DIX-SEPTIEME LEÇON

Systèmes collinéaires superposés. — Systèmes involutifs dans le plan et dans l'espase.

Deux systèmes collinéaires i; et Ij, situés dans un même plan, ont tous leurs éléments correspondants comnmns et sont identiques, quand ils ont quadrangle correspondant commun (II, page 16) ; ils sont perspectifs, c'est-à-dire ont une ponctuelle et un faisceau de rayons du premier ordre correspondants conmiuns, quand ils ont comme éléments correspondants communs trois points situés sur une même droite ou trois rayons issus d'un même point (II, page 19). Combien existe-t-il de points et de rayons correspondants qui leur soient communs, quand ils ne sont ni identiques, ni en perspective?

Pour l'épondre à cette question, en dehors du plan qui contient les systèmes collinéaires :i: et ï^ prenons deux points arbitraires S et S^ tels que la droite qui les joint ne rencontre ni un point, ni un rayon qui se corresponde à lui-même dans les systèmes.

Projetons maintenant ces systèmes :2 et I^ des points S et S, respectivement ; ces derniers deviennent les centres de deux gerbes collinéaires qui engendrent une courbe gauche du troisième ordre.

Tout point, qui est correspondant commun à 2 etS^, est situé sur cette courbe gauche ; car il est le point d'intersection de deux rayons homologues des gerbes S et S^ ; de même tout rayon qui est correspondant commun à I et Z^ est une corde de la courbe gauche du ti'oisième ordre. Nous avons ainsi ce théorème (II, pages JOO et 105).

Deux sTjstèmes collinéaires plans superposés, mais non perspectifs, ont comme éléments correspondants communs, soit les sommets et les

140 GKOMKTRIE DE POSITION.

côtes d'un triangle^ soit deux points et deux droites {fune des droites joint les deux points et Vautre la coupe en l'un de ces points), soit enfin un point et une droite.

On a Tun ou l'autre de ces trois cas, suivant que la courbe gauche (lu troisième ordre a trois points, deux points ou un point coinnuui avec le plan des systèmes collinéaires.

Deux gerbes collinaljes concentriques, mais non perspectives, ont comme élémenls correspondants communs, soit les arêtes et les faces (Vun angle triarèle, soit deux l'ayons et deux plans, soit enfin un rayon et un plan.

Ce théorème se déduit du précédent au inoyen de la loi de réciprocité, ou bien en coupant les deux gerbes collinéaires par un plan qui donne deux systèmes collinéaires. On voit de même que : étant donnés dans l'espace un système plan 1 et une gerbe S qui lui est collinéaire, il y a au moins un rayon et un plan et au plus trois rayons et trois plans de S passant par les éléments qui leur correspondent dans^, pourvu que i; ne soit pas une section de S, ou ne soit pas perspective à S.

Deux systèmes collinéaires de l'espace ont tous leurs éléments correspondants communs et sont identiques, quand ils ont comme éléments correspondants conununs cinq points, dont quatre ne sont pas dans un même plan (II, page 26) ; ils sont perspectifs, c'est-à-dii-e ont une gerbe et un système plan correspondants communs, quand ils ont un quadiungle plan ou im angle f[uadrarête correspondant commun (II, pages 25 et 50). Lorsque deux systèmes collinéaires de l'espace I et Ij ont un tétraèdre ABGD correspondant commun et qu'un point P del, qui n'est pas situé dans une l'ace du tétraèdre, a pour correspondant lui point 1\ de ^^, les cas suivants peuvent se présenter : Si la droite V\\ passe par un sommet A du tétraèdre, les systèmes ont en comjuun quatre rayons correspondants et ])ar suite tous les éléments correspondants de la gerbe A ; ils ont de même le système ])lan lUlD coi-respondant comnuin et sont perspectifs. Si la droite PI\ rencontre deux arêtes opposées AB et CI) du tétraèdre, les systèmes collinéaires ont comme éléments correspondants conniunis trois ])lans et par suite tous les plans passant par AH et p;u' CJ) ; il en est de même pour tous les points situés sur ces arêtes et pour tout rayon ((ui est coupé par AB et CD. — Si PPj ne coupe qu'une arête AB du tétraèdre, les systèmes ont pour éléments correspondants coniniuns trois plans et par suite tous

SYSTÈMES INVOLUTIFS PLANS. 141

les plans passant par AB, tous les points situés sur CD, et en outre les plans AGD et BGD ainsi que tous les rayons de ces plans qui passent par A ou G.

