SYSTÈMES INVOLUTIFS DE L ESPACE

•passant par le centre (Vinvolulio}! N et toui point ou tout rayon silné dans le plan (Vinvolulion Y sont eonjurpiés à eu.r-niêmes. Tout plan passant par S est le lien d'un si/sfèine involutif plan dont le rentre d'involution est le point S et (/ui est eoupé par Y suirant Vaxe dHnvolulion ; de même, tout point situé sur Y est le centre d'une r/erbe involulive, dont Y est le plan d'involution et dont Vare d' involution passe par S. Il suit de la (pie den.r points, rayons ou plans conjuyués sont harmoniquemeni séparés par le centre d'involution S et le jilan d''involution Y. Pour accoupler involutivement les éléments de fespace, on peut prendre à volonté le centre d' involulion S et le plan d'involution V, ou bien S et deux plans conjuyués A et .4^.

Toute courbe gauche, limitée par deux poiuts R et L du plau d'iiivolutiou, ou par deux points conjugués A et Ap ou enfui par le centre d'involutionSetparunpoint K du plan d'involution, constitue avec la courbe qui lui est conjuguée ce qu'on appelle une courbe yauche involutive. Toute surface limitée par une courjjy involutive ou bien encore ])ar une courbe conjuguée à elle-même forme avec la surface conjuguée une surface involutive. Par exemple, une surface ([uelconcpie F^ du second ordre se présente à nous comuîe surface involutive, lorsque Ton prend poiu- plan d'involution un plan V, (pii ne lui est pas tangent, et pour centre d'involution le ])ôle S de ce plan. La suiface ¥' est un hyperboloïde, un paraboloïde ou enfin un ellipsoïde, suivant qu'elle coupe suivant une courbe k\ touche en unpoint P, ou ne rencontre pas le plan v parallèle à ï qui bissecte la distance de Sa ï ; en effet, tout point G commun à V' et y a pour conjugué sur le rayon SG un point de la surface F" situé à l'infini, parce que -; et le plan à finlini se correspondent.

Dans le cas de l'hypei'boloïde, la surface conique S/t' est parallèle au cône asymptotique; dans le cas du paraboloïde, SP est un diamètre de cette surface.

Nous allons maintenant étudier la seconde espèce de système involutif de l'espace, celui qu'on appelle système involutif gauche. Deux systèmes plans conjugués quelconques a et aj de ce système ont leur droite d'intersection s correspondante comnujne, mais tous les points de cette droite ne jouissent pas de cette propriété; de plus les points de s sont conjugués deux à deux et par suite accouplés involutivement. Les droites qui joignent les points homologues de a et a^ sont conjuguées à ellesmêmes dans le système involutif et forment (H, ])ages 90-01 ) un système

llKDMKTllIh; m; l'DSiTKIN. — 11. 10

146 GÉOMÉTIHE DE POSITION.

de rayojis de preiiiici' ordre et de première classe. Comme il passe touj ours par un point quelconque de l'espace un rayon de ce système de rayons qui est conjugué à lui-même, et connue un plan quelconque contient toujours un de ces rayons, on voit que :

Dans les sys/ùmes involntifs (jauclws, les droites joùpiant les points conjiKjués et les droites d'intersection des plans eonjt(<iuês sont conjuguées 1 elles-Diènies et forment un système de rayons de premier ordre et de première classe.

Nous donnerons à ces droites conjuguées à elles-mêmes le nom de

directrices du système involutif gauche. Chacune tle ces dii'ectrices est

e lieu d'une ponctuelle involutive et Taxe d'un faisceau involutif de

plans, dont les éléments sont conjugués deux à deux dans le système

involutif.

