VINGTIEME LEÇON

Projectivité des faisceaux ponctuels de surfaces Fet des faisceaux de coniques.

Dans la dernière leçon et à la fin de la quatorzième, nous sommes arrivés à des faisceaux de surfaces du second oi'di-e qui, entre autres propriétés, possèdent les suivantes :

Les j}] ans polaires (Vun point quelconque P par rapport à tontes les surfaces du faisceau forment un faisceau de plans du premier ordre . Dans le cas seulement oii P est un point principal du faisceau de sm^faces, tous ses plans polaires se confondent .

Nous prenons ce théorème comme point de départ d'une théorie des faisceaux ponctuels de F". La loi de réciprocité nous jiermetlra d'étendre immédiatement tous les théorèmes que nous trouverons aux faisceaux tangentiels de surfaces de seconde classe, dont nous étudierons du reste un cas particulie)' dans la vingt-troisième leçon. Dans la leçon |)récédente, nous avons déduit des théorèmes ci-dessus mentionnés (jue, par chaque point de l'espace n'ajipartenaiil, ])as aux surfaces du faisceau, il ne passe qu'une seule de ces surfaces.

Nous dirons maintenant que deux points sont conjugués par rapport au faisceau ponctuel de F-, quand chacun d'eux est situé sur tous les plans polaires de l'autre. Le théorème ci-dessus peut donc aussi dans un certain sens être énoncé comme il suit :

Deux points sont conjugués par rappoii à un faisceau ponctuel de F^, quand ils sont conjugués par rapport à deux surfaces de ce faisceau .

projectivitt': des faisceaix de surfaces f^w 171

Un point P de l'espace a donc pour conjugués tous les points d'une tlioite p qu'on peut construii^e à l'aide de deux surfaces quelconques F^ et F,^ du faisceau ; car les plans polaires du point P par rapport aux deux surfaces F^ el F^^ se coupent suivant/?. Si maintenant P décrit une droite <y, ses deux plans polaires par rapport à F^ et F,'^ décrivent deux faisceaux de plans projectifs à r/ et la droite p conjuguée à P décrit elle-même une surface conique du second ordre ou un système réglé, suivant que les axes des deux faisceaux de plans se coupent ou ne se rencontrent pas. 11 résulte de là que :

le.s cb'oites, conjiicjiices aux pointai iVune droite quelcoiupie g par rapport à un faisceau de F~, constituent une surface conicpie du second ordre ou un système réglé projectif à g. Dans le premier cas, les jwlaires de ^ par rapjjort aux surfaces du faisceau sont situées sur la surface coni(/ue du second ordre ; dans le second cas, elles sont les directrices du système réglé. Au lieu de la surface conique du second ordre, nous n'avons plus que deux plans, quand g contient un point principal du faisceau de surfaces.

La droite g peut être considérée comme la droite c{ui réunit deux points quelconques P et 0 de l'espace, auxquels sont conjuguées deux droites p et q. D'après le théorème précédent, la polaire de g par rapport à une surface quelconque F' du faisceau est située sur une surface conique du second ordre passant par p et g, ou sur un système réglé dont p et p sont deux directrices ; de plus, la polaire de g sera projetée de p et q par deux plans qui sont les plans polaires de P et Q par rapport à la surface F'. Or comme une surface conique est projetée de deux de ses rayons et un système réglé de deux de ses directrices suivant des faisceaux projectifs de plans, on voit que :

Jjcs deux faisceaux de plans p p/ q. formés par les plans polaires de deux points quelconques P et (>, sont projectifs, si Von fait correspondre deux à deux les plans qui sont les plans polaires de P et Q par rapport à une seule et même surface F- du faisceau.

Les plans polaires de quatre points arbitraires forment quatre faisceaux projectifs de plans et il existe en général (II, page 105) au ])lus quati'e points où se coupent quatre à quatre les plans homologues de ces faisceaux. Nous déduisons de là (voir aussi II, page 165) que

Le faisceau ponctuel de F'- renferme en général tout au plus quatre surfaces coniques du second ordre.

172 gi':()Mi':trif, hf position.

En ellel, les plans polaires des quatre i)oiiils par rapport à une surface conique se coupent au sommet de celte dernière.

L'avant-dei'nier théorème sert de base à la définition suivante :

Quatre surfaces du faisceau ponctuel de F' sont dites harmoniques, quand les quatre plans polaires d'un même point, et par suite de tout point arbitraire, par rapport à ces surfaces^ forment un faisceau harmonique de plans.

Nous exceptons tout naturellement ici les points piincijiaux du faisceau, parce que leurs plans ])olaires coïncident. .\ous pouvons de plus appliquer aux faisceaux ponctuels de F- la définition générale de la ])rojectivité (II, pages 51 et 129) et par suite les rapporter projectivement à des formes élémentaires quelconques. Par exemple, faisons correspondre chaque surface F' du faisceau au plan qui est le plan polaire d'un point arbitraire P par rapport àF^, le faisceau de surfaces sera rapporté projectivement au faisceau de plans ; et au moyen de ce faisceau de plans, nous pourrons rapporter projectivement le faisceau de surfaces à une autre forme élémentaire quelconque. Par exemple, on voit innnédiatement ainsi que

Les polaires dhine droite g par rapport au faisceau de surfaces forment une surface conique du second ordre ou un systèine réglé projectif au faisceau.

La surface réglée du second ordre, sur laquelle ces polaires sont situées, a au plus huit points communs (II, page 100) avec la courbe d'intersection là de deux courbes quelconques du faisceau. Chacun de ces points est le point de contact d'un i)lan tangent qu'on peut mener par g à k'". Une droite quelconque rencontre donc au plus huit tangentes de la courbe gauche k'' du f{uatrième ordre.

Nous construirons le ])ôle d'un plan quelconque ])ar rapport au faisceau de surfaces, en choisissant arbitrairement dans ce plan les sommets P,Q,R d'un triangle et en cherchant le point de rencontre de leurs plans polaires par l'apporl ;'i chacune des surfaces du faisceau .

Les trois faisceaux de plans, formés i)ar ces ])lans jiolaires sont projectifs au faisceau de surfaces et ])rojectifs enti'c eux. Donc :

Les pôles d'un plan quelconque par l'apport aux surfaces d'un faisceau ponctuel de F' forment en géticraUine coiirbe gauche du troisième ordre projertive au faisceau .Lespoints du plan sont conjuguésaux cordes de la courbe {11, pages 105-104). Le ])l<tn est tangent à trois surfaces