VINGT ET UNIÈMR LEÇON

Axes des coniques situées sur une surface du second ordre. Normales de la surface du second ordre.

Nous allons faire une nouvelle application des théorèmes de la dixhuitième leçon relatifs au complexe tétraédral de rayons, en montrant f(ue les normales d'une surface du second ordre et les axes de toutes les coniques contenues sur la surface constituent un complexe de ce genre. Nous verrons ainsi que les théorèmes les plus importants que Ton connaît jusf[u'ici sur ces normales et ces axes se relient très simplement les uns aux autres. Nous n'excluons dès à présent de notre étude que le cas où la surface donnée du second ordre est une surface cylindi'ique.

La polaire d'une noi'inale à la suiface du second ordre, c'est-à-dire d'une droite ])erpendiculaire à un plan tangent à la surface en son point de contact, est située dans ce plan tangent et conséquemmentest perpendiculaire à la normale. Si donc nous cherchons toutes les droites de l'espace qui sont perpendiculaires à leurs polaires, les normales à la surface du second ordre seront comprises parmi elles. A ces droites apparlieiment aussi les axes de toutes les coniques situées sur la surface ; en elfet, un pareil axe est conjugué à toutes les droites qu'on peut lui mener normalement dans le plan de la conique; et connue le point à 1 infini par lequel passent ces droites doit aussi être situé sur la polaire de l'axe (II. page 44), cette polaire est encore perpendiculaire à l'axe, sans cependant le couper. Réciproquement, toute droite de l'espace, qui est normale à sa polaire, est l'axe d'une conic[ue de la surface du second

ordre ou bien encore d'un système polaire plan qui fait partie? du système polaire de l'espace déterminé pai- la surface ; le plan de ce système polaire passe par la droite et est parallèle à sa polaire. Si la droite est coupée par sa polaii-e, toutes deux sont situées dans un plan tangent à la surface du second degré et leur point d'intersection coïncide avec le point de contact; la conique, dont elles peuvent être considérées comme les axes, se réduit au point de contact, ou encore à une ou à deux droites de la surface du second ordre.

Les trois axes principaux de toute surface conique du second ordre, circonscrite à la surface donnée du second ordre, font également partie des droites que nous considérons ici. En effet, ces trois axes principaux se coupant à angle droit et étant conjugués deux à deux, la polaire de chacun d'eux est située dans le plan des deux auti'es et est perpendiculaire à l'axe auquel elle correspond.

Toute droite, qui est normale k sa polaire, peut être considérée comme un axe principal d'un pareil cône circonscrit ou encore d'une gerbe polaire, qui appartient au système polaire de l'espace déterminé par la surface du second ordre ; cette droite est coupée au centre du cône ou de la gerbe par un plan qui lui est perpendiculaire et qui passe par sa polaire.

En raison de ce c[ui précède, nous dirons que toute droite de l'espace f[ui est normale à sa polaire est un axe de la surface du second ordre; nous pouvons résumer ce qui précède de la manière suivante :

Les axes de toutes les coniques situées sur la surface du second ordre, les axes principaux de toutes les surfaces coniques qui lui sont circonscrites et toutes les normales à la surface du second ordre sont des axes de cette surface, c est-à-dire sont perpendiculaires à leurs polaires respectives. Réciproquement, tout axe de la surface est à la fois un axe d'un système polaire plan et d'une qerhe polaire qui appartiennent tous deux au système jmlaire déterminé par la sut face du second ordre. Les axes de la surface sont conjugués deux à deux dans ce système polaire.

Une surface du second ordre, qui n'est pas de révolution, a trois plans de symétrie; qui se coupent normalement suivant les axes principaux (II, pages 49 et 51) et un centre ; ou bien, elle n'a que deux plans de symétrie, qui se coupent normalement suivant un axe et c'est un paraboloïde qui n'a pas de centre. Gomme les droites, perpendiculaires à un plan de symétrie, sont en même temj^s perpendiculaires à

r.OMPLKXE DES AXES d'uNE SURFACE DU SECOND ORDRE. 183

leurs polaires, puisque ces dernières sont situées dans le plan de symétrie, il s'ensuit que :

Toute droite, qui est située clans un plan de syméirie ou qui lui est perpendiculaire, est un axe delà surface du second ordre.

Un diamètre quelconque de la surface du second ordre n'est pas en général perpendiculaire au plan qui lui est conjugué ; cependant, dans chacun de ces plans, il y a des rayons perpendiculaires au diamètre correspondant. Gomme ces rayons sont en même tenq^s conjugués au diamètre, le plan mené par le diamètre parallèlement à ces l'ayons coupe la surface du second ordre suivant une conique dont le diamètre est un axe ; ou bien encore ce plan est le lieu d'un système polaire plan, aux axes duquel le diamètre appartient. Donc :

Tout diamètre de la surface du second or^lre est aussi un de ses axes.

