POINTS CONJUGUÉS PAR RAPPORT A UNE CO'BIQUF. GAUCHE

en s à toutes les surfaces du second ordre menées par k^ et tous les plans polaires de A se coupent au point S, qui dans ce cas est identique avec \^. Nous n'avons donc plus à démontrer le théorème que pour le cas où la corde s est impropre.

Soient F' et F^^ deux surfaces du second ordre menées par k^ et supposons que F^ soit un cône. Nous joignons le point \ au sommet de ce cône par une droite g et nous cherchons les plans polaires de tous les points de g par rapport à F' et F^'. Nous obtenons alors un seul plan polaire y par rapport à la surface F^ et un faisceau g^ de jilans polaires par rapport à F^" ; ce dernier est projectif à la ponctuelle g.

Toutes les cordes, qu'on peut mener des points de la droite g à la courbe gauche du troisième ordre, forment un système réglé perspectif à g, qui sera coupé par le plan y suivant une ponctuelle du premier ou du second ordre projective à g et conséquemment à g^. Nous savons déjà que toute corde propre du système réglé a avec y un point comnnm, situé sur le plan fini lui correspond dans g^; cette ponctuelle doit donc être perspective au faisceau de plans g^, parce qu'une infinité de ses points sont situés dans les plans qui leur correspondent. Les plans polaires de A par rapport à toutes les surfaces du second ordre F^% menées par /.:'', passent donc par le point A^, où la corde AAj ou .s est coupée par le plan g.

Le système de cordes perspectif à g est en généi'al coupe ])ai- le plan y suivant une courbe du second ordre qui passe par le centre de la surface conique F^ C'est seulement dans le cas où g est situé dans le plan osculateur de ce centre, et où par suite la tangente en ce ])oint appai-lient au système de cordes, que cette courbe du second ordre se décompose en deux droites, qui sont cette tangente et une directrice g' du système de cordes ; en eflet, y étant le plan polaire de g par rapport au cône F% y doit contenir les rayons de contact des deux plans tangents menés par g à F'^ et l'un de ces i-ayons est la tangente^ de la courbe gauche du troisième ordre.

Pour abréger, nous dirons que deux points sont conjugues par rap- ])(>rt à la courbe gauche /^" du troisième ordre, quand ils sont, comme \ et \,. conjugués par ra]:)poi-t à toutes urface du second ordre passant par k''. Nous dirons de même que deux plans sont conjugués par rappoi't à un faisceau de plans du troisième ordre, quand ils sont conjugués par rapport à toute surface réglée ou autre du second ordre inscrite dans le faisceau de plans. Il résulte alors de notre démonstration c(ue :

GEOMETKIF, DE POSITION,

Toulft droite, qui joint deux points A et A^ conjugués par rappoit à une courbe gauche /.'' du troisième ordre, est une corde de Ir. Si la corde AA^ coupe la courbe en deux ])oints réels M et A, les points A et A^ sont hannoniquement séparés par ces points M et N. Si AAj est tangente à la courbe, l'un des points A et \, coïncide avec le point de contact.

Un point de la courbe gauche est conjugué à chacun des points de sa tangente et par suite aussi il est conjugué à lui-même. Les points d'une corde sont accouplés involutivement, quand on fait correspondre deux à deux les points conjugués situés sur cette corde.

La droite d "intersection de deux plans a et ap conjugués par ra])port à un faisceau de })lans du troisième ordre, est un axe du faisceau. S'il passe par aaj deux plans réels y, et v du faisceau de plans, les plans a et y.^ sont harmoniquement séjiarés par [j. et v. Si azj est un l'ayon de contact du faisceau, l'un des ])lans a et a^ coïncide avec le plan du faisceau ([ui passe par axj. Un plan du faisceau est conjugué à tout plan qui passe par son rayon de contact, et par suite aussi il est conjugué à lui-même. Les plans passant par un axe sont accouplés involutivement, quand on fait correspondre deux à deux les plans conjugués ({ui passent par cet axe.

