DIX-NEUVIÈME LEÇON

Faisceaux de surfaces du second ordre. Courbes gauches et faisceaux de plans du quatrième ordre.

Si deux systèmes collinéaires de l'espace 1 et ^j sont rapportés réciproquement à un troisième '^ù', le complexe de rayons engendré par 2 et Sj se trouve par là même rapporté projectivement à :::' et d'une double manière. En effet, tout point de :::' a pour correspondants deux plans homologues de I et ï^ et par conséquent aussi le rayon du complexe suivant lequel ils se coupent; et si un point parcourt une droite quelconque 9' ou un plan a' de I', le rayon correspondant du complexe décrit une surface réglée ou une surface conique projectiveà g\ ou bien le système de cordes projectif à a' d'une courbe double du complexe. D'un autre côté, tout plan de I' a pour correspondants deux points homologues de i: et 1^ et le rayon du complexe qui les réunit ; et si ce plan pivote autour de l'un de ses points A', le rayon correspondant décrit le système d'axes d'un faisceau de plans double du complexe, projectif à la gerbe A'. Tout rayon du complexe de S et I^ a pour correspondants dans l' deux rayons qui se coupent, aussi bien que leur point d'intersection elle plan qui les réunit. Suivant l'expression usitée, le complexe de rayons engendré par :i: et lij est représenté projectivement aussi bien dans le système de points ^' que dans le système de plans ^' de l'espace^

Nous allons supposer maintenant que les espaces ï et ï^, réci]:)roques à I', soient en involution avec Z' et constituent avec lui deux systèmes polaires ordinaires de l'espace. Nous pouvons }jrendre arbitrairement poLU' leurs surfaces doubles deux surfaces quelconques du second Ordre

160 CÉOMÉTRIK DE POSITION.

([iii ne soient pas des cônes et ([ui ne se (h'-composenl pas en plans. Les théorèmes de la dernière leçon deviennent ainsi applicahlesanx surfaces du second ordre et se présentent avec une clarté et une signification nouvelles. On voit immédiatenienl que :

Deux ayslèuies polaires de V espace déterminent en général un complexe de raijons du second ordre; ce complexe contient toutes les droites dont les deux planspolaires se coupent . A tout point coi'i'espond un rdijon du complexe qui lui est doiihlement conjugué, c'est la droite d'intersection de ses deux plans polaires ; de même tout plan a pour correspondant lin rayon du complexe, ([ui lui est doublement conjugué; cest la droite qui joint ses deux pôles.

D'après cela, un rayon g' du complexe a pour conjugués dans les deux systèmes polaires aussi bien un plan y qu'un j^oint (î ; les deux polaires g et g^ de cj' passent par G et sont situées dans y. Cherchons les deux polaires de g ; l'une coïncide avec g' , l'autre est située avec g' dans l'un des plans polaires de G et coupe g' en l'un des pôles de y. Donc :

Le complexe de rayons se correspond, à lui-même dans chacun des deux systèmes polaires, puisque les polaires de chaque rayon du complexe sont encore des rayons du cmiiplcxe.

Chaque point principal du complexe de rayons est le point où se réunissent les deux pôles d'un même plan ; ce plan est un plan principal du complexe, parce que les deux plans polaires du j)oint })rincipal se confondent avec lui. Par suite

A chaque point principal du complexe correspond comme polaire dans les deux systèmes polaires un plan principal déterminé.

Comme dans la dernière leçon, nous excluons le cas particulier où le complexe de rayons comprend un nombre infini de points et de plans principaux. Dans ces conditions, le complexe n'a au ])lus que quatre points et quatre plans principaux réels et le tétraèdre principal qu'ils constituent est un tétraèdre polaire commun aux deux systèmes polaires, puisque chacun de ses sommets est le pôle de la face opposée. l/li\ pothès(; (pie nous venons de faire, à saxoii' ipi il ne doit exister que des points et des plans ])rincipau\ isolés, peut donc aussi s'exprimei" de la manière suivante :

Les deux systèmes polaires doivent avoir au plus un tétraèdre polaire AB(.D commun^ de sorte que les plans polaires d'un cinquième point ne peuvent pas coïncider.

