FAISCEAUX DE SURFACES F" ET FAISCEAUX 1>E CONIQUES

de rayons formés des polaires d'un point, arbitraire par rapport aux coniques sont alors incomplets et se composent seulement d'angles ; cependant les relations projectives énoncées ci-dessus subsistent pour ces angles, Les surfaces du second ordre, qui ne sont pas rencontrées par le ]ilan du faisceau de conitpies. déterminent également dans ce plan un système polaire qui, à la vérité, n'a pas de courbe double mais qui, à beaucoup d'égards, remplace complètement une courbe du second ordre. Le cas en question ne peut du reste se produire que lorsque les coni(pies n'ont aucun point réel commun.

Si les surfaces d un faisceau ponctuel de F" ont un point réel IJ coinmun, une droite quelconque g, menée par U et qui n'est contenue sur aucune des surfaces, sera coupée par chacune d'elles en un point diflérent de U et, réciproquement, par chacun des pohits de (j il ne doit ])asser cpi'une seule surface du faisceau. Je dis maintenant que :

Si Von mené un plan tangent à chacune des surfaces du faisceau ponctuel (le F' au point, différent de U, oit la droite g la rencontre^ tous ces pla)is ta)igents forment un faisceau de plans du premier ou du second ordre perspectif à la ponctuelle g.

Chacun de ces plans tangents réunit un point de g avec la droite qui lui est conjuguée. De plus, toutes les droites conjuguées aux points de g forment une surface conique ou un système réglé projectif à g (II , page 171), et le point U est situé sur le rayon de cette forme qui lui est conjugué. Dans le cas de la surface coni([ue du second ordre, le théorème découle d'une proposition démontrée antérieurement (I, page 158). Dans le cas du système réglé, joignons trois points quelconques A, I>, C, de la ponctuelle g aux droites qui leur sont conjuguées par des plans ({ui se coupent en un point S. Le système réglé sera projeté de S par un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui est projectif à la ponctuelle g et qui lui est en même temps perspectif, parce que quatre plans du faisceau passent par les points U, A, B, G de g auxquels ils correspondent (I, page 155).

Chaque plan du faisceau du ])remier ou du second ordre contient aussi la j)olaire de g par rapport à la surface du second ordre qui est tangente au plan. Le faisceau de plans est donc aussi perspectif à la surface conique du second oixlre ou au système réglé formé des polaires de la droite f/ et ])ar suite il est projectif au faisceau ponctuel de F'. Par conséquent, il résulte également de là que la ponctuelle g est aussi rapportée projectivement au faisceau ponctuel de F^, quand on fait corres-

(JIÎOMIÎTRIE DE l'OSITION. — H. 12

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pondre clKKfue surface au point de (j, dilTérent de U, par lequel elle passe. Par analogie avec les tliéorèmes précédents, nous dirons dans ce cas que la ponctuelle g est perspective au faisceau de surfaces, ou qu'elle en est une section ; nous obtenons ainsi ce théorème :

Toutes les droites, qui contiennent un point commun aux surfaces du second ordre, mais qui n'apparfienncnl à aucune de ces surfaces, sont coupées par le faisceau de surfaces suivant des ponctuelles projeclives', ces ponctuelles sont aussi projectives à ce faisceau et déplus elles lui sont perspectives.

Nous avions déjà énoncé pi'écédemnient (II, page 154) ce même tliéo renie pour les faisceaux de coniques en ce qu'il a d'essentiel, quoique sous une autre forme. La démonstration se simplifie quand la droite g est contenue dans un plan principal du faisceau de surfaces.

Laprojectivité ({ue l'on peut établir entre les faisceaux de surfaces du second ordre et des formes élémentaires quelconques nous conduit aune quantité de problèmes nouveaux et intéressants. Nous n'énoncerons que ceux qui suivent :

Quel est Vordre de la surface engendrée par un faisceau ponctuel de F^ et par le faisceau de plans du premier ordre qui lui est proiectif?

La surface engendrée contient chaque coni({ue qui est commune à une surface du faisceau ponctuel de F^ et au [)lan f[ui lui correspond ; elle contient donc l'axe du faisceau de |)lans et chacun des points communs aux surfaces du second ordre. Une droite qui coupe Taxe du faisceau de plans a encore, outre ce point d'intersection, deux autres points communs avec la surface, (piand elle n'est pas située tout entière sur elle. Nous allons montrer que la surface a en commun avec une droite quelconque ^9, qui n'est pas tout entière sur elle, au moins un point et au plus trois, et que par conséquent elle est du troisième ordre.

La droite g est coupée par le faisceau de i)lans suivant une |)onctuelle projective à ce faisceau de plans et au faisceau de surfaces. Nous allons démontrer d'abord (fue :

Sî une forme rectiligne '^ est rapportée jji'ojectivenu'nl à un faisceau ponctuel de F' et si Von construit pour chaque point P de g son plan polaire par rapport à la surface t.' qui lui correspond, tous ces plans polaires forment un faisceau de plans du second ordre projectif à g et c'est seulement dans des cas tout à fait particuliers qu'ils se coupent suivant une seule et même d^^oile.