SURFACES RÉGLÉES DU QUATRIÈME ORDRE

surface. Soient A et B deux de ces points doubles, a, a' et b,b' les couples de rayons de F* qui passent par eux et a et [3 leurs plans. Les rayons de la surface F* sont alors projetés des points A et B par deux faisceaux de plans du second ordre et ils sont coupés par les plans a et [3 suivant deux coniques, qui sont rapportées projectivement l'une à l'autre par ces rayons. Ces formes élémentaires projectives du second ordre établissent une réciprocité entre les gerbes A,B, que nous considérons comme faisant partie d'un espace 2, et les systèmes plans a, [3 que nous supposerons appartenir à un autre espace Sj ; et en outre Aa avec a et B avec 3 un faisceau de rayons commun, parce que tout rayon de la gerbe A, situé dans a et qui coupe deux droites p^q de F* différente de a et a' coïncide a.vec le rayon correspondant de a qui doit couper ces mêmes droites p et q. Le rayon AB commun aux deux gerbes a pour correspondant la droite a^i commune aux deux systèmes plans ; en effet, les plans A6 et kb' de A ou B« et Ba' de B qui passent par AB ont respectivement pour correspondants les points cub et ab de a et (3a et ^a' de 3 qui sont situés sur a^j. Les gerbes A et B de II sont rapportées réciproquement aux systèmes a et ^ de Sj parle moyen de la surface F* de telle manière qu'elles aient chacune avec ces systèmes plans un faisceau de rayons corresj)ondants connnun et que tout plan commun à A et B ait pour correspondant un point commun à a et ^ situé sur luimême. Les deux espaces :£ et 1^ sont ainsi rapportés réciproquement l'un à l'autre de telle manière qu'ils ont comme éléments correspondants communs non seulement ces deux faisceaux de rayons, mais aussi tous les rayons de F\ Ces deux espaces considérés ensemble forment donc un système focal (voir II, pages 76-77) aux directrices duquel appartiennent les droites de F' ; tout point double de F' a pour conjugué dans ce système focal un plan doublement tangent de F''. La surface F* est aussi formée des directrices du système focal qui sont des axes du faisceau de plans du troisième ordre constitué par les plans doublement tangents.

SEIZIEME LEIION.

Correspondance géométrique de second degré.

Quand un système plan :£ est rapporté réciproquement d'une double manière h. un autre système plan et quand par suite il est rapporté coUinéairement à lui-même, à tout point P^ de 1^ correspondent deux droites homologues p et p' de S et par suite aussi leur point d'intersection P ; réciproquement, au point P de 2^1 correspondent deux droites dansl^ et leur point d'intersection P^. Lorsque le point P^ se déplace sur une droite, le point P qui lui correspond ne décrit pas en général une droite, mais une courbe du second ordre ; en effet, les rayons homologues p et // forment deux faisceaux projectifs^ de rayons, et ces derniers, quand ils ne sont pas perspectifs, engendrent la courbe du second ordre décrite par P. Dans l'hypothèse que la coUinéation du système X avec lui-même (colUnéation qui résulte de la double réciprocité) n'est pas une relation de perspectivité, nous avons ce théorème :

La double réciprocité de 1 et de 1^ donne naissance entre ces systèmes à une RKLATIOA QrADUATIQUE OU à UNE CORRESPOKDANCE GÉOMÉTRIQUE DU

SECOND DEGRÉ telle qu'cn ijénéral un point de Vun des systèmes a pour correspondant un point de Vautre système et quà une ponctuelle du premier ordre dans l'un correspond une ponctuelle projective du second ordre dans Vaulre.La correspondance quadratique de ^ et ïj est réciproque ou permutable, c est-ci-dire qu'elle subsiste^ quel que soit celui des systèmes que Von considère en premier lieu.

