PROJECTIVITÉ DES FAISCEAUX DE SURFACES F

Nous construirons le plan polaire du point P de g par rapport à la surface t:^ qui lui correspond en joignant la polaire de g par rapport à x'^ avec la droite qui est la conjuguée du point P par ra})port au faisceau de surfaces. Mais les points de g ont pour conjugués les rayons d'un système réglé ou d'une surface conique du second ordre projective à g et les polaires de g forment elles-mêmes un second système réglé ou une seconde surface conique du second ordre projective au faisceau de surfaces. Les deux formes de rayons, que nous obtenons ainsi, sont projectives, parce que la forme rectiligne et le faisceau de surfaces sont projectifs et elles engendrent (I, page 138) en général un faisceau de plans du second ordre projectif à g, parce que, dans le premier cas, chacun des système réglés est le système directeur de l'autre et parce que, dans le second cas, les deux surfaces coniques sont situées l'une sur l'autre (II, page 171). Les plans polaires en question qui joignent deux à deux les rayons correspondants ne passent par une seule et même droite que si, dans le dernier cas, les surfaces coniques du second ordre sont en situation involutive. Nous ne nous étendrons pas davantage sur ce point, parce que le second cas ne peut se produire que pour une situation particulière de la droite g.

La ponctuelle g est perspective au faisceau de plans du second ordre ({ue nous venons de trouver, ou bien il y a au moins un des points de g et au plus trois qui sont situés dans les plans corresi)ondants du faisceau (I, page 154) ^ Chacun de ces points est conjugué à lui-même par rapport à la surface qui lui correspond dans le faisceau ponctuel de F-; autrement dit :

Quand nne forme rectiligne g est rapportée projcctiveuient à un faisceau ponctuel de F^, il y a au plus trois points et au moins un point de g qui sont silurs sur les surfaces du second ordre qui leur correspondent, à moins que la forme )-ectilignc ne soit perspective au faisceau de surfaces.

La solution du problème posé plus haut peut s'énoncer sous la forme du théorème suivant :

Un faisceau de surfaces du second ordre engendre avec un faisceau

\. Si deux surfaces coniques du second ordre en involution correspondent â la droite g nous arriverons au même résultat de la manière suivante. De l'axe d'involution des surfaces coniques nous projetterons la ponctuelle g suivant un faisceau de plans. Ce dernier est projectif aux surfaces coniques et par conséquent au moins un et au plus trois de ses plans passant par les rayons correspondants des surfaces.

180 GÈOMÉTHIE DE POSITION.

de plans du premier ordre, qui lui est projecliJ\ tin e surface du troisième qui a au moins un point et au plus trois points communs avec toute droite qui n'est pas située sur elle. Cette surface du troisième ordre passe par tous les jioints commuas aux siu'faces du second ordre et par l'axer du faisceau de j)lans. Les plans de ce faisceau la coupent suivant des coniques, qui déterminent elles-mêmes sur Taxe a une ponctuelle involulive.

Si le faisceau de ])laiis se compose tles })laiis polaires (i"iii) point quelconque par rappoit aux surfaces du second ordre du faisceau, on en déduit que :

Les points de contact de toutes les tangentes que Von peut mener d'un point quelconque aux surfaces d'un faisceau ponctuel de F^^ sont situés sur une surface du troisième ordre. Cette surface jxisse jxir le point en question, par la droite a (pui lui est conjuguée, et elle a oi commun avec tout ])lan mené par a soit cette droite seule, soit celle droite et une conique ; elle passe en outre par tous les points communs aux surfaces du second ordre.