Si ce tétraèdre polaire est réel, ses sommets seront projetés de deux quelcon({ues des rayons du complexe suivant des faisceaux de plans projeclifs, et ses faces couperont deux rayons quelconques du complexe en des ponctuelles projeclives (II, page 15^).

Les points d'un plan quelconque y. ont pour conjuguées dans les deux systèmes polaires les cordes d'une courbe double /.•'' du complexe, laquelle passe par tous les pointsprincipaux. Réciproquement, les cordes et les points d'une courbe double quelconque sont doublement conjugués aux points et aux rayons du complexe contenus dans un plan.

Les plans qui passent par un point quelconque ont pour conjugués dans les deux systèmes polaires les axes d'un faisceau double de plans du complexe. Réciproquement, les axes et les plans d'un faisceau double quelconque de plans ont pour conjugués doubles les plans et les rayons du complexe ([ui passent par ini poini .

En effet, lorsqu'un point parcourt le plan /,, ses deux plans polaires déciivent deux gerbes collinéaires et ces dernières engendrent la courbe double k' et son système de cordes. Réciproquement, si k^ est donnée, déterminons les points doublement conjugués à trois cordes quelcon- (jues a, 6, c de A:" et joignons-les par un plan ; les points de ce plan ont pour conjuguées les cordes d'une courbe doul)le (pii a trois cordes a, h, f, communes avec /r et ([ui, })ar conséqueiit, est identi({ue ave»' cette dernière courbe (II. page 155).

Le complexe de rayons est engendré par deux systèmes collinéaires de l'espace I et ^,, qui sont réciiirorpies à un troisième 1' et sont en involution, de telle sorle ([u"ils forment avec I' les deux systèmes polaires. Construisons maintenant un quatrième système de res])ace 1^, qui soit collinéaire avec 1 et ^l.^ et engendre avec chacun d'eux le complexe donné; il faut (II, i)age 150) que trois plans homologues de :^, ^1 et ^^ se coupent suivant un seul et même rayon du complexe, ou que troispoints homologues de ces systèmes soient situés surun seul et même rayon du complexe.

Dans l'un et l'autre cas, on peut démonticir que ^., est aussi en involution par rapport au système I.\ (\m lui est réciproqne, et ([n'il conslitue avec lui un système polaire; cet i du reste est évident par :?ui-

i.UlMr.lf.lL M. lll.lIlUu. — II. Il

même, quand le complexe a un tétraèdre principal réel, puisque celui-ci est aussi un tétraèdre polaire des deux derniers systèmes polaires.

Dans le premier cas (pie nous venons d'indiquer, à tout point P de S' correspondent respectivement dans ï, ïj et 1,^ trois plans -::, Zp ■::., qui se coujient suivant un seul et même rayon du complexe et à tout point R de ce dernier cori-espondent trois plans p, p^ et p, qui doivent se couper suivant un rayon du complexe passant par P. parce ([ue P et R sont conjugués dans les deux systèmes polaires donnés. Or, comme chacun des points P et R de II' a pour correspondant dans ï^ un plan passant par l'autre point, la ponctuelle PR delil' est en involution avec le faisceau de ])lans r.^p^ qui lui correspond dans S.^.

Supposons qu'un système plan s soit donné dans ï' et qu'il ait pour correspondant une gerbe E^ de ilj, dont le sonnnet ne soit pas situé sure; nous pourrons de cette manière trouver dans î une infinité de ponctuelles qui soient en involution avec les faisceaux de plans correspondants de Ej ; il résulte de là que s et E^ sont en involution (II, page 1"1). Et comme il en sera de même pour tous les systèmes plans de ce genre appartenant à 1' et pour les gerbes correspondantes de S^, i' et ^^ sont en involution, comme on l'a énoncé.