Quand la surface du second ordre a un centre, chacun de ses axes ]:)]'incipaux est perpendiculaire à un plan de symétrie; mais si la surface est un paraboloïde elliptique ou hyperbolique, tous les diamètres sont parallèles à son axe principal. Des deux derniers théorèmes, il résulte donc que :

Toute droite jfarallèle à un axe principal est un axe de la surface du second ordre.

Par tout point P de l'espace, il passe un nombre infini d'axes de la surface du second ordre et l'un d'eux est la droite n qu'on peut amener par 1^ perpendiculairement à son plan polaire t.. Soit n^^ la polaire de n située dans tt et cherchons d'abord tous les autres axes situés dans ce même plan iz. Chacun d'eux est perpendiculaire au plan polaire du point où il est coupé par n^ ; car ce plan polaire, en outre de n, contient aussi la polaire de l'axe, c'est-à-dire deux droites perpendiculaires à cet axe. Nous trouverons donc tous les axes contenus dans t: en abaissant de chaque point de la droite n^ une perpendiculaire sur son plan polaire. Ces plans polaires forment un faisceau n projectif à la ponctuelle n^ ; il en résulte alors que toutes ces perpendiculaires passent par un même point ou enveloppent une parabole. En effet, nous pouvons rapporter projectivement la ponctuelle à l'infini du plan tt au faisceau de plans n de telle sorte que chaque plan du faisceau soit perpendiculaire à la direction sur laquelle est situé le point correspondant à l'infini. Parce moyen la ponctuelle à l'infini est rapportée projectivement à la ponctuelle n^ et elle engendre avec elle le système de perpendiculaires en question.

184 GÉOMKTRll': DR POSITION.

Ces dernières enveloppent en gvnéral une courbe du second ordi-e aux tangentes de laquelle appailieinient aussi n^ et la droite à r'mlini; c'est doue une parabole. Les axes (pii passent par le point P sont les polaires des a\os siliiés dans le plan r. et comme ces derniers enveloppent une parabole, les premiers sont situés sur une suiface conique du second ordre. En ayant égard à ce qui précède nous pouvons alors énoncer les théorèmes suivants :

Les axes, qui sont situes clans un plan r. donné, enveloppent une parabole ; cette courbe est tangente aux droites suivant lesquelles r. coupe les plans de symétrie de la surface du second ordre.

Les axes, qui passent par un point P donné, forment une surface conique du second ordre ; cette surface passe par les normales que Ion peut abaisser de P sur les plans de symétrie de la surface du second ordre et par un diamètre de cette surface.

La démonstration de ces théorèmes a fait ])ressentir que la parabole peut aussi se réduire à un point, de sorte qu'à la place de ses tangentes nous aurons dans ce cas un faisceau de rayons du premier ordi'e ; la surface conique P peut aussi se réduire à un faisceau de rayons du premier ordre. C'est ce qui devra arriver, par exemple, pour tout point P et tout plan ■::, ([uand la surface du second ordre est de révolution, parce qu'il existe alors une infinité de plans de symétrie qui se coupent suivant un axe principal //. D'après les théorèmes qui précèdent, dans ce cas, toute droite qui est dans un même plan avec l'axe de révolution h ou qui lui est perpendiculaire, est un axe. Dorénavant nous exclurons les surfaces de révolution de nos considérations.

Sur un axe quelconque, qui n'est ni un diamèli'e de la sui'faci' du second ordie, ni une perpendiculaire à un plan de symétrie, prenons deux points propres M et N qui ne soient pas situés dans des plans de symétrie. Les deux cônes d'axes, qui ont leui's sommets en M et N, se coupent suivant la droite MN et suivant une courbe gauche /•;'' du troisième ordre. Cette coui'be //' a trois points à rinfmi, (pii sont les pôles des plans de symétrie ou les points à Tinlini des axes ])rincipaux ; en effet, les droites, issues de M et i\, (pii sont perpendiculaires aux plans de symétrie ou bien encore parallèles aux a;ies principaux, sont également des axes et se coupent deux à deux en ces trois ])oiiifs à l'infini. Quand la surface a un centre, ce point est aussi situé sur la courbe gauclic (In troisième ordre. L'u troisième cône d'axes quelcon([ue, dont le sonnnet 0 est situé sui' la courbe /.;"' doit passer par cette couj'be,

COMPLEXE DES AXES d'iNE SURFACE DU SECOND ORDRE. 185

parce qu'il contient, les cinq axes qui joignent 0 à M, à N et aux trois points de la courbe situés à l'infini. Donc :

II y a une infinité de courbes gauches du troisième ordre, dont lex tangentes et les cordes se coni])nsenl uniquement dUvxes de la surface du second ordre.

Toutes ces courbes ont en commun trois points à f infini (les pôles des plans de symétrie et les points à Vinfini des ares principaux) et le centre de la surface du second ordre, quand celle-ci oi a un.