Les deux axes non concourants u,v du système de directrices (II, page 91) passent par les points doubles de la ponctuelle involutive et sont contenus dans les plans doubles du faisceau de plans. Ces axes, réels ou imaginaires u et v, que nous appellerons les axes d'involulion du système involutif gauche, séparent hai'moniquement deux à deux les points, rayons ou plans conjugués du système. Sur ces axes d'involution sont situés tous les points qui sont conjugués à eux-mêmes et par eux passent tous les plans du système involutif qui sont conjugués à eux-mêmes; ils coupent toutes les directrices du système. Lorsque deux directrices ou deux rayons conjugués a, ^ se coupent, leur point d'intersection ah est situé sur l'un des axes d'involution et leur plan «6 passe par l'autre ; dans ce cas, les deux axes sont réels. Tout plan réel passant par l'un des axes contient un système involutif, dont le centre est situé sur l'autre axe et qui fait partie du système involutif gauche ; de même, tout point réel situé sur l'un des axes est le ceiilre d'une gerbe involnlive contenue dans le système, dont le plan d'involution passe par l'autre axe.

Pour déterminer un système involutif gauche, on peut prendre arbitrairement les deux axes d'involution non concourants u^v.

Une surface du second ordre ¥\ par rapport à laquelle u est la polaire de y, se présente à nous comme une surface in\olutive de ce système, puisque deux quelconques de ses points, dont la droite de jonction coupe les axes u et v, sont hai'moniquement séi)arés par w et y. Si la surface F" est réglée, ses générati-ices sont conjuguées deux à deux dans le système involutif et harinoniquemelit séparées par les axes w,!»;

SYSTÈMES INVOLUTIFS DE l'eSPACE. 147

les rayons de ses deux systèmes réglés sont accouplés involutiveuient et un plan quelcon(pje mené par ii (ou v) les cou]ie suivant les couples de points d'une courbe involutive du second ordre, dont Taxe d'involution est situé sur l'autre axe v (ou ii).

Un système de rayons de premier ordre et de première classe, dout les axes sont ou bien imaginaires, ou bien réels et distincts Tuu de l'autre, détermine un système involutif gauche (II, page 95) dont les directrices forment le système de rayons. Deux points ou deux plans conjugués de ce système involutif sont conjugués par rapport à toutes les surfaces réglées du second ordre contenues dans le système de rayons. Chacune de ces surfaces réglées se compose de dii'ectrices du système, l'autre au contraire est un système réglé involutif contenu dans le système.

Un système réxilé en involution aa^. bb^. cc^ détermine un système involutif gauche qui contient le systè)ne réglé en involution et dont chaque directrice est conjuguée à elle-même.

En elTet, soient j;,^,r trois directrices quelconques du système réglé, on peut rapporter deux espaces collinéairement l'un à l'autre de telle sorte qu'aux droites a,bM^,p,q,r de l'un, correspondent respectivement les ôvoïteii a^,b^,a,p,q,r de l'autre (II. page '29) ; ces deux systèmes collinéaires sont en involution, parce que leurs points et leurs plans se correspondent doublement deux à deux, comme ap et aji, et ils ne forment pas un système perspectif-involutif , mais bien un système involutif gauche, parce que les rayons conjugués a,a^ ne se coupent pas. Le point S, où se rencontrent les plans ap,ljq,crei qu'on peut considérer comme un point quelconque de l'espace, a pour correspondant le point Sj d'intersection des plans a^p, b^q, c{r et SS^ est la directrice du système involutif qui passe par S. Les rayons doubles réels ou imaginaires du système réglé involutif constituent les axes du système.

