RELATIONS PROJECTIVES DES CUBIQUES GAUCHES

[° Six jilmis oscillateurs ; 1" cinq phais oscuhilciirs et la tangente (le Vun (Veux; 3" quatre plans oscillateurs et les tangentes de deux (Ventre eux; i° trois plans osculateiirs et leurs tangentes; 5" deux plans oscillateurs et quatre axes (II, page 106); 0" trois plans oscillateurs et trois axes ; 7" cinq plans osculatenrs et nn axe, etc.

On ])eut, dans chacun des cas énoncés, construire facilement la courbe gauche ou ])Kitôt le faisceau de plans du troisième ordre qui Toscule. Soient donnés, ])ar exemple, dans le cinquième cas, les plans osculatenrs I et ïj et les quatre axes aj),c,d ; nous rapportons les deux systèmes plans 2l et 1^^ coUinéairement Fun à l'autre de manière que chacun des axes a,b,c,d contienne deux points homologues de I^ et l^. Les deux systèmes collinéaires engendrent alors le faisceau de plans du troisième ordre et son système d'axes. Les cas d'exception, où la construction est impossible ou bien où la courbe se décompose, se reconnaissent d'eux-mêmes.

OUATOliZIOliî \Mm.

Points conjugués par rapport à une coui'be gauche du troisième ordre.

Nous ne pouvons pas abandonnor la théorie des courbes gauclies du troisième ordre, sans faire connaître une propriété essentielle dont elles jouissent et dont nous fei'ons un très fréquent usage dans la suite. Nons avons démontré qu'il existe une infinité de surfaces réglées et de cônes du second ordi'e f[ui se coupent suivant la courbe gauche du troisième ordre; nous savons en effet que la courbe peut être réunie à deux quelconques de ses cordes au moyen d'nne pareille surface réglée du second ordre. Nous ajoutons maintenant que :

Les i)hins polaires d\ui ])oinf quelconque A, par rapport à toutes les surfaces du second ordre menées par la courbe gauche k" dti lr:>i sienne ordre, se coupent en un môme point A^ situé sur ta corde de la cotn-he qui passe par le point A.

Si S. est un point de la courbe, sa tangente a touche la courbe k' et par suite aussi toutes les surfaces du second ordre menées par /.:\ Dans ce cas, tous les plans polaires du ])oint A passent donc par la tangente a et un point quelconque Aj de cette dernière peut être regardé connue le point d'intersection de ces plans polaires. Si A n'est pas situé sur A:"", il passe ])ar A une seule sécante s de la courbe. Supposons d'abord que ce soit une sécante propre, qui ail deux ])oiiits M et N communs avec la courbe; le point A^ de .s, qui est harmoniquement séparé de A par M et N, doit se trouver dans tous ces plans polaires. La corde s peut aussi être tangente à la courbe 1r en un point S; elle est alors tangente