SURFACES REGLEES DU QUATRIEME ORDRE

Lorsque la ligne Ir' se décompose en trois droites SS', //, y, dont les deux dernières peuvent aussi être imaginaires ou coïiK-identes, les rayons de la surface F' sont projetés des points de la droite SS' par des faisceaux de plans du second ordre, et ils sont coupés par des plans passant par SS', suivant des courbes du second ordre. Tous ces faisceaux de plans et ces courbes sont projectifs entre eux (II, page 89) et cà la conique 9,^ Ouand une droite se meut en glissant sur deux droites II, Vy qui ne se coupent pas et en rencontrant une coni({ue 9", ou en restant tangente à une surface conique quelconque du second ordre, elle décrit cette variété de surfaces du quatrième ordre. Les di'oites u et y, comme le monti-e aisément ce mode de génération, sont des droites doubles de la surface F'. La droite SS', qui est située dans le l)lan de la conique ©^ et coupe u et v, est un rayon double propre ou isolé, ou bien un rayon de rebroussement de F\ suivant qu'elle a avec 9^ deux points communs lé 'Is ou imaginaires, ou bien qu'elle est tangente à 9'. Les plans doublement tangents à cette surface F'' forment trois faisceaux de plans dont les axes sont SS', u et v. Les plans du faisceau SS' coupent la surface suivant deux génératrices réelles ou iuiaginaires. La surface F' est réciproque à elle-même et elle est sa propre conjuguée dans une infinité de systèmes focaux, parce que ses rayons appartiennent à un système de rayons de premier ordre et de première classe et font, en conséquence, partie d'une infinité de complexes linéaires de rayons.

En second lieu, si la ligne /.;' se décompose en une di'oite v et une courbe h- du second ordre, qui a un point commun avec w, (11, p. 97), les rayons de F* font partie d'un systèjue de rayons du premiei' ordre et de seconde classe, et ils sont projetés des points de k'^ suivant des faisceaux projectifs de })lans du second ordre. Quand une droite se meut en rencontrant constamment une droite vet une conique A;^ qui se coupent et en restant toujours tangente à une surface conique du second ordre, dont le sonmiet est situé sur k~, elle décrit la seconde variété de surfaces du quatrième ordre. Un point de /:" est un point double propre ou isolé de la surface F', suivant qu'il est situé à l'extérieur ou à l'intérieur de la surface conique.

Tout plan du faisceau v est doublement tangent à la surface F'' ; il la coupe suivant v et suivant deux rayons réels ou imaginaires qui ont en commun avec v les deux points de contact. Nous obtenons d'autres plans doublement tangents en réunissant [)ar un [)laii deux rayons

GÉOMÉTRIE Dli l'OSlTIOX. 11. Q

de F' passant par un même point de v ; ces plans coupent en outre la surface F\ suivant des courbes projectives du second ordre par lesquelles on peut engendrer F\ et ils forment un faisceau de plans du second ordre. Ils ne peuvent, en effet, former deux faisceaux de plans du premier ordre ; car s'il en était ainsi, la surface appartiendrait à la variété que nous avons considérée précédemment. Le faisceau de plans P du troisième ordre, qui renferme les plans doulDlement tangents de cette surface F\ se décompose ainsi dans le faisceau de plans V et dans un faisceau de plans du second ordre, qui a un plan commun avec v. Cette variété de surface réglée du quatrième ordre est encore réciproque à elle-même; mais il n'existe pas de système focal dans lequel ses rayons soient à eux-mêmes leurs conjugués.

La surface F* pouvant aussi, en général, être engendrée au moyen de courbes projectives du second ordre, il découle de ce qui précède que ses plans doublement tangents ne peuvent appartenir à trois faisceaux de plans du premier ordre, ou à deux faisceaux de plans, l'un du premier et l'autre du second ordre, que si la ligne double h' se décompose en trois droites, ou en une droite et une conique.

Si donc les points doubles de la surface F* sont situés sur une courbe gauche irréductible du troisième ordre k'\ les plans doublement tangents forment un faisceau de plans K", irréductible et du troisième ordre.

11 n'y a d'exception que pour la surface particulière qui contient toutes les cordes de k^ rencontrant une droite g ; cette surface est réciproque à celle qui passe par tous les axes d'un faisceau irréductible de plans du troisième ordi'e qui coupent une même droite et pour laquelle les points de cette droite sont des points triples. En faisant abstraction de ce cas particulier, nous avons alors le théorème suivant \

La surface réglée F* du quatrième ordre, sur laquelle les points doubles forment une courbe irréductible du troisième ordre k% est réciproque à elle-même et se compose de tous les rayons d'un complexe linéaire de rayons qui sont des cordes de k''.

Nous démontrons ce théorème dam l'hypothèse où il y a sur k^ des points doubles propres de F^ où se coupent deux rayons réels de la

1. Ce théorème est àùkClchsrh f.Malh. Ann. I II); la démonstration synthétique qui suit z éié donnée par M. Richard Krause (Uber ein specieiles Gebûsch von Fliichen 11 OrûDung. Thèse. Strasbourg, Î87i)).