Deux systèmes réglés involutifsaa^. bb^.cc^ Qipp^. (/gj.rrj...,dont

chacun est le système directeur de l'autre, déterminent aussi un système involutif gauche, dans lequel ils sont contenus. On obtient ce système en rapportant deux espaces collinéairement l'un à l'autre de manière qu'aux droites ff,«^ 6, />, />j/y de l'un correspondent respectivement les droites «^,«,6^,^,^/^ de l'autre. En effet, les points ou les plans «/> et aj)^ se correspondent doublement ; le point d'intersection des plans ap, bq, cr est conjugué à celui des plans a^p^^M^q^, c^r^, etc. Si l'un des deux

IkS GÉOMÉTRll-: DE POSITION.

svstèmcs a deux rayons doubles iiuaginaii'cs et Tautre au contraire deux rayons doubles m et n léels, les axes du système involutif sont lma,!j;inaires; cai', dans ce cas, il n'y a aucun polnl ivel des directrices ///.// !'!, aucun plan réel passant par ces droites ((ui soit conjugué à liii-nicuu!.

niX-HUITlEMI:; LRCOX.

Complexes de rayons engendrés par des systèmes collinéaires

de l'espace.

Lorsque deux systèmes collinéaires do l'espace 2:^ et Sj ne sont pas perspectifs et n'ont pas pour éléments correspondanls conuTiuns les rayons d'un système de rayons de premier ordre et de première classe, ils engendrent un complexe de rayons auquel nous attribuons comme partie intégrante toute droite d'intersection de deux plans homologues a. et aj des espaces. Tout rayon s de ce complexe, considéré comme élément de 2 et de a, est situé avec son correspondant ,?^ deE^ dans un même plan a^ et se distingue par là d'un rayon quelconque de l'espace, (-onsidérons le point d'intersection ss^ des deux rayons homologues comme appartenant à 1^, le point (|ui lui correspond dans li^^ est situé sur s, en sorte que ce complexe de rayons se présente aussi à nous comme l'ensemble des droites qui joignent les points homologues de I et Ij. Donc :

Le complexe de raijons engendré par les deux espaces collinéaires S et ï^ se compose aussi bien des droites d'intersertion des plans homologues que de celles qui unissent les points homologues des espaces; conséquemment, il est réciproque à lui-même; il se compose en outre de toutes les droites qui coupent les droites cjui leur correspondent.

Deux gerbes homologues de li: et I^ engendrent l'une avec l'autre le système de cordes d'une courbe gauche du troisième ordre qu'on appellera la courbe double du complexe, parce que toutes ses cordes font

150 GÉOMETIilE DE POSITION.

partie de ce complexe. Cette courbe peut se décomposer en une droite et une conique ou en trois droites, et cela arrivera nécessairement si les espaces S et I^ ont un faisceau de plans correspondant commun. Toutes les cordes de la courbe gauche qui passent par les centres S et S' des gerbes sont situées sur deux surfaces coniques du second ordre. — De plus, deux systèmes plans homologues de ^ et Ij engendrent le système d'axes d'un faisceau de plans du troisième ordre qui appai'tient au complexe et que nous appellerons le faisceau de plans double du complexe ; et tous les axes de ce faisceau de plans qui sont situés dans les deux systèmes plans forment un faisceau de rayons du second ordre.

Ainsi :

Tous les rayons du comjilexe, qui passent par un point quelconque S, forment une surface conique du second ordre qui

Tous les rayons du complexe, qui sont situés dans un plan quelconque, forment un faisceau de rayons du second ordre qui

peut se décomposer en deux faisceaux du premier ordre. C'est à cause de cette pî'opriété fondamentale que nous dirons que le complexe de rayons est du second degré ou quadratique; les surfaces coniques et les faisceaux de plans qu'il renferme s'appellent les cônes et les faisceaux de rayons du complexe.

■ Les espaces collinéaires Z^ et ^^ peuvent avoir comme éléments correspondants communs des points et des plans isolés ou en nombre infini ; nous dirons que ce sont \es points principaux et \e9, plans principaux du complexe de rayons engendré par i; et 2:^. Les théorèmes qu'on vient d'énoncer sont sujets à une exception pour ces points et ces plans; en effet, comme tout rayon passant par un point principal ou contenu dans un phxn principal est coupé par le rayon qui lui correspond, on voit que :

Tout rayonpassantpar un point principal ou situé dans un plan principcd fait partie du complexe de rayons ; tous les cônes et toutes les courbes doubles du complexe passent donc par tous les points principanx, tous les faisceaux de plans doubles passent p<tr tous les plans principaux du complexe.