Si enfin la droite PP^ n'est dans un même plan avec aucune des arêtes du tétraèdre, les systèmes collinéaires n'ont que les sommets, les arêtes et les faces du tétraèdre ABGD qui leur soient correspondants communs.

Nous ne nous arrêterons pas à énumérer tous les autres cas où deux espaces collinéaires ont en comnmn des éléments correspondants isolés ou un nombre infini de ces éléments ; nous nous contenterons de présenter les remarques qui suivent. Il peut arriver (et nous en verrons un exemple dans les systèmes involulifs) que les systèmes n'aient ni point ni plan correspondant connnun réel ; mais si un point S du système }:I coïncide avec son correspondant Sj de S^, les gerbes collinéaires S et S^ et par suite aussi les espaces collinéaires ont encore au moins un rayon et un plan corres])ondant co]nmun.

De même si un plan a de };: coïncide avec son correspondant a.^ dans ïj, les systèmes ont au moins un point et un rayon de a correspondants communs (II, page 'J59); car a renferme deux systèmes plans collinéaires qui se correspondent dans les systèmes de l'espace.

Deux formes fondamentales collinéaires peuvent aussi être en situation involutive de telle sorte qu'à chacun de leurs éléments coresponde doublement un autre élément. Les formes ont alors une infinité d'éléments correspondants communs, par exemple, tous les rayons qui réunissent deux points homologues des formes ou suivant lestjuels se coupent deux plans homologues quelconques. En effet, si un point (fig. 16) que nous désignerons par K. ou B^, selon qu'il sera considéré comme appartenant à l'un ou à l'autre des systèmes collinéaires, a pour correspondants deux points coïncidents A^ et B, la droite ABde lapremière forme se confond avec la droite correspondante A^B^ de la seconde. Si deux systèmes collinéaires plans sont en involution, ils ont par cela même une infinité de rayons correspondants communs et conséquenmient sont perspectifs. Deux points homologues quelconques sont sur une même droite avec le centre S de collinéation qui prend dans ce cas le nom de centre cVinvohifion ; et deux rayons homologues quelconques se coupent sur l'axe de collinéation m, qu'on appelle aussi dans ce cas Vaxe cVinvohdion. Toute droite passant par le centre d'involution S est le lieu d'une ponctuelle involutive, dont S et le point de cette droite situé

sur u sont les points doubles ; et de juème, tout point de Taxe de coliinéation ii est le centre d'un faisceau imolutif de rayons dont u et le rayon passant par S sont les rayons doubles. Le centre et l'axe de coUinéation séparent donc liannoniquement deux points ou deux rayons homologues quelconques des systèmes.

Deux systèmes collinéaires ^ et 2^, situés dans le même plan, sont involutifs ou en involulion lorsqu'à deux points quelconques AB^etCDi, (fig. 16) correspondent doublement deux autres points A^B et C^D qui forment avec eux un quadrangle. En effet, la droite AB correspond à la droite A^B^ c'est-à-dire à elle-même ; et comme sur cette droite les points AB^ et AjB se correspondent doublement, tous les autres points

sont accouplés involutivement (I, page 146). Il en est de même pour la droite CD ou G^D^. Les droites AB et CD se coupent en un point 8 qui se correspond à lui-même et qui est un point double de chacune des ponctuelles involutives AB et CD. Toute droite arbitraire du plan, qui ne passe pas par S, coupe les droites AB et CD en deux points ; elle a pour élément lui correspondant doublement la droite qui unit les deux points conjugués des précédents situés surAB et CD. Deux |)oints quelconques du système doivent se correspondre doublement, parce qu'on les considère comme les pohits d'intersection de di'oites (|ui se correspondent doublement.

Le point (rintersection S de AB et CD est le celitre d'involution et la droite m, sur laquelle se couj)ent les autres côtés opposés du quadrilatère complet ABCD, est l'axe d'involution des systèmes.

SYSTÈMES INVOLUTIFS PLANS. 143

Si nous considérons les systèmes en involution comme constituant un système unique dont les points et les droites sont conjugués deux à deux, on donne à ce système le nom de système plan involulif. Les propriétés que nous venons de trouver peuvent être résumées connne il suit :

Dans vn système plan en involution, les points conjiuiués sont deux à deux situés sur des droites passant par le centre d' involution et ils sont harmoniquement séparés par ce point et par Va.re d' involution ; les rayons conjugués se coupent deux à deux sur l'axe d' involution et sout harmoniquement séjiarés par cet axe et par le centime d' involution. Pour accoupler involutivement les éléments d'un système plan, on peut faire correspondre à deux points P et Q deux autres points quelconques P^^et Q^, qui forment avec P etQ un quadranyle ; ou bien, on peut prendre à volonté dans le plan le centre S et l'axe u d' involution.