Quant à ce qui regarde le second cas. qui* se déduit du premier au moyen de la loi de réciprocité, on peut en donner une démonstration directe en suivant une marche analogue.

Si l'on a égard au dernier théorème de la dLx-huitième leçon, (Ji, page 156), il résulte de ce qui précède que :

Étant donnés deux systèmes polaires de fespace, si l'on cunstiuU tous les systèmes polaires qui cnyendrent soit entité eux, soit avec les deux systèmes donnés le même complexe que ces deux systèmes polaires donnés, il se produit l'un des deux cas suivants :

i° Les plans polaires d'un point quelconque se coupent suivant un seul et même rayon du complexe, les pôles iFiin point quelconque sont situés en général sur une courbe gauche du troisième ordre, dont le système de cordes fait partie du complexe^ et les polaires d'un rayon quelconque du complexe forment un cône du complexe, qui est du second, ordre ;

2° Ou bien, les plans polaires d'un point quelconque constituent en général un faisceau de plans du troisième ordre, dont le système d'axes fait partie du complexe, les pôles fl'uu plan quelconque sont situés sur un seul et même rayon du complexe et /es polaires d'un

FAISCEAUX DE SURFACES DU SEr:OND OUDHE.

rai/oii quelconque du complexe constituent un faisceau de raijons du second ordre appartenant au complexe.

Nous dirons, dans le premier cas, que toutes les surfaces doubles des systèmes polaires constituent un faisceau ponctuel de surfaces du second ordre F^, ou pour abréger un faisceau ponctuel de F'' ; et que dans le second cas, elles forment un faisceau tangentiel de surfaces de seconde classe <î>", ou im faisceau fanqenfiel de «I^-. Comme, dans ces deux (tas, deux sysièines polaires déterminent tous les autres, il en résulte que

Deux surfaces de second ordre et de seconde classe déterminent un faisceau ponctuel de F", ([ui les contient., et un faisceau tangentiel de <1>", ([111 passe par elles.

Puisque dans le premier cas, les plans polaires d'un point quelconque P constituent un faisceau de plans du premier ordre dont il ne passe en général par P qu'un plan uni([ue ::. le point P est situé sur la surface double du système polaire dans lequel P est le pôle de ::. Cependant, si P est situé sur l'axe de ce faisceau de i)lans, et par conséquent se trouve sur chacun de ses plans polaires, la surface double de chacun des systèmes polaires passe par P. Les pôles d'un plan e sont situés en général sur une courbe gauche du troisième ordre; comme elle a au moins un point et au plus trois pouits communs avec e, il va au moins un et au plus trois des systèmes polaires dont les suifaces doubles soient tangentes à t (le contact ayant d'ailleurs lieu aux points d'intersection). Donc. :

Dans un faisceau ponctuel de F*, il ne passe qu'une seule surface par un point arbitraire P, quand P n'est pas situé sur chacune des surfaces du faisceau- Il y a au moins une et au plus trois surfaces du faisceau qui soient tangentes à un plan arbitraire t.

Dans un faisceau tangentiel de il>% il n'y a qu'une seule surface tangente à un plan arbitraire r, quand z n'est pas tangent à toutes les siu-faces du faisceau. Par un point arbitraire, il passe au moins une et au plus trois surfaces du faisceau.

Lorsque deux surfaces du second ordre se coupent, chacune des surfaces du faisceau ponctuel deF^ qu'elles déterminent passe par la courbe d'intersection, d'après ce qui précède. Cette courbe d'intersection s'appelle la courbe fond(rmentale.^ la ligne double ou la base du faisceau

16(à GÉOMÉTRIE DE POSITION.

ponctuel de F^ C'est en général itnccowbc (fauche du quatrième oindre, (jui n"a pas plus de quatre })oinls communs avec un plan ([uelconque, ni plus de deux points communs avec une droite (pielconque. En effet, les deux surfaces ilu second ordre sont coupées piw un plan suivant deux courbes du second ordre ([ui ne peuvent avoir {)lus de quatre points communs, à moins (ju'elles ne coïncident. La courbe du quatrième ordre peut aussi, comme nous l'avons vu (H, pages 36 et 122) se décomposer en deux coniques, ou en une droite et une courbe gauche du troisième ordre, ou bien en ([uatre droites ; nous ne nous occuperons pas davantage ici de ces cas particuliers.