Comme les systèmes plans colUnéaires l[qZ eti:j,qui sont superposés dans un plan principal, ont au moins un point corres])ondant commun,

(II, page 139-140), tout plan principal doit renfermer au moins un point principal et de même par tout point principal il doit passer au moins un plan principal.

Si un faisceau S de raijons du premier ordre contient plus de deux rayons du complexe, il se compose uniquement de rayons de ce complexe; sou centre est situé sur un plan principal et son plan passe par un point principal du complexe.

En effet, le faisceau S de rayons de ::: ayant pour cori-espondant le faisceau Sj de li^j, ces faisceaux doivent, dans le cas qui nous occupe, être concentriques, ou dans un même plan, ou perspectifs, en sorte que chaque rayon de S coupe le rayon correspondant de S^. Dans le premier cas,' le centre du faisceau est un point principal; dans le second, son plan est un plan principal; nous n'avons donc à démontrer la dernière partie du théorème que pour le troisième cas, où les faisceaux S et S^ ne sont ni concentriques, ni coplanaires, mais perspectifs. Or au rayon SSj de ^ correspond un rayon de ï^, passant par S^, qui est situé dans un même plan principal avec SS^ ; car le plan qui unit ces deux rayons homologues contient encore deux auti'es l'ayons homologues appartenant aux faisceaux, de sorte qu'il renferme deux rayons de ^ et en même temps les deux rayons correspondants de Z^^. On voit d'une manière analogue que la droite de i: suivant laquelle se coupent les plans des deux faisceaux perspectifs a un point principal comirnni avec la droite qui lui correspond.

Nous donnerons à tout point, dont le cône du complexe se décompose en deux faisceaux ordinaires de rayons, le nom de point singulier; et à tout plan, dont le faisceau de rayons du complexe se compose de deux faisceaux de rayons du premier ordre, celui de plan singulier du complexe. De ce qui précède, on déduit alors le théorème suivant :

Le lieu de tous les points singuliers du complexe se compose des plans principaux et le lieu de tous les plans singuliers est formé des points principaux du comple.re.

Pour que tous les cônes et les faisceaux de rayons du complexe ne se décomposent pas chacun en deux faisceaux de rayons du premier ordre, nous supposerons désormais que les espaces collinéaires 2 et Z^ n'ont comme élément correspondant comirnm ni un faisceau de plans, ni une ponctuelle. Le complexe n'a alors (jue des points et plans principaux isolés, et il n'a au plus que quatre points et quatre plans principaux. Lorsqu'il existe quatre points principaux réels, ces points forment un

geomethie de position.

tétraèdre dont les faces sont les quatre plans ])riiici|)aii.\ du complexe. Si l'on rapporte deux espaces collinéairement Tini à l'autre de telle manière (|u"ils aient j)()iu- ('liMnonts c()ri'es|)oiidanls conununs les sommets A,!), ('-,!) d'un tétraèdre et qu'on fasse correspondre entre eux deux points arbiti'aires E,Ej qui ne soient ni situés sur les faces du tétraèdre, ni coplanaires avec aucune de ses arêtes, ces deux espaces engendrent un complexe /c'/rr/cV/yy// de rayons, dont ABCl) est le tétraèdre principal et dont EE^ est un rayon quelconque.

Soient a,aj et ^,[3^ deux couples quelconques de plans homologues de il et^i^j, dont les droites d'intersection sont par conséquent deux rayons a et b du complexe ; a[i et ô^j sont alors les axes de deux faisceaux homologues de plans des espaces collinéaires ; ces faisceaux de plans engendrent une surface réglée ou un cône du second ordre, eontenv dans le complexe, qui passe par ajj et par tous les points principaux :

Donc :

Deux rayons (pielconques a, 1) du complexe peuvent être réuiiis par ■une surface du second ordre, (jui renferme un sijslèmc de raijons du complexe ainsi que tous les points principau.r .