Etant données deux de ces courbes gauches du troisième oixlre, et par suite aussi une infinité de cônes d'axes ne passant pas tous par une seule et même courbe gauche, les cônes d'axes engendrent une infinité d'autres courbes gauches du même genre. Ces dernières déterminent dnns un plan arbitraire une infinité d'axes, et par consé({uent aussi le faisceau du second ordre que constituent tous les axes contenus dans le plan ; tous les axes de la surface du second ordre sont donc complètement déterminés par ces deux courbes gauches du troisième ordre. Si les deux courbes sont situées sur un seul et même cône d'axes, on peut les regarder comme des courbes doubles d'un complexe de rayons engendi'é par deux systèmes collinéaires de l'espace. Mais d'après ce qui précède, ce complexe doit contenir tous les axes de la surface du second ordre et se compose de ces axes. Donc :

Les axes d'une surface du second ordre constituent un complexe de rayons qnï peut aussi être engendré par deux systèmes collinéaires de r espace. Si la surface a un centre, ce point et les trois points ii Vinfini sur les axes principaux forment le tétraèdre princip(d du complexe; si au contraire la surface du second ordre est un paraholoïde, le complexe de r((yons na que trois points principaux {qui sont les pôles à Vinfini des deux plans de symétrie et le point à Vinfini de Vaxe principal) et trois plans principaux [qui sont les plans de symétrie et le plan à Vinfini).

Les théorèmes de la dix-huitième leçon sui- le complexe de rayons du second ordre s'appliquent donc aussi au complexe des axes d'une surface du second ordre ; par exemple, ce théorème que les rayons du complexe qui ])assent par un point P ou sont situés dans un plan t: ne constituent deux faisceaux de rayons du premier ordre que si P est situé dans un plan principal ou si t: passe par un point ])rincipal.

Cependant, en raison de leur importance, nous allons démontrer encore une fois et directement les différents cas de ce théorème pour le ('omplexe des axes d'une surface du second ordre.

Les axes qui soit conloms dans un plan diamclral de la snrfacedu second ordre forment un faisceau de diamètres et un faisceau de rayons parallèles ; et, réciproquement , tous les axes (/là ont une direction donnée sont situés dans un plaît diamétral de la surface du second ordre.

Supposons en edet que- soil un pl;in tliam(''lral. son pôle W est situé à l'infini sur la (lii'ccilon de la corde conjuguée à -. Les parallèles, que Ton peut tracer dans :: normalement à cette direction, sont des axes de la surface du second ordre et il en est de même pour leurs polaires qui passent pai- P et qui sont situées dans un deuxième plan diamétral. On voit, en passant, que :

Les axes qui passent par deux points arbitrairement choisis sur un diamètre, sont deux à deux parallèles; les deux surfaces coniques sur lesquelles ils se trouvent sont tanqentes suivant ce diamètre et passent par la même conique à l'infini.

Les paraboles, qui sont enveloppées par fous les axes situés dans des plans parallèles, sont des sections d^une surface conique ou cylindrique., dont les rayons se composent de diamètres de la surface donnée du second ordre.

Quand un point P est situé dans un plan de symétrie y ^^ la, surface du second ordre, tout rayon mené par P dans y est un axe de la surface ; la surface conique sur laquelle se trouvent tous les axes passant par P se décompose donc en deux faisceaux de rayons. L'un d'eux est contenu dans y, l'autre passe par l'axe qui est normal en P au plan de symétrie y. Donc :

Les axes passant par un point quelconque d'un plan de symétrie y constituent deux faisceaux de rayons ; fun d'eux est contenu doits \'et Vautre dans un plan normal à y.

On déduit de ce. théorème que :

Si la droite \\ est perpendiculaire au plan de symétrie ^i, les axes qui sont coupés par n forment des surfaces coniques du second ordre dont les sommets sont situés sur n et qui ont en commun avec y ujw seule et même hyperbole équilatère.

En effet, une quelconque de ces surfaces coniques a en commun avec y une hyperbole qui passe par le point d'intersection de n et de y et par le centre de la surface du second ordre, quand celle-ci en a un. et dont les asymptotes sont l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à un ]ilan de symétrie différent de y. D'après le théorème précédent, loute

COMPLEXE DES AXES d'uNE SIRFACE DU SECOND ORDRE. 187

droite ffiii unit un point de l'hyperbole à un point de la droite est également un axe de la surface du second ordre. On en déduit aussi ce théorème :

Les axes ,qni co upent vn plan de symétrie y suivant une droite g située dans ce plan , sont tangents à un cylindre praboliqne perpcndicu- Jaire à y; ou bien quand g est normale à un second plan de symétrie Yj, elles coupent une droite gj contenue dans ^(^ et perpendiculaire à y.