Si tnic (Jroilc g coupe ht courbe gauche du froisièine ordre en mi seul point \\ tous les points qui sont conjugués aux points de g sont en général situés sur une courlx' du seco7id ordre passant par P, et /c point P lui-mênie a pour conJ7ignés tous les points de sa tangente p. // résulte de là que les polaires de la droite g, par rapj)ort à toutes les surfaces du second ordre (/ui cont iennent la courbe gauche, doivent couper la coui'l>e du second ordre et aussi la la)igente j) ; ces polaires forment donc un système de rai/ons de preinier ordre et de seconde classe.

Si la droite g est située dans le plan osculateur du point P, .s^'.s points sont conjugués à ceux d'une auti'c droite g' gui coupe la courbe gauche en un point V . La droite g' est située dans le plan osculateur de P' et coupe la tangente du point P ; de même, g coupe aussi la tangente de P'. Les polaires de g par rapport à toutes les surfaces du second ordre qui passent par la courbe gauche forment un système de rayons de premier ordre et de première classe, dont les axes sont g' et la tangente du /loint P.

POINTS CONJUGUlis PAU RAPPORT A UNE (:UB1<}UE GAUCHE. 121

Les points milieux de toutes les cordes d'une courbe gauche du troisième ordre, qui sont parallèles à un plan asymptotique, sont situés sur une droite qui coupe la courbe gauche; en eilet, ils sont conjugués aux ])oints à rinlini du plan asymptotique.

Soit / une droite absolument quelconque et soient ^^,l^,l. ses polaires par rapport à trois surfaces du second ordre menées ])ar la courbe gauche. Les polaires de tous les points de / forment alors trois faisceaux de plans /p/.,,/-, projectifs à la ponctuelle / et par suite projectifs entre eux, et qui par consé([uent engendrent en général une courbe gauche du troisième ordre. Les droites Z^, /,;,/-, sont des cordes de cette nouvelle courbe gauche du troisième ordre et chacun de ses points est conjugué à un point de /. Donc :

ïj'x pointti conjugués des points (Vune droite quelconque 1, pai- rapport à une courbe fjanche \} du troisième ordre, sont en (jénéraJ situés sur jme deuxième courbe gauche du troisième ordre, et toutes les polaires de 1, jjar rapport aux surfaces du second ordre qui passent par k^, appartiennent au sgstème de cordes de cette seconde courbe.

C'est seulement quand / est une corde de la courbe gauche 1â, ou quand elle a avec k^ un point commun, que ce théorème comporte des cas d'exception traités dans les propositions qui précèdent.

Si l'on considère la courbe gauche /.' comme une courbe double d'un système focal, si par suite elle est conjuguée au faisceau de plans K* du troisième ordre qui Toscule, les points qui sont conjugués deux à deux par rapport cà la coiu'be /.■* ont pour conjugués dans le faisceau K* deux plans conjugués l'un à l'autre. On peut, d'après cela, trouver facilement les théorèmes réciproques de ceux qui précèdent. Nous ne mentionnons que la proposition qui suit :

Etant donnée une droite g, qui coupe la courbe gauche k^ en unpoint P et qui est située dans le plan oscillateur de ce point, on peut construire une droite g', qui soit égalonent coupée par k* en un point V, qui soit située dans le plan osculateur deV et qui soif telle que non seulement chaque point de g ait pour conjugué par rapport à k^ un point de g', mais que tout plan passant par g' soit conjugué par rapport à K^ à un. plan passant par g.

La première partie de cette proposition a été démontrée précédemment; la deuxième s'en déduit si l'on remarque ([ue g et g' sont conjuguées à elles-mêmes dans le système focal.