Cette correspondance (piadratique a pour corrélative une autre correspondance dans laquelle chaque rayon de il^ a })oui' correspondanl un

rayon de i:, mais où chaque faisceau quelconque de rayons du ijreniier ordre a pour correspondant un faisceau de rayons du second ordre. En remplaçant l'un des deux systèmes plans par un système qui lui soit réciproque, on obtient encore entre les systèmes plans une troisième espèce de corresponda,nce dans laquelle un point a pour correspondant un rayon et une ponctuelle du j^remier ordre dans le premier système, un faisceau de rayons du second ordre dans le deuxième. Nous allons étudier de plus près la correspondance quadratique dont nous avons parlé en premier lieu ; nous ne nous occuperons pas davantage ici des correspondances analogues f[u'on peut établir entre les gerbes de rayons.

2 étant rapporté réciprof[uement à 1^^ d'une double manière, de telle sorte qu'cà tout point ou tout rayon de 1^ correspondent respectivement deux rayons ou deux points de Z, nous obtenons sur 2 deux systèmes plans collinéaires. Projetons ces deux systèmes collinéaires de deux points tels que la droite qui les joint ne passe pas par un point se correspondant à lui-même et ne coupe pas une droite qui se corresponde à elle-même, nous obtenons deux gerbes collinéaires, réciproques à 2j, qui engendrent le système de cordes d'une courbe gauche //' du troisième ordre. Mais ce système de cordes est rapporté projcctivement à -j, par le moyen des deux gerbes (II, page 125) et l'autre système plan Z en est une section. L'étude de la correspondance quadratique entre 2 et 2y se trouve de la sorte ramenée à un problème qui a la connexion la plus intime avec une de nos précédentes recherches.

A tout point de 1, correspond une corde de h^ et son point d'intersection sur 1 ; à toute droite a^ de 2 correspond dans le système de cordes une surface du second ordre, passant par la courbe gauche k', et par suite dans 2 une conique qui contient tous les points communs cà I et //' ; si la droite a^ de il^ pivote autour de l'un de ses points, la surface correspondante du second ordre décrit dans le système de cordes un faisceau de surfaces et la conique correspondante décrit dans 2 un faisceau de coniques (II, page 124). Nous pouvons immédiatement déduire de la coi'respondance quadratique quelques-unes des propriétés principales d'un pareil faisceau de courbes du secbnd ordre.

Soit Aj le centre d'un faisceau de rayons situé dans Zi^ et A le point correspondant de il par lequel passent toutes les courbes du faisceau correspondant de coniques, soit de plus g une ponctuelle quelconque du premieT ordre de S à laquelle correspond dans 2j une conique \\'

projective à g. Si ladiohc g ne passe pas par A, \\' ne passe pas par A^; dans ce cas, les points de la coni(]ue v^' sont aloi's accouplés involutivement par le moyen du faisceau de rayons A, et conséqueniment ceux delà droite g le sont aussi par le moyen du faisceau de coniques A. Il faut remarquer ici que si g coupe la courbe gauche /.'' en un point II, la conique y^* se décompose en deux droites g^ el î<, dont l'une g^ est projective à g (II, page 126). Si la droite g passe par le point A, elle a encore en commun avec les coniques du faisceau un i)oint différent de A, et en même temps Yi" passe par Aj. Comme toutes les droites </j situées dans Si et toutes les coniques v^'- passant par ^^ sont rapportées projectivement les unes aux autres par le moyen du faisceau de rayons A^ il s'ensuit que ■

Toutes les ponctuelles g du premier ordre, passant par un point commun à toutes les coniques du faisceau, sont projectivement rapportées les unes aux autres par ce faisceau de telle manière qu'un groupe de points homologues des ponctuelles est situe sur chaque conique. Toute droite, qui ne passe par aucun des points communs aux coniques, est coupée par le faisceau de ces coniques suivant une ponc^ tuelle involutive telle que les points conjugués sont situés deux à deux sur une seule et même conique du faisceau.

Il résulte du second de ces théorèmes que le faisceau est complètement déterminé par deux de ces coniques. En effet, pour construire une troisième conique quelconque du faisceau passant par un point donné P, nous mènerons par P des rayons (jui coupent chacun en deux points les àewfC coniques données a" et fi". Gomme, d'après la manière dont est constitué le faisceau dont il s'agit, a" et fi- ont au moins un point commun, il est possible de mener une infinité de rayons de ce genre. Les deux couples de points, où un pareil rayon s est coupé par a^ et ^^, déterminent sur s une ponctuelle involutive ; cherchons-y le point conjugué à P, il se trouvera sur la conique du faisceau qui passe par P. Étant données trois coniques du faisceau, il est facile d'en construire une quatrième quelconque au moyen du premier des théorèmes qui précèdent.