Les plans tangents communs à deux surfaces du second ordre forment en général un faisceau de plans du f/uatrione ordre, tel qu'il ne passe pas plus de quatre de ses plans par un ])oint quelconque P. En effet, les deux cônes du second ordre, ayant leurs sommets en P et circonscrits aux surfaces données, ne peuvent avoir plus de quatre plans tangents communs, à moins de coïncider. La double proposition énoncée ci-dessus nous donne les théorèmes suivants pour ces courbes gauches et faisceaux de plans du cjuatrième ordre :

Par une courbe gauche du quatrième ordre k\ intersection de deux surfaces F- et F^^ du second ordre, et par un point quelcon([ue P extérieur à k\ on peut faire passer une surface F-, du second or-

Etant donné un faisceau de plans du quatrième ordre, circonscrit à deux surfaces O- et <I\- de seconde classe, on peut y inscrire une troisième surface *I^\ de seconde classe qui soit tangente à un plan arbi-

dre. Cette surface appartient an traire donné. Cette surface <I>"2 apfaisceau ponctuel de F- déterminé I partient au faisceau tangentiel ])ar F- et F^'. I de <!>- déterminé par <T>- et <]\^.

(Choisissons le point P (théorème de gauche) de manière qu'il soit situé sur une même droite ry avec deux points de la courbe /t\ la surface F^ sera réglée, parce qu'elle contiendra trois points et par suite tous les ])oiutsde (j. Tout plan mené \yàv g, (pii sera rencontré ])ar h' en deux nouveaux points Q et lî, aura en comnmn avec F-, la droite 7 et la droite QK ; cette dernière en effet a en comnmn avec F-, les points Q et R et un point de r/ ; elle est donc situé tout entière sur F',. Donc.

Toutes les cordes (Jli de Ui courbe fjauche du qualriéuic o)'(lrc, (jui

COURBES GAUCHER fiU OUATRIÈMF. ORIiRE. 165

coupent une corde donnée g en des point h extérieurs à la courbe, constituent un système réglé ou une surface conique du second ordre.

Si ces coixles sont situées sur une surface conique du second ordi-e, le centie A de cette surface est un point principal du complexe de rayons. En effet, il existe sur chaque corde un point qui est liarmoniquement séparé de A par deux points de la courbe gauche du quatrième ordre et par suite aussi par chacune des surfaces F- et F^- ; et tous ces quatrièmes points harmoniques sont situés sur le plan polaire du point A par rapjiort aux deux surfaces F- et F^^ Réciproquement :

Si deux surfaces du second ordre, qui ont un tétraèdre polaire \BGD commun,

se coupent suivant une courbe gauche /.'' du quatrième ordre, cette courbe est projetée de chacun des sommets du tétraèdre polaire suivant une surface conique du second ordre.

sont inscrites dans un faisceau de plans du quatrième ordre, ce faisceau sera coupé par chacune des faces du tétraèdre polaire suivant un faisceau de rayons du second ordre.

En effet, toute droite, qui réunit le sommet A à un point quelconque 0 de la courbe h\ contient encore un second point R delà courbe ; et de ])lus 0 et II sont liarmoniquement séparés par A et i)ar son plan ])olaire lUli). lue corde (j passant par A sera donc coupée au point A ])ar toute autre corde qui est située dans un même plan avec r/, mais qui n'a en commun avec (j aucun point de la courbe h\

Deux courbes gauches du f[uatrième ordre, k' et l\ ont au plus huit points communs.

Deux faisceaux de plans du quatrième ordre ont au plus huit plans communs.