Dans le dernier cas, toutes les droites qui coupent g et g^ appartiennent au complexe des axes. Si des points où un axe quelconque a de la surface du second ordre coupe les deux plans de symétrie y et yj on abaisse des perpendicaires sur Taxe principal yy^ on obtient deux droites correspondantes g et g^. Si l'axe a décrit dans un plan diamétral un faisceau d'axes parallèles, ces deux perpendiculaires décrivent deux faisceaux de rayons parallèles projectifs dans y et y^ ; les distances des droites g et g^ au centre de la surface sont entre elles dans un rapport constant ; quand il n'y a pas de centre, g et f/^ sont à une distance conslante l'une de l'autre. Donc :

Si des points oit chacun des axes d'une surface du second ordre est coupé par deux plans de symétrie y et yj, on abaisse des perpendiculaires sur Vaxe principal yy^ par lequel passent y et y^, dans le cas de l'ellipsoïde ou de Vhyperboloïde le rapport des distances de ces deux perpendiculaires au centre de la surface est constant ; dans le cas de paraboloïde, ces deux perpendiculaires déterminent sur Vaxc principal yyi un segment de longueur constante.

Ce théorème et cet autre précédemment démontré que les rayons d'un complexe tétraédral sont coupés par les faces du tétraèdre })rincicipal (ici ce sont les plans de symétrie et le plan à l'infini) suivant des ponctuelles projectives, nous donnent la proposition suivante :

Les segments déterminés sur les axes d'un ellipsoïde, d'unhypoboloïde ou d'un cône du second ordre par les trois plans de symétrie de la surface., sont entre eux dans un rapport constant.

Étant donnés les trois plans de symétrie et un axe quelconque a d'une surface du second ordre, on peut facilement construire tous les autres axes de la surface. Pour cela, nous cherchons les points d'intersection de a avec deux plans de symétrie y et y, et de ces points nous abaissons deux perpendiculaires g et </j sur l'axe principal yy^ ; toutes les droites qui coupent g et g^ appartiennent aux axes de la surface.

188 GÉOMÉTRIE DE TOSITION.

Un plan diamétral quelconque 3 contient toujours un de ces axes qui coupent les droites g et g^ : parmi les autres axes contenus dans o, les uns sont parallèles à cet axe, les autres tbi'ment ini faisceau de diamètres et par suite peuvent tous se construire. Or, comme chaque axe de la surface est situé dans un certain })lan diamétral, on pourra toujours arriver aie construire de cette manièi'e. Donc :

Le complexe des axes (Vnnc mirface du second ordre esl complèlei}ie)it déterminé, quand on donne les plans de si/méh'ie de la surface et un axe quelconque a, qui u'esl co})lanaire avec aucun des axes principaux.

Nous pouvons aller plus loin et démontrer maintenant le théorème im])ortant qui suit :

Etant donné un complexe d'axes, on peut construire une infinité de surfaces du second ordre, qui s'y rapportent; autrement dit, il existe une infinité de surfaces du second ordre qui ont les mômes axes qu^une surface donnée.

Supposons le complexe d'axes défnii ])ar les plans de symétrie et un axe a pris arbitrairement, comme dans le théorème précédent. iNous menons par un point quelconque S de a un plan a perpendiculaire à a et nous construisons une surface du second ordre qui ait pour ])lans de symétrie les plans donnés et qui soit tangente à 7 au point S. La droite a étant une normale à cette surface, elle fait partie des axes de la suiface de même que tout autre rayon du complexe d'axes donné. Gomme le point S est pris sur a d'une manière tout à fait arbitraire et comme, pour cette construction, nous pouvons nous servir d'un autre axe quelconque du complexe, le théorème sera démontré du moment que nous aurons prouvé qu'il est possible de construire la surface en question.

S'il existe trois plans de symétrie, ils forment avec le plan à Finlini un tétraèdre polaire de la surface cherchée ; et cette dernière se ti'ouve complèteuicnt déterminée connue surface double du système polaire de res|)ace dans lequel, outre ce tétraèdre polaire, on donne encore le ])ùle S du plan a (H, page 7(S). La surface du second ordre passe par les huit sommets du ])arallélipi|)ède rectangle dont les faces sont parallèles aux plans de symétrie tle la surface, dont les diagonales sont divisées en deux parties égales ])ar le centre M de cette surface et dont le ):)oint S est un sonmiet. Les trois faces du parallélipipède qui passent par S cuu- ])ent la surface suivant des courbes du second ordre dont on connaît (|uatre points et la tangente à l'un dVn\ S, ([ui est située dans le

COMPLEXE DES AXES d'uNE SURFACE DU SECOND (illDKE. 189

plan c. Ces courbes sont donc coinplèteinent déterminées et elles permettent de construire la conique commune à la surface et à un plan quelconque.