Les points d'un plan v ont pour conjugués par rapport à la courbe

122 GÉOMÉTT^IE DE POSlTiOX.

gauclio /."• les poiiils (!"iiii(' surface courbe r\ Celte surface a eu commun avec luie droite/ ([ni n'est pas située entièrement sur elle, trois points au plus; elle est donc du troisiènie ordre. En effet, les ])oin1s de / ont pour conjugués cenx d'une courbe gauche du troisième ordre, qui a au plus trois points communs avec le plan y et qui ne se décompose en une droite et en une conique que dans des cas particuliers. La siuface P passe par la courbe gauche /.•'% parce que -; contient un ])oiiit de chacune des tangentes de cette courbe; elle passe en outre par toutes les courbes gauches du troisième ordre conjuguées aux droites du plan v. Soit \ im point commun à y et à la courbe /.;'', T'' passe par la tangente de A ; toute droite de y, |)assant par A, a pour conjuguée une courbe du second ordre située sur la surface P; cette dernière peut donc aussi être décrite par une com-be variable du second ordre. Le plan osculateui' du point A est coupé par y suivant une droite qui a pour conjuguée une droite située sur r\ Cette surface passe aussi par toute corde de la cour])e /."' qui est contenue dans 7.

Si, par exemple, \m plan 7 '^ les trois points A,lî,C communs avec la courbe gauche Jr\ il couj:>e la surface F" suivant les trois cordes AB, BC et CA ; P doit aussi contenir les tangentes des points A,B,C. Si Ton désigne par P le point de y où se coupent les plans osculateurs des trois points A,B,C, la surface du troisième ordre P passe par les trois droites dont les points sont conjugués à ceux de PA, PB et PC. Ces trois droites doivent se couper au point conjugué k P et être situées dans le plan conjugué à y- Si le plan y est osculateur à la courbe gauche A:"' eu un point A, la surface P est réglée et peut être décrite ))ar une droite. Si 7 passe à l'infini, on a ce théorème : Les poinis milieu.r (le foiifcs les cordes d'iuie courbe qanche du Iroisiènte ordre so)il situés sur une sur/hce du h'oisièine ordre.

Nous allons lei-miner cette leçon en démontrant, ce théorème important :

Vue courlic (/(niclic k^ du iroisièine ordre peul être rêiruie à une corde (jiielcoïKiiie s jxir nue iii/iiiiié de s/u'('<ices renflées du second oi'dre : pai' loni jxyiiil P extérieur à V et s // ne pir-se f/tniiie seule de ces surfaces (huit r ensemble peut s'fippeler un faisceau de surfaces. Les plans polaires d^un point quelconque V, par rapport à toutes les surfaces du faisceau, se coupeiit suivant une même droite.

Par Ij point P passe une corde p de la courbe A'", et p détermine avec la corde ,^.' une sur(a/*e réglée ou nn cône (\\\ second ordre (II,

POINTS r:oN,iur,uKS par rapport a une chrique cauchr. 123

page JOO) passant |)ar Ir. qui fait paitic du faisceau de siufaces et contient le ])oint V.

Pour démontrer la, dernière partie du tiiéorèine, nous distinguerons ti'ois cas. Nous supposerons d'abord A situé siu' la courbe ganclie /."■ ; les plans polaires de ce point par rapport à toutes les surfaces du second oi'dre menées par /r' se coupent alors suivant la tangente de A, Si de ])lus le point A est situé sur la corcie .s par laquelle passent toutes les siu'faces du faisceau, ses plans polaires sont tangents en A aux surfaces correspondantes des faisceaux et par conséquent doivent tous passeipar .9. Si enfin le point A n'est situé, ni sur la courbe !â, ni sur la corde a, tous ses plans polaires doivent d'abord passer par le point A^ qui lui est conjugué. Nous pouvons immédiatement construire un deuxième point Ag commun aux plans polaires de A dans le plan A.s, pourvu cjue ce plan ne passe pas par la corde AA^, et qu'il ne soit pas tangent à la courbe gauche //' en un point de s et ne la coupe pas en un autre point. En effet, le plan ks coupe alors la courbe en un point M, extérieur aux cordes AA^ et .s, et A^ est le point de la droite AM qui est harmoniquemenl séparé de A par M et .s-, et qui pai* suite est conjugué au point A par rap'port à toutes les surfaces du faisceau.

Les plans polaires de A doivent donc passer par la droite A^A^ et le théorème est déjuontiv poin- tout point A. dont la corde A \j ne rencontre pas s en un point de la courbe et n'est pas contenue dans un plan tangent à la courbe /,"' mené par s.

