PROJECTIVITÉ DES FAISCEAUX. DE SURFACES F

du fdîsccau au plus ; les points de contact sont situes sur la courbe (jauclie.

\ous aurivoiis encore au même ivsiihal, en délerminanl le> plans polaires de elia([L!e [)oinL du plan par rappoct à dv\\\ sni'l'aces ((iielcon- (jues du faisceau. Nous obtenons ainsi deux gerbes collinéaires (|ui engendrent la courbe gauche du troisième ordre et son système de cordes. Le cas où le plan passe par un point principal du faisceau constitue une exception au théorème. Soit R ce point principal et p son ])lan polaire par rapport à toutes les surfaces du faisceau. Les deux faisceaux tles j)lans polaires de P et Q engendrent alors une surface réglée ou conique du second ordre projective au faisceau de surfaces et qui a en commun avec p tous les jxMes du plan donné ; donc

Les pôles d'un plan passant par Vuu des points principaux du faisceau de surfaces constituent une conicjuc projective a ce faisceau.

11 se produit encore un cas d'exception facile à reconnaître quand le plan contient deux points principaux, ou quand il est lui-même un plan })rincipal du faisceau.

Les théorèmes précédents nous ont déjà conduits dans la dernière leçon à cette conclusion ([ue tout plan est tangent au moins à une surface et au plus à trois. Si le plan donné est situé à l'infini, ses pôles coïncident avec les centres des surfaces du second ordre ; ou autrement dit

Les centres de toutes les surfaces d'un faisceau ponctuel de ¥' sont situes sur une courbe gauche du troisième ordre ou sur une conique suivant que le faisceau n'a pas de point principal à l'infini ou qu'il eu a un. Donc, en général, le faisceau ponctuel de F- contient au plus trois paraboloïdes et au moins un..

L'intersection d'un faisceau ponctuel de F" ])ar un plan quelconque est appelée un /aisceaw de coniques. Partout j)oint du plan, non situé sur toutes les coniques de ce faisceau, il ne passe qu'une seule de ces courbes ; et deux points, qui sont conjugués par rapport à deux coniques quelcon(jues du faisceau, sont conjuguées par rapport à toutes les coniques de ce faisceau (II, page 170). Les théorèmes (II, page 171) subsistent également :

Les points qui sont conjugués aux points d'une droite g par rapport à un faisceau de coniques, forment en général une courbe du second, ordre, projective à g et qui passe aussi par les pôles de g par rapport aux coni(jues du fiisccau. Les polaires de deux poinis quelconques

f* el Q du plan prises par rajipori à ces coniques, fornienl deux faisceaux de rayons du premier ordre ; dans ces derniers, les polaires de P et (J par nippoii à une même coiiique sont deux rayons correspondants.

Si donc un doiiiie LioLs coniques quelconques du faisceau, la projectivité des faisceaux de rayons, formés par les polaires de points quelconques du |)hni. se li"Ou\e coni})Iéteint'iil délerjniuéeel Ion peut construire linéairenienl la polaire de tout point du plan par rapport à uniconique ((uelcoïKjue du faisceau, du moment (pi'on connaît la [)olaire d'un point arbitraire par rapport à cette courbe. Il résulte de là ([ue le faisceau est entièment déterminé par trois de ses coniques.

Mais nous pouvons montrer actuellement que le faisceau de coni- (|ues est défini par deux de ses courbes. Par un point P convenablement choisi dans le plan, on peut faire passer une infinité de droites (jui ne coupent aucune des deux coniques, ou qui en rencontrent une, ou bien qui le coupent toutes les fleux en des points réels ; et dans ce dernier cas, on peut sarrnnger pour que l'un des couples de points d'intersection ne soit pas séparé par Fautre. Sur chacune des droites &• du plan ainsi menées parP, il existe (I, page 181) deux points réels M et N qui sont conjugués par ra]3])ort aux deux coniques et conséquemment aussi par rapport au faisceau de coniques; le point où s est coupée pour la seconde fois par la conique du faisceau qui passe par P, est donc complètement déterminé, puisqu'il est harmoniquement séparé de P par M et N. Il découle de là ([ue la conique du faisceau qui passe par P. et par suite le faisceau tout entier lui-même, se trouve déterminé. Ou autrement dit :

iJeti.i: faisceaux de coniques sont identiques, quand ils ont en commun deux coniques quelconques. Si deu.r surfaces quelconques d'nn faisceau ponctuel de F' passent jxir deux coniques d'un faisceau de coniques, ce dernier est une section du faisceau ponctuel de F^.

Deux coniques choisies arbitrairement dans le plan déterminent un faisceau de coniques, qui passe par elles; ce faisceau est une section de tout faisceau ponctuel de F-, dont deux surfaces passent par les deux coniques.