Le plan 2 qui, nous l'avons vu, peut être considéré comme une section du système de cordes de la courbe gauche /.;'' projectif à Z^, contient aussi des cordes isolées et des points de Ir; il renferme au plus trois points et trois cordes et au jnoins un point et une corde. Les différents points d'une pareille corde correspondent à un seul et même point

Uj du système plan Z^; et un point U, commun à 2 et à A:^ a pour correspondant dans Z^ les différents points d'une droite u^ à laquelle cor respond dans le système de cordes la surface conique U/,;^ du second ordre. Les points U et U^ font donc exception à la règle d'après laquelle un point quelconque de l'un des systèmes a pour correspondant un point unique de l'autre système. Nous les appellerons points principaux des systèmes plans et nous donnerons aux di'oites qui leur correspondent le nom de lignes principales. Dans tout plan 2, il y a (II, page 105) autant de points que de cordes de la courbe gauche du troisième ordre ; donc : ,

Le système plan 1 renferme autant de lignes principales que de points principaux, c'est-à-dire, une au moins et trois au plus ; 2j en contient autant que Z, pmisqiià tout point principal de Vun des systèmes correspond une ligne principale de Vautre. La droite qui unit deux points principaux de l'un des systèmes est une ligne principale, et le point d'intersection de deux lignes principales est un point prinpal de ce système.

La dernière partie de ce théorème résulte de ce que toute droite, qui réunit deux points de la courbe gauche k^, est une de ses cordes et que le point d'intersection de deux cordes est situé sur la coui'be,

A toute ponctuelle rectiligne de 2^ correspond une surface du second ordre dans le système des cordes de la courbe gauche Ir et nous savons que les points d'une corde quelconque sont conjugués deux à deux par rapport à toutes les surfaces du second ordre menées par /^''. Or les coniques de Z, qui correspondent aux droites de Z^, sont siuiées sur ces surfaces du second ordre ; il en résulte donc que :

Les coniques de l'un des systèmes 2, qui correspondent aux droites de l'autre système Z^, passent par tous les points principaux deZ; les points de chacune des lignes principales de Z sont conjugués deux à deux par rapport à toutes ces coniques.

Il en est de même pour les coniques de Z^ qui correspondent aux droites de 2.

Une conique quelconque o^' de 2^ a pour correspondante (II, page 126) dans 2 une courbe o' du quatrième ordre, qui a pour points doubles chacun des points principaux de 2. Si ç^- passe par un point principal de i:^, ?' se décompose en une droite principale et en une courbe du troisième ordre ayant un point double. Si ?/ passe par deux points principaux de S^. ç* se décompose en deux droites principales de i: et en

nue coiirbi' du second ordre projective à ^j'. Imaginons ([u'on ait établi la correspondance géométrique (le ï et ï^, en rap])ortaut réciproquement ces deux systèmes l'un à l'autre et d'une double manière ; à la conique o^' de 2:;^ correspondent dans ^ deux faisceaux de rayons du second ordre, ainsi que la courbe sur laquelle les rayons homologues se coupent deux à deux, c'est-à-dire :

Deux faisceaux projeclifs de raifoiis du second ordre, situés dans le même plan, engendrent en général une courbe du quatrième ordre aijant au plus trois points doubles et au moins un. Cette courbe jjeul se décomposer en une droite et une courbe du troisième ordre qui a un point double, ou en deux droites et une conique, ou bien enfin en quatre droites.