Suivant que s sera une sécante impropre ou propre, nous n'aurons donc plus de démonstration à donner pour aucun point, ou bien nous devrons prouver le théorème pour les points situés sur les deux cônes (lu faisceau ou sur les deux plans tangents à k'^ menés par .s.

Supposons maintenant \ situé sur Tune de ces deux surfaces ou de ces plans tangents; soit g une droite quelconque passant par \ et soient de plus l'j,F2,F. trois surfaces cpielconques du faisceau. Les plans polaires de tous les points de g par rapport aux suifaces Fj,F2,F. forment trois faisceaux de plans g^,g^,g- projectifs à la ponctuelle g et conséquemment projectifs entre eux. Il y a une infinité de points de la droite g pour lescpiels on a démontré le théorème, à savoir que leui-s plans polaires par rapport au faisceau se coupent suivant une seule et même droite; donc les faisceaux de plans r/j.jy, et g, doivent engendrer une seule et même forme de rayons du premier ou du second ordre ; <■ est en généi-al un système réglé, auquel les faisceaux de plans sont

124 GEOMETHIE DE POSIIION.

perspectifs; il s'ensuit (|ue les plans polaires du point A doivent se couper suivant une seule et même droite. On voit en même temps que :

Si un point se mcvl sur une droite g, la droite suivant laquelle se coupent ses plans polaires par rapport aux svrfaces du faisceau décrit en (féuih'al un si/stènie réi/lé; les polaires de la droite j; sont les directrices de ce si/slèuie riylé.

Le faisceau de surfaces est coupé par un plan quelconque suivant un faisceau de courbes du second ordre. Ce dernier a les propriétés suivantes, qui résultent de ce qu'on vient de démontrer.

Par chaque point du plan passe une conique du faisceau. Les polaires d'un point quelconque., par rapport à toutes les conicjues du faisceau, passent par un seul et même point. Si deux coniques quelconques du faisceau se coupent ou sont tangentes en U7i point, toutes les coniques du faisceau doivent se couper ou être tangentes en ce même point ; car le point est situé sur toutes ses polaires et., dans le dernier cas, ces dernières se confondent avec la tangente commune aux courbes.

Un point quelconque P tlu plan a donc pour conjugué par rapport à toutes les coniques du faisceau un ])oiMt 1\ par lequel passent les polaires de P. Les polaires de tous les ])oints d'une droite g par raj^port à deux de ces coniques forment deux faisceaux de rayons projectifs à g; ces derniers engendrent une conique ({ui passe par les centi-es des faisceaux, c'est-à-dire par les pôles de g. Donc :

Les points d'une droite g ont pour conjugués par rapport au faisceau de coniques les points d'une conique projective à g, qui passe par les pôles de g par rapport aux coniques du faisceau.

La correspondance géométrique du second degré nous fera découviir d'autres ])ropriétés des faisceaux de coniques.

QUINZIÈME LlînON.

Projectivité d'un système de rayons du premier ordre et d'un système plan. — Surfaces réglées du quatrième ordre engendrées par deux faisceaux projectifs de plans du secoad ordre.

DilTérents théorèmes de la onzième et de la douzième leçon, que nous allons prendre comme point de départ pour des recherches ultérieures, peuvent être réunis dans l'énoncé suivant :

Deux (jcrbos coUinéaircs S. S', qui ne so)it ni perspectives, ni eouventriques^ engendrent un si/stènie de rayons du premier ordre el^ de plns^ u)ie courbe k"" du troisième ordre qui passe par tous les points d'intersection des rai/ous homologues des gerbes. Cette courbe\? contient tous les points singuliers du système de rayons, et chaque rayon de ce système est une corde (ou u)ie tangente) de k'. Le système de rayons est de la troisième, de la seconde ou de la première classe, suivant que la ligne k'' est une courbe gauche du troisième ordre, qu'elle se décompose en une conique et une droite ou qu''elle se réduit à SS' et à deux autres droites u, v. Dans ce dernier cas, u et \ peuvent être imaginaires conjuguées ou coïncider. La ligne k" passe par les centres des gerbes collinéaires S, S' et elle en est projetée par des cônes du second, ordre cjui, dans le second et le troisième des cas précités, peuvent aussi se décomposer en deux plans.