De même il passe par a et b une surface de seconde classe tangente à tous les plans principaux. — dette surface du second ordre, passant par a,b et tous les points principaux, peut être engendrée par deux faisceaux projectifs de plans a,b dont deux plans homologues se coupent en chaque point pi'incipal. Dans le cas d'un tétraèdre principal réel, on a immédiatement les propriétés fondamentales suivantes du complexe télraédral'.

Les sommets du tétraèdre p)'incipal sont projetés de deu.r rai/ons quelconques du complexe par îles faisceaux projectifs de plans.

Les faces du tctraèdreprincipal sont conpces par deu.r r((ip>us quclcon<iues du compleje suivant des ponctuelles projectives.

(les théorèmes fournissent pour le problème 15 (\n sLq)plément au Systematiscfie Entwickelunq une autre solution (pie celle qu'attendait Jacob Sleiner.

Un complexe tétraêdral est coinplèlement déterminé , quand on

1. Elles oui éltj crKHicées pour l.i inriiiiiTi' l'ois |iiir M. //. Mullcr dans les MaUicmal. Annalem, l. I.

donne son tétraèdre principal AIJCD et nn rayon s qui ne coupe aucune arête du tétraèdre.

En effet, le cône du complexe issu d'un point, ([uelconque S situé sur s se trouve tout d'abord détei'miné par ses cinq rayons *;, SA, SB, se, SD ; lorsque S est situé dans l'un des plans principaux, BCD par exemple, ce cône se décompose en deux faisceaux de rayons, dont l'un est dans le plan BCD et l'autre dans le plan As. En effet, ce dernier faisceau contient trois rayons du complexe, à savoir : SA, s et le rayon du complexe situé dans le plan BCD ; par conséquent il se compose uniquement de rayons du complexe. Donc :

Tous, tes raijons du cotiipleje, qui coupent une face du tétraèdre en un point quelconque, forment lui faisceau de raijons, dont le plan passe par les ouiniet opposé. Ét(nit donnée une droite a, passant par un point principal A et contenue dans un plan principal ACD, on peut en conséquence construire une droite b, contenue dans le plan principal BCD et passant par le point ])rincipal B de telle sorte que tout rai/on qui coupe les droites a et b appartient au complexe.

En s'appuyaiit sur ce théorème, d'après lequel le complexe tétraédral renferme une infinité de faisceaux de rayons du premier ordre, on peut en partant de s construire linéairement tous les autres rayons du complexe ; et comme on a précédemment démontré (II, page 152) qu'il existe un complexe possédant le tétraèdre principal ABGD et le rayon s, on voit de plus que ce complexe est complètement déterminé. En passant, on l'ecoimalt encore que :

Tous les cônes du complexe, dont les sommets sojit situés sur ime droite passant par un point principal A, ont une seule et même conique coimnune avec le ])laii principal opposé BCD.

Tous les faisceaux de rayons du cojnplexe, dont les plans se coupent sur un même plan principal, sont projetés du point principal opposé suivant un seul et môme faisceau de plans du second ordre.

Pour tout couiplexe de rayons engendré par deux espaces collinéaires I et :i:j on a ce théorème :

Trois raijons quelconques a,b,c du complexe, qui ne sont pas situés sur une même surface réglée ou conique contenue dans le complexe, déterminent une courbe double du complexe , dont ils sont des cordes, et un fdsceau double de plans, dont ils sont des axes.

