RELATIONS PROJECTIVES DES CUBIQUES GAUCHES

courbe gauche du troisième ordre se coupent en un point P situé dans le plan des points A,B,(' ; il passe par ce même jioinf vue sécante imjn'opre de la courbe.

On déduit immédiatenieni do là que :

La e()U)'be gauche du troisième ordre est de troisième classe, ceslà-dire que, pai- aucun point P de V espace, il ne passe plus de trois (le ses plans osculateurs et, par aucune droite, plus de deux de ces plans.

Car si les plans osculateurs de quatre points A,B,G,D passaient par P, les points C,D devraient aussi être situés dans le plan ABP ; ce cpii est impossible, puisque le plan ne peut avoir plus de trois points communs avec la courbe gauche du troisième ordre.

Une deuxième conséquence immédiate du théorème précédent constitue la première ])artie de la double proposition qid suit :

Quatre points d'une courbe gauche du troisième ordre constituent un tétraèdre, et leurs quatre plans osculateurs un autre tétraèdre; chacun d'eux est à la fois inscrit et circonscrit à l'autre.

Quatre plans d'un faisceau de plans du troisième ordre constituent un tétraèdre et leurs quatre points de contact un autre tétraèdre; chacun de ces tétraèdres est à la fois inscrit et circonscrit à l'autre.

On peut, au moyen de ce théorème, construire le plan osculateur en chaque point d'une courbe gauche du troisième ordre, du moment qu'on connaît les plans osculateurs de trois points. On voit de plus que la situation relative de quatre points d'une courbe gauche du troisième ordre et de leurs quatre plans osculateurs est la même que celle de ([uati'e points de contact d'un faisceau de plans du troisième oi'drc el de leurs quatre plans correspondants. Cette remarque nous conduit à la propriété fondamentale suivante des courbes gauches et faisceaux de plans du troisième ordre :

Tous les plans osculateurs d''une courbe gauche du troisième ordre k"' forment un faisceau de plans du troisième ordre.

Tous les points de contact d'un faisceau de plans du troisième ordre forment une courbe gauche du troisième ordre.

Soient x.(j.\' les plans osculateurs des points A,B,G de la courbe et I*

GLOMtlRlE BE l'OSITlON.

eur point cVintersection silué dans AB(1. Lorsque le point G parcourt la courbe gauche A'', le plan ABC décrit un faisceau de plans AB perspectif à /c'"; en même temps, il coupe dans chacune de ses positions la droite a^ en un point P, par lequel doit passer le plan osculateur y du point C. Le faisceau de plans AB, décrit par ABC, est donc aussi perspectif à la ponctuelle aj3 que le point a^îy ou P décrit dans le mouvement simultané du plan osculateur y. Remplaçons A et B par deux autres points fixes quelconciues A^ et B^ de la courbe et reman|uons (|ue les deux faisceaux de plans AB et AjBj, qui sont tous deux persj)ectifs à la courbe//', sont projectifs entre eux; nous voyons alors que :

Les plans oscvlafeurs cVimc courbe gauche du Iroisièine or<l)'e ra/)jiorleiil jji-ojccfiveincnl eiifrc elles loutes les poncluelles suiva)// les lieuj- (lesquelles se coupent deux quelconques de ces plans osculaleurs (a,(i ou j.^,[^^).

Choisissons trois qnelconcjues de ces ponctuelles projectives, qui ne soient pas situées dans un même plan ; elles engendrent tous les plans osculateurs, trois p(jints homologues déterminant chacun de ces plans. D'autre part, nous savons déjà que les trois ponctuelles engendrent un faisceau de plans du troisième ordre (II, page 106) ; il est donc démontré que les plans osculateurs d'une courbe gauche du troisième ordre constituent un faisceau de pians du troisième ordre.

Ce théorème et un grand nombre des précédents font entrevoir une analogie remarquable entre les courbes gauches du troisième oi'dre et les coniques. Cette analogie ressort encore mieux de ce fait que toute courbe gauche du troisième ordre détermine un système focal, de même que toute conique détermine un système polaire plan. Ainsi :

Une courbe gauche du troisième ordre k" et le faisceau des plans qui Vosculent peuvent être regardés comme deux formes conjuguées (fun système focal, dans lequel chaque point est conjugué à sou plan osculateur et chaque tangente conjuguée à elle-même. La courbe gauche k'' a reçu le nom de courbe double du système focal quelle dictermine.

Si ce théorème est exact, la pi'oposition précédente se trouvera démontrée une seconde fois par sou moyen. En edèt, dans deux espaces réciproques, toute courbe gauche du troisième ordre a pour forme correspondante un faisceau de plans (hi troisième ordre; et par conséquent, dans le système focal, la courbe gauche du troisième ordre a pour conjugué un faisceau de plans du troisième ordre.