S'il n'y a que deux jilans de symétrie et un axe principal, la surface cherchée est un paraboloïde elliptique ou hypei-bolique. (Ihacun des deux plans que Ton peut mener j)ar S parallèlement aux plans de symétrie coupe alors la surface suivant une parabole, dont Taxe est situé dans le second plan de syméti'ie et dont on connaît de plus le point S et sa tangente cpi est située dans a. On peut donc construire chacune de ces paraboles. Nous déterminons de plus un point Sj de telle sorte que la droite SSj soit perpendiculaire à Taxe principal et bissectée par lui ; le point Sj se trouve aussi sur la surface cherchée. Par Sj et par les deux paraboles qui se coupent en S et au ])oint à l'infini sur l'axe principal, on ne peut faire })asser qu'une seule surface du second ordre (II, page 50). Cette surface satisfait à toutes les conditions et c'est un paraboloïde, puisqu'elle est tangente au plan à l'infini au point où l'axe principal le rencontre.

Par tout point S de l'espace, il passe une infinité de surfaces du second ordre qui ont en commun un complexe d'axes donné. En eflet, chacun des axes passant par S est normal en S à l'une de ces surfaces, et, connue nous le savons, ces axes forment une surface conique du second ordre. Les plans tangents à toutes ces surfaces au point S envelo])pent d'après cela une suiface conique du second ordre.

Les pôles d'un plan quelconque s, par rapport à toutes les surfaces du second ordre qui onl en commun un complexe d'axes donne, sont situés dans un plan diamélral perpendiculaire à c. Les surfaces sotit coupées pa)' le jdan i suivant des courbes du second ordre dont les axes enveloppent une parabole et dont les centres sont situés sur une droite, la directrice de la parabole.

En effet, toute perpendiculaire abaissée sur le plan s de Pun de ses pôles est un axe des surfaces du second ordre ; et comme toutes ces perpendiculaires sont parallèles entre elles, elles sont situées dans un même plan diamétral (II, page 180). Ce plan est conjugué à e par rapport à toutes ces surfaces du second oi'di'e et par conséquent sa droite d'intersection avec £ est le lieu des centres de toutes les coniques communes à £ et aux surfaces du second ordre. Comme les axes de toutes ces coniques se coupent rectangulai rement en leurs centres et que de plus ils sont langenis à une pai'abole (II, page 181), la dernière partie du

190 GÉOMliTUlE DE r(»SlTION.

tliéorèine découle iiiimédialeiiiciiL aussi de la propriélé de la parabole (I, page 165) :

Deux tangentes à la parabole sont perpendiculaires Vune à Vautre, (juand leur point d'intersection est situe sur la directrice.

VINGT-UIÎUXIEME LEÇON.

Surfaces du second ordre, semblables, concentriques et semblablement placées. — Normales à ces surfaces.

Nous allons maintenant considérer quelques groupes simples de surfaces du second ordre auxquelles appartient un complexe d'axes donné. Nous énoncerons d'abord le théorème suivant :

Les plans de symétrie cVune surface du second ordre et un diamètre conjugué à un plan quelconque e, qui n'est ni parallèle ni perpendiculaire à Vun quelconque des axes principaux, déterminent le complexe des axes de la surface ainsi que le centre et les axes de toute conique située sur cette surface.

Le pôle du plan e est situé sur le diamètre qui lui est conjugué; et connue la perpendiculaire que l'on peut abaisser de ce pôle sur s est un axe de la surface, toute droite perpendiculaire à s et coupant ce diamètre doit être (II, page 186) un axe. Le complexe des axes se trouve complètement déterminé de la sorte (II, page 188). Les centres de toutes les courbes, suivant lesquelles la surface du second ordi-e est coupée par des plans parallèles, sont situés sur un même diamètre conjugué aux plans. Pour démontrer la dernière partie du théorème, il nous suffit donc de prouver que le diamètre conjugué à tout plan passant par un plan donné P est déterminé sans ambiguïté ; car les deux axes d'un plan, qui se coupent sur le diamètre conjugué à ce plan, sont en même temps les axes de la conique, située sur la surface du second

192 GÉOMÉrniE de position.

ordre et clans ce plan ; et comme ce sont des rayons du complexe d'axes, ils sont connus.

CIkuhjc axe principal de la surface du second ordre est conjugué au plan passant par P, qui est perpendiculaire k cet axe ; et tout plan mené par P parallèlement à un plan de symétrie est conjugué au diamètre normal à ce plan de symétrie (dans le cas du paraboloïde, ce diamètre est situé à Tinfini dans Taiili'e plan de symétrie). Nous coimaissons aussi le diamètre conjugué au plan mené par P parallèlement à e ; par conséquent, nous avons les diamètres conjugués à quatre plans passant par P, dont trois quelconques ne se coupent pas suivant une seule et même droite. Or, comme on le sait, la gerbe de plans P se trouve rapportée réciproquement à la gerbe de diamètres, lorsqu'on rapporte chaque plan de P au diamètre qui lui est conjugué ; et comme nous connaissons déjà les diamètres conjugués à quatre plans passant par P, la réciprocité des deux gerbes se trouve complètement établie. On peut trouver effectivement le diamètre conjugué à un plan passant par P, au moyen d'une construction linéaire, et le théorème est démontré.