Soit U un point ])rincipal et g une droite quelconque de I passant par ce point ; la conique de Sj, qui correspond à ^, se décompose alors en la droite principale u^ correspondant au point U et en une droite g^ projective à g. En elFet, toutes les cordes de la courbe gauche k" (jui sont rencontrées par g en dehors du point U forment une surface réglée et cette dernière a la ponctuelle ^j pour élément correspondant dans Ij. La droite g^ doit passer par un point principal Uj du système plan X ; en eiïet, g étant une directrice du système réglé, le ])lan Z passant par^ contient un de ses rayons m et le i)oinl principal U^, cjui correspond à w, est par conséquent situé sur^j.

Toutes les droites g de Z, qui passent par U, doivent donc avoir pour correspondantes les droites j/j de ïj qui passent par U^. Nous dirons que les points U et Uj sont deux points principaux conjugués Vun à l'autre dans les systèmes. Les faisceaux U et Uj sont projectifs ; car une droite quelconque a de Z a pour correspondaute dans )L^ une conique a^-, projective à a et passant par U^, et les faisceaux U et Uj sont respectivement perspectifs à a et à a^-. Donc :

Les points principaux des systèmes ï et I.^ sont deux à deux conjugués entre eux de telle manière que toute droite g de 1, passant par un point principal U, a pour correspondante une droite r/j de Z^, projective à (j et jiussaut par le point pi'incipal conjugué L\. Les faisceaux U et Ij\ so)iI projectifs eu égard à leurs droites qui se coireapondent.

Une courbe du second ordre de 1, qui passe par deux points principaux U et V, étant projetée de U et V par deux faisceaux projectifs de rayons, et ces faisceaux ayant pour correspondants dans Ij deux faisceaux projectifs Uj et V^, on voit que :

Toute conique de riinde^ systèmes plans, qui passe par deux points principaux a pour correspondante dans Vautre si/stème une conique qui lui est projective et qui passe par les deux points principaux coniugués.

Nous pouvons amener les doux systèmes plans clans une position telle que les faisceaux U et U^ deviennent perspectifs, c'est-à-dire soient des sections d'un seul et même faisceau de plans. Soit z Taxe de ce faisceau de plans qui passe par U et U^ ; deux points correspondants quelconques des systèmes sont alors un même plan avec z. Projetons respectivement les systèmes Z et I^ de deux points S et S^ situés sur 2, nous obtenons deux gerbes en correspondance quadratique. Deux rayons homologues quelconques de ces gerbes sont situés dans un même plan avec 2 et se coupent; et tous les points d'intersection ainsi obtenus sont situés sur une surface passant par S et S^, (pii a une conique commune avec tout plan des gerbes S et S et qui par suite doit être une surface du second ordre. En effet, considéj'ons un plan quelconque passant par SS^; ce plan contient deux faisceaux projectifs de rayons des gerbes S et S^ et ces faisceaux engendrent la conique. Si le plan passe par le point S, il renferme un faisceau de rayons, auquel correspond dans la gerbe S^ une surface conique du second ordre passant par S^U^, et cette surface a en commun avec le plan considéré la conique en question qui passe par S. Soit u la ligne principale de S qui correspond au point, principal \\ de ï^, S//, est le plan tangent de la surface du second ordre au point S ; en effet, tout rayon de S situé dans Su correspond au rayon principal SSj commun aux gerbes et est tangent en S à la surface. Les surfaces du second ordre perjiiettent de cette manière de se faire une idée très simple et très claire de la coirespondance géométrique du second degré.

Nous avons déjà fréquemment rencontré des exemples de la correspondance géométrique du second degré dans la première partie de cet ouvrage (pages d 03, 189, 205, 206); nous mentionnerons en particulier le principe des rayons recteurs réciproques. Nous ajouterons encore les exemples suivants :

Un sysfèuie de rayons de premier ordre et de première classe est coupé par deux plans quelconques suivant des systèmes plans en correspondance quadratique et est projeté de deux points quelconques suivant deux faisceaux de plans en correspondance quadratique.

138 GÉOMÉTRIE Dli POSITION.

Une (jerhc do plans du second ordre est. coupée par deux quelconques de' ses plans suivant des systèmes de rayons en correspond.ance

quadratique.

Si dans un système polaire plan on fait correspondre à tout rayon le rayon conjugué qui lui est normal, on obtient deux systèmes involutifs plans de rayons en correspondance quadratique.