Soient P,Q et R trois quelconques des points communs aux courbes gauches/.'" et /'; la corde commune JH) peut alors être réunie aux deux courbes par le moyen de deux surfaces réglées du second ordre qui aui'ont en commun, en plus de la corde PO, une courbe gauche du troisième ordre.

Cette courbe gauche du troisième ordre, dont PO est une corde (If, page 104) doit passer par R et par tous les autres points différents de P et 0, qui sont communs à /.'' et /*. La corde PR nous donne de même une seconde courbe gauche du troisième oi'dre, qui doit égale-

]6fl fiFOMllTHIF. Dr POSITION

ment passer par tous les points communs des courbes A;' et /' différents de P, Q et R. Deux courbes gauches du troisième ordre, qui ne sont pas identiques, peuvent avoir an plus cinq points communs; par conséquent, en dehors de P, Q et K, il y a au plus cinq autres ])oints communs aux deux courbes gauches du quatrième ordre.

La démonstration ci-dessus montre de plus que

Si- deux covrbrs (/anches du (puitriènu' ordre ont Iniil jxrluls communs, ri si Von rihinil six de ces poiuh pur une courhe (laiiclic du troisième ordre el les deux aulres par une droite, cette droite est une corde de la courbe gauche du troisième ordre \

Si dans la démonstration du théorème précédent on lemplace la courbe gauche du quati'ième ordre h' par une courbe gauche du troisième ordre et Tune de ses cordes, on déduit par la même méthode que

Une courhe gauche du troisième ordre et une courbe ganche du (piatrième ordre ont au plus six points communs.

D'après cela, une courbe gauche du troisième ordre est rencontrée en six points au plus par une surface du second ordre qui ne passe pas par elle.

Trois surfaces du second ordre, qui 71 ont en commun ni une droite, ni une courbe du second, du troisième ou du quatrième ordre, ont au plus huit points communs.

Trois surfaces de seconde classe, dont les plans tangents communs ne forment pas un faisceau du premier, du second, du troisième ou du quatrième ordre, ont au plus huit plans tangents conimuns.

Kn effet, quand l'une des trois surfaces du second ordre est coupée par les deux autres suivant des conrbes gauches du quatrième ordre, le théorème de gauche est une conséquence immédiate des précédents. Si l'une des deux coui'bes d'intersection, ou chacune d'elles, se décompose en des droites ou des coni(|u('s, ou eu une droite et une courbe gauche du troisième ordi-e, la démonstration, très facile du reste, du théorème se déduit en partie des théorèmes précédents et en partie des propriétés connues des courbes du second, du troisième et du quatrième oi'dre.

I. Celle propriété importanlo des huit points d'intersection do trois surfaces Hii second ordre a été énoncée ponr la première fois par Hexse (.lonrnal de Crelle. t. '26).

FAISCEATTX r>E SURFACES T)V SECOND ORDRE. 167

Scpl points quelconques flpirrminenf on général un huitième point, qui est situé sm^ foutes les surfaces du second oindre passant par les sept points donnés^.

Si, parmi les sept points donnés, tr-ois sont situés sur une droite et cinq sur une conique, ou s'ils sont tous les sept sur une courbe gauche du troisième ordre, tout point de cette ligne du premier, du second ou du troisième ordre peut être considéré comme le huitième point déterminé (incomplètement) par elle. S'il ne se produit aucun de ces cas particuliers, on trouvera le huitième point par la construction linéaire qui suit. Par six des sept points donnés on fait passer une courbe gauche du troisième ordre et par le septième point on lui mène une cordes (11, page 101) ; puis on recommence la même construction en remplaçant le septième point dont on vient de se servir, par l'un des six autres; les deux cordes s, que Ton obtient ainsi, se coupent suivant le huitième point cherché. La corde construite en premier lieu a le point ainsi déterminé qui lui est commun avec une surface quelconque du second ordre menée par les sept points; cela résulte immédiatement de l'un des théorèmes précédents et de ce que la corde peut être réunie à la courbe gauche correspondante du troisième ordre pai* im faisceau de surfaces du second ordre.