Soient a et a^ deux axes parallèles du complexe et supposons qu'ils soient respectivement coupés en A et K^ par un diamètre quelconque. .\ous pouvons construire deux surfaces du second ordre auxquelles appartient le complexe d'axes et qui soient i-espectivement normales en A et Aj aux axes a et a.. Les })lans tangents en A et Aj sont alors parallèles et conjugués au même diamètre AA^. Mais, d'après ce que nous venons de dire précédemment, deux diamètres qui sont conjugués càdes plans parallèles par rapport aux deux surfaces du second ordre, doi~ vent se confondre. Nous dirons que les deux surfaces sont semblables, concentriques et sembloJtlement placées ou, pour abréger, qu'elles sont coaxialcs cl homoihéliqucs. La proi)riété que nous venons de reconnaître pour ces surfaces peut s'énoncer comme il suit :

Les centres et les axes des coniques déterminées par un plan dans des surfaces coaxiales cl homolltéliques coïncident. Aux points oii un diamètre quelconque coupe les surfaces, les plans lam/rnts S07it parallèles. Les points milieux des cordes parallèles dcx surfaces sont tous situés dans un seul et même plan diamétral.

Deux de ces cordes parallèles passent par A et Ai et coupent à nouveau les surfaces du second ordre aux points P» et Bj. Comme A, A, et les milieux des cordes AP» et Ailîi sont situés sur un diamètre, B et Bj

SURFACES CUAXIALES ET HOMOTHETIQUES DU 2* ORDRE. 193

doivent aussi être sur un diamètre. Si les surfaces ont un centre M, la similitude des triangles AMB et ^^M\)^ nous donne la proportion

iVlA:MAi=MB : MBi,

(j'cst-à-dire :

Les (Jiamètres d' ellipsoïdes ou dliyperboloïdes semblables, amceii- Iriques et semblable ment placés, sont coupéspar les surfaces en parties pioportionnelles. Par conséquent, des hyperboloïdes coaxiaux et homotkétiques ont le même cône asymptotique.

Si. au contraire, les surfaces sont des paraboloïdes, les diamètres AAj et BBj sont parallèles entre eux, et le quadrangle AA^BB^ est un parallélogramme; les segments AAj et BBj sont donc égaux et par suite :

Deux paraboloïdes coaxiaux et homothétiques peuvent être superposes en déplaçant l'un d'eux suivant la direction des diamètres [d'une quantité égale à AA^).

Deux hyperboloïdes concentri([ues, dont les cônes asymptotiques coïncident, ont tous leurs axes conmiuns et sont coupés par un plan quelconque suivant des courbes concentilques qui ont les mêmes axes. En effet, le cône asymptotique détermine le diamètre conjugué à un plan quelconque s de l'espace et par suite le centre de e et tous les axes normaux à s.

Un hyperboloïde est complètement déterminé quand on donne son cône asymptotique et un point P de cet hypei'boloïde, situé à son inté- ]'ieur ou à son extérieur. En effet, tout plan passant par P et par le sonunet et coupant le cône asymptotique suivant deux rayons a et 6, a une hyperbole commune avec l'hyperboloïde ; cette courbe passe par le point P et a les droites a et b pour asymptotes; il est donc facile de la tracer.

Si l'on construit toutes les surfaces coaxiales et homothétiques à une surface du second ordre, il passe une seule de ces surfaces par chaque point de l'espace, quand la surface donnée est un ellipsoïde ou un paraboloïde ; si, au contraire, celle-ci est un hyperboloïde à une ou à deux nappes, partout extérieur ou intérieur au cône asymptotique, il passe une de ces deux surfaces. Dans ce dernier cas, nous considérons en outre tous les autres hyperboloïdes, ayant le même cône asymptotique que le premier, de sorte que nous aurons ainsi im système dhypei'boloïdes

GÉOMÉTRIE I)K ['OSITION. — II. 17)

194 GÉ()MÉTl;IE DE POSITION.

sejiiblabk's à une iiapj)e el un svstènie d'hyperboloïdus semblables à deux na[)[)es. Nous dirons que toutes les surfaces, ainsi construites par ra|)])orl aune surface donnée el dont il ne ])asse(|ii"une seule par cl)aqu(î poiiil propre de Tespace. l'oniienl nu faisceau de surfaces du second ordre coaxiales el honiolhcllqiies.