154 GKOMÉTRIE DE POSITION.

En efïet, les trois couples de plans homologues do Z; et. ï^ qui se coupent suivant a,b et c appartiennent à deux gerbes homologues déterminées de Z et Xj et ces dernières engendrent la courbe double, déterminée par a^h^c, et son système de cordes. Lorsque deux des rayons a,h,c se coupent, la courbe double ])asse par le point d'intersection P ; et comme tous les rayons du complexe qui passent ])ar P sont engendrés par deux faisceaux homologues de plans de i: et X^, on voit que :

Un rayon a du conijdexe et un poijit P extérieur à a déterminent wie courbe double du complexe (pii passe par P et a a pour corde. Par deux points (juelconques P,P^ d'un raijon a d\in complexe il passe toujours une courbe double déterminée.

Il faut toutefois que P et Pj ne soient pas des j)oints principaux. — Les courbes doubles en nombre infini, qui d'après le théorème précédent sont situées sur un cône quelconque P du complexe, ne peuvent avoir deux à deux plus de quatre points communs différents de P ; car s'il en était autrement, elles coïncideraient (II, page 105) ; il résulte encore de là que le complexe peut avoii- tout au plus quatre points principaux. Mais en même temps on reconnaît qu'il y a différentes espèces de complexes, suivant que les quatre i)oints sont réels ou imaginaires deux à deux, que deux, trois d'entre eux ou tous les quatre coïncident.

Lorsque deux cônes du couiplexe, ou en général deux surfaces du second ordre contenues dans ce complexe, se coupent suivant un rayon a du complexe et une courbe gauche du troisième ordre, cette dernière est une courbe double du complexe.

\\\\ effet, cette courbe coïncide avec la courbe double déterminée par a et deux autres rayons b,r du complexe situés siu'les deux surfaces.

Deux courbes doubles quelconques Ir et P sont engendrées par deux couples de gerbes homologues K,Kj et L,Lj de ^ et Ij ; elles ont donc pour cordes communes toutes celles suivant lesquelles se coupent les plans correspondants des faisceaux KL et K^L^. Gomme ces deux faisceaux homologues de 1 et Z^ sont projectifs, les deux courbes doubles sont situées sur une même surface du second ordre cuntenue dans le complexe, et :

Les cordes conununes de doux 1 Les axes communs de deux faiscourbes doubles (pielcoiK[ues du | ceaux doubles de plans du comcomplexe foiinenl un système \ plexe forment un système réglé ou

réglé ou une surface conique du 1 un faisceau de rayons du second second ordre. ' ordre.

Le complexe est complètement déterminé quand on donne deux quelconques A:"* et F de ses courbes doubles. En effet, si Ton réunit /t" et P avec l'une quelconque s de leui-s cordes communes par deux surfaces du second ordre, ce qui est possible d'une infinité de manières, ces surfaces, étant contenues dans le complexe, se coupent suivant .s et suivant une courbe double, qui en général, est différente de k^ et /''.

Toutes les courbes doubles ainsi déterminées ont en général chacune au moins une corde commune avec un plan quelconque et cette corde api)arlient au faisceau de rayons du complexe contenu dans ce plan ; comme ce faisceau est du secojid ordi'e, il est déterminé par cinq de ses rayons. /.'" et P déterminent donc tous les rayons du complexe situés dans un plan quelconque et par suite, d'une manière générale, tous les rayons du complexe.

Nous pouvons de plus énoncer le théorème suivant, dont la démonstration a déjà été donnée (II, page 152) pour le cas d'un tétraècU'e principal réel.

Pour rapporter coUiiiéairement Vun à Vcudre deux systèmes de l'espace, dételle manière qu'ils engendrent un complexe de rayons donné , on peut assigner comme éléments correspondants Vun à Vautre deux points quelconques P et P^, situés sur un même rayon du complexe^ ou deux plans se coupant suivant un même rayon de ce complexe ou enfin deux rayons du complexe situés dans un même plan. De cette manière, étant donné un élément quelconque de Vun des systèmes, son correspondant dans Vautre système est complètement déterminé.

