ar le point !•; donc :

Les j)lans osculateurs de trois points quelconcjucs A,I3,C d une

1. La corde s ne peut êlre coiilenue dans le plan AIKl, [laicc que ce dernier ne peut renfermer au plus que trois cordes (AB, hC et CA).