[Jn plan ([uelconque ne sera touché ([ue par une seule de ces surfaces el le contact auia lieu au centre commun des coniques suivant les- (juelles ce ])lan coupe toutes les autres surfaces; car les pôles {\\\ plan pari'a|)port à toutes les surfaces du faisceau sont situés sur le diamètre conjugué à ce plan. Les plans polaires d'un point par rapport à toutes les surfaces du faisceau sont parallèles el conjugués à un seul et même diamètre. Chaque axe est noniud à \\ii\e dessuri'aces en un point F, et son pied F se construit en cherchant Tinlei-section de cet axe avec le diamètre conjugué aux plans nonnaux à l'axe (11, pages 180 et 10'2). D'après des théorèmes démontrés précédemment, les axes situés dans un plan donné forment un faisceau parabolique du second ordre ou deux faisceaux du premier oïdic; donc :

Les normales que l'on peut mener dans un plan (juelconqiœ t: à un faisceau de surfaces coa.iiales et homolhêliques du second ord)-e sonl lan<jenles à une parabole ou forment un faisceau ordinaire et un faisceau de rayons paralUdes. Leurs pieds sonl situes sur une ligne droite.

Le théorème n"a plus lieu quand t. esl un plan de symétrie; sa dernière partie peut être démontrée comme il suit. Tous les plans })erpendiculaire aux axes contenus dans tc sont pai'allèles aux plans d'un faisceau de plans du premiei' ordre ; leurs diamètres conjugués sont donc situés dans un même plan et coupent h; ])lan z suivant les points d'une droite qui contient les [)ieds de toutes ces noi'juales.

Gomme une droite ne peut avoir plus de deux points comnmns avec une surface du second oïdie, sans être située entièrement sur elle< s'ensuit que :

Dans un plan (pielconquc t., il ni/ a en (/énrral et au plus que deux normales d^une surface du second ordre.

Il n'y a d'exce])tion que pour les plajis de sjmélric! el, dans les surfaces coniques du second ordre, ])our les plans noj-maux qui coupent suivant des rayons les plans tangents correspondants. Si l'on cherche le plan diamétral conjugué aux droites (fui sont perpendiculaires ilu plan t: et si Ton déterniiiie sou intersection avec le plan r,, cette drditc

SURFACKS CUAXIALES ET HOMOTHETIQUES DU '2.''- UlibRL:. 195

d'intersection passe par les pieds des normales menées dans le [)laii ■;: à la surface du second degré. Ces points sont d'après cela faciles à construire.

Les normales que Ton peut mener (fun point quelconque P à un faisceau de surfaces du second deqré, semblables , c()ncent)'lques et seiu- Jdablemcnt placées, forment une surface conique du second ordre (11, page 1S4), quand P nest ni à V infini, ni dans un plan desynié- Irie ; leurs jrieds constituent une courbe (lauchc du troisième ordre, ([ui passe par P cl par les trois points à rin/ini^ c''esl-à-dirc par les pôles des plans de sipnétric cl les points à IHnfini sur les axes principaux; elle contient aussi le centre des surfaces du second ordre, ([uaud elles en ont un.

La seconde partie de ce théorème s'obtient de la manière suivante :

Les plans perpendiculaires aux rayons de la sm-face conique P sont parallèles aux plans tangents d'une seconde surface conique du second ordre ; en efïèt, si du point P comme centre on décrit une sphère, chafjue rayon de P a pour conjugué le plan diamétral de cette sphère (inl lui est perpendiculaire ; et comme la gerbe P de diamètres est une gerbe polaire, la surface coni(|ue P doit avoir pour conjugué un faisceau projectif de plans du second ordre, qui enveloppe la seconde surface conique. Les diamètres des surfaces du second ordre semlDlables et semblablement placées, qui sont conjugués aux plans de ce faisceau du second ordre, forment donc également un cône ou un cylindre du second ordre M, qui engendre avec le cône Pdes normales la courbe du troisième ordre dont il est question dans le théorème. Car les surfaces coniques M et P ont en commun le diamètre MP qui passe par le point P; en elfet, tous les axes du faisceau de surfaces qui sont perpendiculaires à un plan conjugué à MP coupent le diamètre MP et par conséquent Tun d'eux appartient à la surface conique P. Comme toute normale n est rencontrée en son pied par le diamètre qui est conjugué à tous les plans norjiiaux à n, les pieds de toutes les normales passant par P sont situés sur la courbe du troisième ordre, qui est, avecle diamètre MP, le lieu des éléments communs aux deux surfaces coniques M et P. Ces deux cônes passent par les trois points à linlini mentionnés dans le théorème ; il en est donc de même pour leur courbe (rintersection.

Une surface isolée quelconque du faisceau a au plus six points comumns avec la courbe gauche du troisième oixlre (II, page Itiiij et dans

le cas d'un [)araboloïde, le i)oiiil à riiifini sur Taxe principal est l'un de ces six points; donc :

Dhm point quelconque on ne peu/ pas mener plus de six normales à une surface du second ordre ; dans le cas du paraholoïde, Vune de ces normales est un diamètre et son pied est le point à V infini du paraholoïde.