Les points P et Pj, qui doivent se correspondre dans les systèmes :s et 2^ de l'espace, sont les centres de deux gerbes collinéaires, dont la coUinéation est déterminée par le complexe donné. En effet, tout rayon du complexe passant par P est situé dans un même plan avec un rayon correspondant de la gerbe \\ ; et les cônes du complexe P et Pj, qui ont en conmiun le rayon PP^ et une courbe gauche k'" passant par P et \\, sont projectivement rapportés l'un à l'autre de telle sorte que leurs rayons homologues se coupent deux à deux sur la courbe double k''. En même temps, les gerbes P et P^ sont par Là même rapportées collinéairement l'une à Lautre de telle manière que leurs plans homologues ont deux à deux en commun une corde de A'".

156 CiÉOMÉTRn: de position.

Soitmaintenant /'■nue courbe double quelconqueducoiiiplexe, (liiïérente de k'\ et soient Qet Q^ les centres encore inconnus des gerbes collinéaires deZ qXZ^^ qui engendrent toutes les cordes delacotnbe inauche /'' du troisième ordre. Les coi'des communes à Ir et /'' forment un système réglé ou une surface coniciiu» du second ordre et par consé({uent sont projetées de P et Pj par deux faisceaux de plans. Les axes de ces faisceaux sont ou des directrices du système réglé ou des rayons de la surface conique et ont chacun en conunnn avec la courbe Piui point (II. page 102) diflerent du sommet du cône. Nous devons prendre ces points ])our centre des gerbes cherchées Q et Q^ de telle sorte que PO et P,Qj soient les axes de ces faisceaux de plans. En effet, ra])portons collinéairement l'une à l'autre les deux gerbes qui ont ces points Q et O^pour centres, de manière que deux plans homologues quelconques se coupent suivant une corde de la courbe double /' ; au faisceau de plans PO commun aux gei'bes P et Q correspond le faisceau de plans Pj(Jj commun aux gerbes Pj et Qj ; et ceci est nécessaire et suffisant pour que les gerbes P et Q de 2:: et les gerbes P^ et Q, qui leur sont collinéaires établissent la collinéation entre les deux systèmes 1 et ï^ de l'espace. (Voir IL page^i-'Jo). Le complexe engendré pareil et )L^ est identique avec le complexe donné, ainsi qu'on le demandait, puisqu'il a en commun avec ce dernier toutes les cordes des coui-be;^ doubles A'" et T.

En passant, il résulte de cette démonstration que :

Deux courbes quelconques du troisième ordre k'' et /'", dont les cordes communes forment un si/slème rcqlé ou une surface conique du second, ordre, j)euvent toujours être considérées comme des courbes doubles d''un complexe de i-uyous qu'elles déterminent.

Si l'on nous donne comme éléments homologues des systèmes collinéaires I et Ij non plus deux points P et \\ d'un rayon du complexe, mais deux rayons rpielconques s et s^ de ce complexe, qui se coupent, ou deux plans (juelc()n([ues r. et ttj passant par un và)on du complexe, nous pourrons immédiatement ramener ce cas à celui que nous avons considéi'é d'abord. En effet, à tout point P de s cori'espond le point Pj de .Sj qui est réuni à I* par lui troisième rayon du complexe situé dans le plan ss^ ; et comme le fiiisceau de rayons du complexe situé dans ss, nous est donné, puis(iu"il fait partie du complexe, nous pouvons trouver innnédiatement le point l\ ([ui correspond à P. De même, étant donné un rayon quelconcjnc du com])lc\e S du plan t:, nous pouNons aisément trouver le rayon cori'espondant S^ de tt^, puisfjue ces

COMPLEXES DU SECONO DEGItÉ. 157

deux droites doivent se couper sur la droite tît:^ ; au point P où se coupent deux rayons du complexe situés dans ti correspond le point 1^ où se coupent les deux rayons homologues situés dans r.^. Gomme les gerbes des espaces collinéaires qui contiennent les plans :- et Tj, engendrent une courbe double passant par leurs centres P,Pj et dont T,z^ est une corde, on voit en passant que :

Deux plant'! passant par (m ratjon a du complexe son/ coupés en des sjjslènies de point collinêaurs par les courbes doubles qui ont a pour corde.