Nous laissons au lecteur le soin de trouver les réciproques de ces théorèmes dont nous ferons également usage.

Rapportons maintenant réciproquement les gerbes S, S' à un système plan 1^ ; le système de rayons du premier ordre se trouve de la sorte rapporté projectivement kl^. En elïet, à tout point de Z^ cor-

i26 (iÉOMÉTRlE DE l'OSiTId.N.

res])oiicleiil dans les gerbes collinéaii'cs deux plans liouiulogues et leur dioite d'intersection, qui fait partie du système de rayons, et toute jionctuelle i-ectiligne de y.j a pour correspondante une surface conique ou réglée du second oidre engendrée par deux faisceaux homologues de plans de S et S*.

Vu système de rayons forjné par les cordes de la ligne k^ correspondent ainsi les points du plan 1^ ; et en particulier, les points et les tangentes de k'' ont pour correspondants les points et tangentes d'une conique y,^\ projective à A;'' ; cette courbe de seconde classe se réduit à deux points, quand Ji^ se décompose en ime conique et une droite ou en liois droites. Une ponctuelle rectiligne de ^^ a pour correspondante dans le système de rayons une surface conique ou une surface réglée siùvant qu{3 cette droite est ou n'est pas tangente à la conique 7.,'. Tn point quelcojK[ue de 1, aui-a donc pour élément correspondant une corde pi'opre ou impropre de A:'', suivant (|u'il sera à l'extérieur ou à riulérieur de ■/.,'.

\ux rayons du système, qui coupent une droite (j n'appartenant [)as à ce système, correspondent dans 1^ les points d'une conique Yi' W^~ jeclive kg. En effet, projetons de S la ponctuelle g par un faisceau de rayons, ce dernier aura pour correspondant dans la gerbe S' un faisceau de rayons projectif à^, qui engendre avec g un faisceau de plans du second ordre (ou exceptionnellemeni du premier ordi-e) ; tout plan de ce faisceau, auquel correspond dans 1^ la conique r^-, a, en comuum avec le plan homologue de la gerbe S un rayon du système qui rencontre la droite g.

La conique \\~ se décompose en une tangente à y.^' et en une ponctuelle rectiligne projective à g quand, par exception, deux rayons homologues des gerbes S et S' se coupent en un point de g, quand par conséquent g a un point U commun avec //". Comme on peut, en général, mener par la droite g une infinité de plans contenant chacun trois cordes de />;'', on peut aussi, en général, inscrire dans la conique \\' une infinité de triangles circonscrits à la coni([ue v.^'.

A une courbe quelcon([ue du second ordre ç^' de 2^ correspond dans le système de rayons du premier ordre une surface réglée F\ et cha([ue j)oint de 9^" a ]:)Our correspondant une génératrice rectiUgne de F\ Comme o^^ a au plus quatre points comnmns avec y^', il y a au plus f[uatre rayons de F' (|ui coupent la droite arbitraire r/ ; la surface F'' est donc du (|iialiièmc ordre. Elle passe, en généial, deux foi-^

SUBFACES RÉGI.IOliS \<U OUATKIÈMK OHDKl::. 127

])ar les points de la ligne /r', parce ([ue 9/ a, en général, deux points coummns avec chacune des tangentes de y.j^ ; elle est engendrée par deux faisceaux projectifs de plans du second ordre (jui correspondent à la courbe ©^"^ dans les gerbes coUinéaires S et S'. Comme ces deux fais- (•eaux projectifs de plans déterminent complètement la collinéation des gerbes, on voit que :

Deux faisceaux pivjcclifs et non concentrùjues de j)laiis du second iirdi-e ctKjendrent, en générai, une surface réglée du qualrièuw ordre, (/ai a une ligne double k^' du troisiètne ordre; les rayons de la surface sont des cordes de k^ et sont projetés de deux points quelconques de cette ligne par des faisceaux projectifs de plans du second ordre.