Toute courbe KAL limitée par deux points K et L de l'axe d'involution forme avec la courJie KA^L qui lui est conjuguée une courbe involutive. Nous obtenons encore une courbe involutive lorsque, étant donnée une courbe SAK ou PAPj qui est limitée par le centre d'involution S et un point K de Taxe d'involation ou bien par deux points conjugués P et P^, on lui adjoint la courbe conjuguée SÂ^Kou PAjP^. Par exemple, une conique quelconque se présente comme courbe involutive, quand on prend pour centre d'involution un point quelconque S extérieur ou intérieur à la courbe et pour axe d'involution la polaire u de ce point. Remarquons en passant que la droite de l'infini a pour conjuguée une droite y parallèle à u, qui divise en deux parties égales la distance de Sa u. La conique est donc une hyperbole, une parabole ou une ellipse, suivant qu'elle a avec la droite g deux points communs M et N, ou un seul point commun P, ou bien qu'elle n'en a aucun ; dans le premier cas, les asymptotes sont parallèles à SM et SN ; dans le second, SP est un diamètre de la parabole. On résout ainsi d'une manière très simple le problème suivant :

Étant donnée une portion limitée d'une courbe du seco)id deyré, re^ connaître si la conique est une hyperbole, une parabole ou une ellipse. Un système plan involutif est projeté d'un point extérieur suivant une gerbe involutive. Le plan dHnvolution de cette gerbe passe par l'âxe d'involution u et Vdxe dHnvolution de la gerbe passe par le centre d'involution S du système.

Deux systèmes collinéairea de V espace ^ et 2^ sont en situation invo-

144 géomi':trik dk position.

lulive, lorsque deux systèmes ])lans a et a.^ f[ui en font pai'tie et qui ne sont pas superposés se correspondent dou])lement l'un à l'autre de telle manière qu'à tout élément de l'un corresponde doublement un élément de l'autre. En elFet, à tout plan, cpii coupe les deux systèmes plans a eta^ suivant les droites r/ et /, coiresi)ond alors doublement le i)lan ([ui joint l'une à l'autre les droites conjuguées y^ et /j qui appartiennent respectivement aux plans a^ et a ; et comme tout point ou lont rayon de l'espace peut être considéré comme l'intersection de trois ou de deux de ces plans, il a pour correspondant le point ou la droite d'intersection des plans qui correspondent doublement aux précédents. D'après cela, comme atout élément correspond doublement un autre élément, nous pouvons regarder les systèmes de l'espace en involulion comme un .s-?/.stème involvtif unique, dont les éléments sont conjugués deux à deux.

Tout rayon qui réunit l'un avec l'autre deux points conjugués du système involutif, ou suivant lequel se coupent deux plans conjugués, coïncide avec son correspondant et par conséquent est conjugué à luimême. Il en est de même des droites .s- suivant lesquelles se coupent les plans a et «^ qui sont conjugués l'un à l'autre. Nous distinguerons deux espèces essentiellement dillerentes de systèmes involutifs, suivant que sur les droites s chaque point coïncide ou ne coïncide pas avec son conjugué.

Dans le premier cas, la ponctuelle s est un élément correspondant commun aux systèmes plans a et a.^ ; conséquemment ils sont perspectifs et engendrent une gerbe S dont tous les rayons et tous les plans sont conjugués à eux-mêmes, parce qu'ils réunissent l'un et l'autre deux éléments conjugés de a et a^. Les systèmes coUinéaires I et I^ de l'espace ont comme élément correspondant commun la gerbe S et ])ar suite aussi un système plan Y; ils sont donc perspectifs. Dans le système involutif qu'ils constituent, chaqueélément duplanï est doncconjugué à lui-même. Un système involutif de cette espèce est appelé perspectif-involufif ; le point S, (jui est sur une même droite avec deux points conjugués quelconques et dans un même plan avec deux droites conjuguées quelconques, s'appelle le centre d' hivolution^ et le i)lan V, sur lequel se coupent deux à deux les rayons ou les plans conjugués, est dit le plan d'involution du système.

Nous pouvons résumer connne il suit les i^ropriétés principales de cette espèce de système involutif :

Dans les systèmes perspeetifs involutifs, toute droite ou tout jjlan