Étant donné un système i^ de Tespace, construisons tous les systèmes collinéaires possibles qui engendrent avec ^ un complexe de rayons donné; tous les points qui correspondent à un point domié P de 11 sont situés sur le cône du complexe issu de P, parce que chacun d'eux est réuni à P par mi rayon du complexe ; tous les plans, qui correspondent à un plan donné -:: de ï, passent par les rayons du complexe contenus dans r. ; si l'on considère les rayons du complexe qui correspondent à à un rayon donné s du complexe appartenant à i et qui par conséquent le cou])ent, tous ceux qui passent par un point donné de s forment un cône du second ordre, et tous ceux qui sont situés avec s dans un plan arbiti'aire constituent un faisceau de rayons du second ordre.

Deux quelconques de ces espaces collinéaires à i^ sont aussi collinéaires entre eux; c'est seulement dans des cas particuliers, qu'ils engendrent l'un avec l'autre le même complexe que chacun d'eux détermine avec i;.

Supposons en effet que les es])aces collinéaii-es :ï;, Ïj et :i, engendrent deux à deux le complexe donné, et soient P,Pi,P, trois points homologues, •::,7:,,r2 trois plans homologues et SyS^.s.^ trois rayons homologues du conq)lexe appartenant respectivement à ï,:i:j etl^; voici ce qui doit arriver : les points homologues l\Pi,l\2 ^^^^^ situés sur un seul et même rayon du complexe ou sur une seule et même courbe double, parce que les cônes P et Pj du complexe contiennent respectivement les rayons PP^ et PP^ du complexe, que par suite ils passent tous deux par P^ et ont de plus le rayon PP^ qui leur est commun ; de même les trois plans homologues T.,r,^,z^, font partie d'un seul et même faisceau double de plans, parce que chacune de leurs trois droites d'intersection est un rayon du complexe, ou bien ils se coupent suivant un seul et même rayon du complexe; enfin les trois rayons homologues s,s^,s, du complexe, étant tels ([ue l'un (|uclcon({ue d'entre eux coupe les deux autres,

158 GKOMlVllilE \>E ruSlTIOX.

doivent être situés dans un seul et même plan et alors faire partie du faisceau du complexe situé dans ce i)lan, ou bien ils doivent passer par un seul et même point et aj^partenir au cùne du complexe issu de ce point.

Si les plans homologues -,-i,7t., passent par un même rayon a du complexe, trois points homologues P,Pi,P2 ^^ ^'^^ plans sont situés sur une même courbe double li'\ dont a est une corde, et trois plans homologues de -,!Ii,ICj passant respectivement par P,?!,?^ se coupent suivant une corde de A-"; trois rayons correspondants quelconques du complexe, contenus dans ces plans, passent par un seul et juême point de la corde, puisqu'ils doivent se couper. Donc :

Etant donné un système ï de Vespaee. si Von eonstruit tous les systèmes qui lui sont collincaires, et qui non seulement enyemlrent avec Z un complexe donnée mais qui Vengendrent également quand on les prend deux à deux, il se produira Vun des deux cas suivants.

1° Tout plan de 1 forme avec tous ses phtns correspondants un faisceau du premier ordre, dont l'axe est un rayon du complexe, tout point de I est situé avec ses homologues une courbe double et tout rayon du complexe constitue avec ses homologues un cône du complexe ;

2" Ou bien, tout plan de ^ forme avec ses homologues uu faisceau double de plans, tout point de 1 est situé avec ses homologues sur un rayon du complexe et tout rayon du complexe constitue avec ses homologues un faisceau de rayons du complexe.