La dernière partie de ce théorème n'est sujette à quelques exceptions ])ien faciles à établir que dans le cas où ir" se décompose en une conic[ue et une droite, ou en trois droites. En effet, dans le premier cas, les rayons de la surface réglée du quatrième ordre sont projetés de deux points quelconques de la conique et, dans le second cas, de deux points quelconques de la droite SS' qui fait partie de /r et sur ku^uelle sont situés les sommets des faisceaux générale ui's de plans, suivant des faisceaux projectifs de plans du second ordre. Dans le dernier cas, SS' est un rayon double de la surface.

Faisons coïncider la conique '-j^avec -a^' ou avec Tune des coniques Yf', nous voyons que :

Les tangentes de la courbe gauche k^ du troisième ordre sont situées sur une surface [développable) du quairième oi'dre. Les cordes de la courbe gauche k^, qui coupent une droite arbitraire g, sont également situées sur une surface réglée du quatrième ordre.

Cette dernière surface a, en général, trois cordes communes avec un plan mené par g et elle est tangente à ce plan aux points d'intersection de g et des trois cordes. Les plans du faisceau g sont donc des plans tangents triples de cette surface.

La surface plus générale F' peut aussi être décrite au moyen d'une ligne du troisième ordre /.;'' et d'une surface conique du second ordre dont le sommet est situé sur Z^''. Eu effet, toutes les cordes de /j"', (jiii sont tangentes à cette suiface conique, sont situées sur une surface F' du quatrième ordre, parce qu'elles sont projetées du sommet du cône suivant un faisceau de plans du second ordre. Par un point quelconque P de kr passent deux droites de la suiface F' qui sont réelles ou imaginaires, selon que P est situé à l'extérieur ou à Tintérieur de la sur-

face conique. Les deux droites de F\ issues de W coïncident lorsque P est situé sur la surface conique du second ordre ; dans ce cas, P est un point de rebroussement de la surface F\ et cette dernière est tangente à un plan unique tout le long de la génératrice singulière ([ui passe par P. En général, la surface réglée F* a tout au plus quatre j)oiiits de rebroussement et quatre génératrices singulières ; et aux points de rebroussement correspondent les tangentes connnuncs au\ coniques v.^^ et 9^^ C'est seulement dans le cas où ç^' et v.^- se confondent et 011, par suite, F' est la surface formée par les tangentes de la courbe gauche du troisième ordre /l", que tous les points de cette courbe sont des points de rebroussement de F'. En général, F* contient au plus quatre tangentes de /.:''; ces dernières ont pour correspondants les points communs à ç^- et y.^-.

Un plan, joignant deux rayons de la surface F' qui se rencontrent, coupe en outre cette dernière, suivant une courbe du second ordre o, projective à o^'. En effet, les deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui engendrent la surface F', sont coupés par le plan en question, suivant deux faisceaux de rayons du second ordre projectifs à 9j- ; et comme ces faisceaux ont deux rayons correspondants comnmns, ils engendrent une conif[ue?'' qui leur est projective (I. p. 142). Lorsque F* est formée par toutes les cordes de la ligne h'\ qui coupent une droite </, 9" se décompose en la droite g et en une corde de k" ; dans tous les autres cas, la surface F' peut être engendrée, non seulement par des faisceaux de plans projectifs, mais encore, en suivant la marche réciproque, elle peut être engendrée par des courbes projectives 9- du second ordre. Les plans de toutes les courbes du second ordre situées sur F\ forment un faisceau de plans K'' du troisième ordre et sont des plans tangents doubles de la surface V\

On obtient trois variétés principales de la surface réglée F' du quatrième ordre, suivant que la ligne k'\ formée par ses points doubles, est une courbe irréductible du troisième ordre, qu'elle se décompose en une conique et une droite, ou bien en trois droites.

Dans le premier cas, comme nous le verrons, le faisceau formé ])ar les plans tangents doubles est un faisceaU'de plans irréductible du troisième ordre ; dnns le second et le troisième cas, il se décompose respectivement en un faisceau de plans du premier ordre et un du second, ou en trois faisceaux de plans du premier ordre. iNous allons étudier chacune de ces variétés en particulier.