HEF.ATfONS PROJErTIVF.S DES ( UBIOUES GAUCHES. 115

On peut prouver coiiime il suit l'existence du système local dont il vient d'être question. Soient A,]],C,D,E,F six points quelconques de la courbe gauche h^ et a,3,y3,^j9 leurs plans osculateurs respectifs. Nous pouvons rappoi-ter réciproquement l'mi à l'auti-e deux systèmes S et l\ de l'espace de telle manière qu'aux cinq points A,B,G,D,E de Z correspondent respectivement les cinq plans a,[3,Y,o,£. La ponctuelle afi de I^ correspond alors au faisceau de plans AB de ^ et en est une section, parce que ti'ois points de ap, à savoir aj^y, a(3S et a^s sont situés dans les plans ABC, ABD, ABE du faisceau AB (|ui leur correspondent (II, page 115). Pour la même raisoii, tout autre point de S^, commun à deux des plans a, (3, 7,0,3 est situé dans le plan qui lui correspond dans ï,. Deux systèmes réciproques de l'espace, 2 et 1^, forment un système focal tel que tout point de I^ soit situé sur le plan correspondant de 2, ou bien tous les points de -^, pour lesquels ceci a lieu, sont situés sur une surface du second ordre. Dans le cas actuel, cette dernière hypothèse ne peut se réaliser, parce que la surface du second ordre devrait avoir ((uatre droites communes avec chacun des cinq plans x.i3.Y,3,£, par exemple, elle aurait avec % les droites a^'i, ay, ao, as conmmnes, ce qui est impossible. En conséquence, les systèmes réciproques >I et ï^ constituent un système focal et tout point quelconque F de la courbe gauche k^ a pour conjugué un plan 9* qui passe par lui. Gomme F est situé dans le plan ABF, o^ doit passer par le pôle de ce plan, c'est-àdire par le point d'intersection de la droite airl avec le plan ABF ; mais le plan osculateur o du point F passe par ce même point et de même les droites ay, ao, as, etc., doivent avoir avec 9* les mêmes points communs qu'avec 9; donc 9^ doit coïncider avec 9. Tout point F de la courbe a donc pour conjugué son plan osculateur 9 et, comme la tangente en F est située dans 9, elle est conjuguée à elle-même et est une directrice du système focal.

Deux gerbes collinéaires S et Sj, qui engendrent la courbe gauche li" et son système de sécantes, ont pour conjugués dans le système focal deux systèmes collinéaires plans j et (t^ qui engendrent le faisceau de plans du troisième ordre, qui oscule A:', et tous ses axes. Toute corde de la courbe a donc pour conjugué un axe du faisceau de plans et à toute sécante impropre correspond un axe impropre. Comme le point d'intersection de trois plans osculateurs réels de la courbe gauche est toujours situé sur une sécante impropre (II, page 115), on voit que : Un plan quelconque conlieuL un axe propre ou un axe iniproprê

du faisceau de plana, fniivatd qu'il coupe la co^n'he gauche rhi troisième ordre en un seul point réel ou en trois points réels.

Chaque tangente fait partie du système de cordes de la courbe et par suite aussi du système d'axes du faisceau de plans du troisième ordre, puisqu'elle est conjuguée à elle-même. En passant, on déduit de là (pie :

Toutes tes tauijentes d'une courbe (jaiiehe du troisième ordre sont projetées (fuu ])oiul quelconque S de la courbe suivant un faisceau de plans du second ordre et sont coupées pa)- nu plan oscillateur quelconque G suivaïit une ponctuelle du second ordre.

La première partie de ce théorème a été démontrée précédemment (II, page ] 02) ; la seconde partie en est la conséquence. Gomme la parabole cubique a un pian osculateur à Finfiiii, on voit en particulier que : Les tamjentes et les plans osculateui-s d'une parabole <jauche sont parallèles aux rayons et aux plans tangents d'un cône du second ordre.

La courbe gauche du troisième ordre et le faisceau de plans du troisième ordre qui Foscule, étant des formes conjuguées l'une à l'autre dans le système focal, sont aussi projectifs. Une troisième forme quelconque perspective à Tune d'elles doit donc être projective à l'autre.

Une courbe gauche du troisième ordre est déterminée, quand on connaît trois de ses points S.Sj,\ et les tangentes et les plans oscillateurs en deux d'entre eux. (^ar la courbe est jîrojetée de chacun de ces deux points suivant un cône du second ordre dont on peut immédiatement trouver trois rayons et les plans tangents le long de deux d'entre eux; ces cônes sont donc connus et se coupent suivant la courbe gauche. Le théorème réciproque est le suivant :

Un faisceau de plans du troisième ordre est déterminé par trois de SCS plans et les ragons et points de contact de deux d'entre eux. On énonce généralement ce théorème ainsi qu'il suit : Une courbe gauche du troisième ordre est déterminée par deu.i- de ses i)oints, leurs tangentes et leurs plans osculateurs et par un troisième plan osculateur.

i\ous allons énoncer sous une foi-me analogue les réciproques de quelques-uns des théorèmes démontrés précédemment. Nous les réunissons ensemble ainsi qu'il suit :

Une courbe gauche du troisième ordre est déto'minée en général quand on donne :