Par huit ])oints quelconques de l'espace, dont cinq ne sont pas contenus dans un même plan, ni trois situés sur une même droite, on ne peut en général faire passer qu'une seule courbe du quatrième ordre ; car lorsque deux de ces courbes se coupent suivant ces huit points, les points ont une position particulière, puisque toute courbe du troisième ordre, qui passe par six d'entre eux, a pour corde la di'oite qui joint les deux autres. Nous pouvons considérer la courbe gauche du quatrième ordre comme construite, du moment qu'on nous donne deux surfaces quelconques du second ordre qui se coupent suivant cette courbe ; et nous aurons effectivement deux surfaces de ce genre en résolvant le problème suivant :

Faire passer des surfaces réglées du second ordre par huit points donnés quelconques, dont six ne sont pas dans un même plan ni quatre stir une même droite.

]. Les sommets de deux tétraèdres polaires quelconques d'un système polaire de l'espace constituent (H, pa^e 79) un prroupe de huit points par lesquels on peut faire passer un nomlire doublement infini de surfaces du second ordre.

168 GÉOMÉTRIR Di: POSITION.

Si trois quelconques des points donnés sont situés sur une dioite g, celle-ci appartient à chacune des surfaces cherchées. Si en même temps les cinq autres j)oints sont dans un même ])lan z, et par suite sur une même conique a, qui peut aussi se composer de deux droites, toute surface du second ordre menée par les huit points se décompose en deux plans, et s est l'un deux ; en ellet, e a en commim avec la surface six ])oints ((ui ne sont pas situés snr une juème coniqne. Si les huit points sont sur f[uatre droites passant par un soûl et même point et dont l'une contient trois de ces points, ces droites sont situées sur toutes les surfaces du second ordre passant parles huit points et ces surfaces sont des cônes. Dans t(ms les autres cas, le problème peut se résoudre comme il suit :

Parmi les huit points, on peut en général en choisir six de différentes manières, de telle sorte que quati'e d'entre eux ne soient pas dans un même plan. Nous réunissons ces six points par une courbe gauche du li'oisième ordre, par le septième et le huitième point nous lui menons des cordes et enfin par ces cordes et la courbe gauche du troisième ordre nous faisons ])asser une surface réglée. Un autre groupement des huit points donnés nous fournit une seconde surface réglée. Le groupement supposé n'est quelquefois inadmissible que lorsque tes huit points sont situés sur les quatre côtés a,b,c,d d'un quadrilatère gauche. Dans ce cas, nous coupons deux côtés opposés a et c du quadrilatère par une droite f qui ne passe par aucun des quatre sommets ; le système réglé auquel appartiennent les trois rayons b,d,f est alors situé sur une surface réglée passant par les huit points.

Par neuf points donnés quelconques, mener une surface du second ordre.

Mener une surface de seconde classe tangente à neuf plans donnés (fuelconques.

Par huit des pointsdonnés nous menons deux surfaces réglées F' etF^" et nous cherchons ensuite la surface F^' du faisceau déterjiùné par F- et Fj^ qui passe par le neuvième point. Nous veirons plus loin (II, pages 175-170) comment on peut construire très simplement cette surface F''

Par neuf points quelconques donnés, on peut mener une surface du second ordre et, en qéué-

Par neuf plans quelconques donnés, (m peut faire passer une (jerhc de pltDis du second ordre et

rai, on ne peut en mener (ju'' une seule.

en général on nen peut faire passer qu^une seule.

En eflet, s'il passe plusieurs surfaces du second ordre par les neuf points, ceux-ci sont situés sur une courbe gauche du quatrième ordre suivant laquelle se coupent deux quelconques de ces surfaces et qui peut aussi se décomposer en lignes d'ordre moins élevé. II convient aussi de remarquer que la sinface peut se décoiuposer en deux plans pour des positions particulières des neuf points, par exemple, quand six d'entre eux sont situés dans un même plan.