Un faisceau de coniques dont les courbes ont un point réel connnun l peut par exemple être considéré comme une section d'un faisceau ponctuel de F-, dont les surfaces se coupent suivant une droite et une courbe gauche du troisième ordre. En eilel, si l'on mène par l une droite a non

FAISCEAUX DE SURFACES F^ ET FAISCEAUX. DE CONigUES. 175

située dans le plan du faisceau et si on la réunit à deux coniques quelconques du faisceau par deux surfaces du second ordre, ({ui se coupent suivant «, ces dernières ont encore en commun une courbe gauche du troisièjue ordre k'^, dont a est une corde ; et le faisceau de coniques est une section tlu faisceau })onctuel de F' qui passe para et /c''. Mais nous avons déjà démontré (II, page 154) pour la section dun pareil faisceau de F" le théorème suivant :

Une droite, qui ne passe jxir aucun point commun aux coniques d'un faisceau de coniques, coupe ce faisceau suivant une jmnctuelle involutive telle que deux points conjugués de cette ponctuelle sont situés sur une seule et même conique du faisceau.

D'après ce qui précède, le théorème a lieu pour tout faisceau de coniques dont les courbes ont un point réel commun et il a d'ailleurs lieu aussi pour tout autre faisceau de coniques. En effet, si deux coniques d'un faisceau ne se coupent ou ne se touchent en aucun point réel, il n'y a aucune droite du plan les coupant suivant des couples de points (|ui se séparent mutuellement; il existe donc sur chaque droite deux points M, j\ qui sont conjugués par rapport à ces deux coniques et conséquemment par rapport à toutes les coniques du faisceau ; ces deux points M et N sont les points doubles de la ponctuelle involutive suivant laquelle le faisceau de coniques est rencontré par la droite.

Connue un faisceau ponctuel de F^ a toujours un faisceau de coniques en commun avec un plan, il résulte du théorème précédent que :

Un faisceau ponctuel de F'^ est coupé suivant une ponctuelle involutive par une droite qui ne passe par aucun des points communs d ses surfaces; il y a au plus deux surfaces du faisceau tangentes à la droite et les points de contact sont les points doubles de la ponctuelle.

Cette j)ropriété du faisceau ponctuel de F^ nous donne une solution très simple d'un problème déjà posé précédemment (II, page 168) :

Construire la surface du second ordre qui fait paitie d' un faisceau ponctuel de F', déterminé par deux de ses surfaces, F^ et F^', et qui passe par un point P choisi arbitrairement.

Par le point P menons des droites qui rencontrent chacune des surfaces F" et F^" en deux points réels. Chacune de ces droites est coupée par le faisceau ponctuel de F^ suivant une ponctuelle involutive, entièrement déterminée par ces deux couples de points d'intersection; la surface cherchée passe par le point qui est conjugué à P

dans cette ponctuelle. — La construction n'est pas toujours directement applicable quand les deux surfaces F" et F^' se pénètrent mutuellement. Dans ce cas, nous construirons suivant la méthode indicpiée, une troisième surface F', du faisceau, intérieure à F'; nous pour ion s alors mener par J^ une infinité de sécantes à F' à F/ et la construction donnée nous conduira à la solution cherchée. On peut s'en servir dans ce problème : P«r neuf points donnés faire passe)- une surface du second ordre, dont la solution a été donnée à la fin de la précédente leçon.

Quatre coniques d'un faisceau de coniques sont dites harmoniques, quand elles sont situées sur ([uatre surfaces harmoniques d'un faisceau ponctuel de F'. Les polaires d'un point quelconque du plan par rapport à quatre coniques harmoniques forment un faisceau harmonique de rayons, quand ])ar exception elles ne se confondent pas. Il existe en général dans le plan d'un faisceau un ])oint au moins et trois points au plus pour lesquels les différentes polaires coïncident ; en effet, comme les droites conjuguées aux points d'un plan par rapport au faisceau ponctuel de F" se composent en général des cordes d'une courbe gauche du troisième ordre, un plan quelconque en renferme au moins une et au plus trois.

Nous pouvons rapporter projectivement le faisceau de coniques à une forme élémentaire quelconque de manière que quatre coniques harmoniques du faisceau correspondent àquatre éléments harmoniquesde laforine en question. Par exemple, faisons correspondre chaque conif[ue k' du faisceau à la droite qui est la polaire par rapport à k- d'un point c[uelconcfue du plan ; le faisceau de rayons formé par les polaires sera rapporté projectivement au faisceau de coni(|ues, et à l'aide d'un faisceau de rayons de ce genre, nous pourrons rapporter projectivement une autre fonne élémentaire quelconque au faisceau de coniques. Ce dernier est aussi projectif à tout faisceau ponctuel de F-, dont il est une section ; car ([uatre coniques harmoniques ([uelconques du faisceau de coniques ont pour correspondantes les ({uatre surfaces harmoniques du faisceau de surfaces qui passent par elles.

11 peut aussi se produire ici le cas remarquable où chacune des surfaces du second ordre n'est pas coui)é(! i)ar le ])lan du faisceau (\e courbes; en sorte qu'en réalité chaque conique de ce faisceau a pour correspondante une des surfaces du second ordre, tandis que chacune des surfaces n"a pas pour correspondante une coni(|ue. Le;? faisceaux