Quelques-uns des théorèmes de la dernière leron nous donnent les propositions suivantes sur les normales des surfaces du second ordre :

Les plans de symétrie et une normale quelconque d'un faisceau de surfaces coaxiales et homothétiques du second ordre déterminent toutes les normales de ces surfaces. Les normales, qui coupent une droite g, sont tellement disposées que toutes celles qui passent par un point P quelconque de g forment une surface conique du second ordre et que toutes celles qui sont contenues dans un plan tu quelconque passant par g enveloppent une parabole. Si P est à fin fini ou dans Vun des plans de symétrie, la surface conique du second ordre se décompose en deux faisceaux de rayons du jn'emie)' ordre et, de même, si t: est un plan diamétral de la surface ou est perpendiculaire à un plan de symétrie, nous avons à la place des tangentes d' une parabole deux faisceaux de rayons du premier ordre. Les pieds de toutes les normales^ (pu coujtenf la droite g, forment une surface coiiiquc ou une surface réglée du second ordre, suivant que g elle-même est on n^est pas normale à Vune des surfaces du faisceau ; si cependant ^^ est à rinfini, ces pieds sont tous dans un plan diamétial, et si g est dans un plan de symétrie, ils sont en partie dans ce plan et en partie dans un plan })erpendiculaire au plan de symétrie.

La dernière partie du théorème découle de ce que le lieu géométrique des pieds des normales a une droite commune avec tout plan mené par ty et une courbe gauche du troisième ordre connnune avec tout cône (Taxes P, dont le sonnuet est situé sur g. iNous laissons au lecteur le soin de li'oiiver la dénioiislralion de ctilte proposition.

VLNGT-TIIOISIÈME LEÇON.

Pieds des axes d'une surface du second ordre. — Surfaces honiofocales du second ordre.

Les surfaces du second ordre, qui ont le même complexe d'axes, peuvent être groupées en certains systèmes de surfaces qui sont encore bien plus intéressants que celui des surfaces semblables, concentriques et semblablement placées. Les recherches qui suivent nous conduisent à ces groupes et à lenrs ]iropriétés les plus importantes ; nous en excluons à l'avance les surfaces de révolution et les surfaces coniques du second ordre.

A tout axe a est conjugué par ra])|)ort à une surface donnée du second ordre un seul plan qui lui est perpendiculaire ; seuls les axes principaux de la surface font exception, puisqu'ils sont perpendiculaires à chacun des plans qui leur sont conjugués. Le point où un axe a est coupé normalement par le plan qui lui est conjugué mérite tout particulièrement de fixer Tattention. Si, par exemple. Taxe a est une normale de la surface du second ordre, ce point se confond avec le pied de cette normale; à cause de cette propriété, nous dirons aussi, dans tous les autres cas, que le point en question est le pied de l'axe a. Nous l'obtenons aussi en projetant la polaire de l'axe a sur un plan quelconque s mené par a et en cherchant le point où cette projection coupe l'axe a; en effet, le plan projetant est perpendiculaire à a, parce que, en outre de la polaire, il renferme encore d'autres droites perpendiculaires à a, qui sont normales au plan e et coupent la polaire. La projection de la polaire fait aussi avec a un angle droit.

198 oÉOMFTnir nr PdSiTinx.

ToiU poinL de l'espace est le pied [de trois axes perpendiculaires entre eux.

Ce sont les axes principaux d'une surface conique circonscrite à la smface du second ordre, ou bien encore les axes principaux d'une gerbe polaire, (pii appartient au système polaire déleriniiié ])ar la surface du second ordre.

Ij's pieds de tous 1rs axes perpendiculaires à un plan de symétrie sont situés dans ce plan; tout point d'un axe principal peut être considéré comme le pied de cet axe: le pied d'un diamètre (luclcom/ne est à Vin fini.

Tout ceci découle de la définition du pied d'un axe. Les pieds de tous les axes, que Von peut mener suivant une direction donnée, et qui, par conséquent, sont contenus dans un plan diamétral 0, sont situés en général sur une hijperhole équilatère dont le centre coïncide avec celui de la surface; ils ne sont snx une droite (fue si la surface du second ordre est un paraholoïde .

lui effet, les polaires de ces axes forment un deuxième faisceau de rayons parallèles projectif au premier, et nous obtenons le pied de chaque axe en cherchant son intersection avec la projection rectangulaire de sa polaire sur le plan diamétral 5. Les pieds des axes parallèles sont donc la forme engendrée par deux faisceaux de rayons parallèles projectifs et perpendiculaires entre eux ; c'est seulement dans le cas du paraboloïde qu'ils ont leur rayon à l'infini comme élément correspondant commun et qu'ils sont ])erspectifs; dans tous les autres cas, ils engendrent une courbe du second ordre a\atir deux jioints à l'infini, c'est l'hyperbole équilatère en question.

Les pieds de tous les axes, qui sont coupés jiar un plan de sipnétrie y en un point donné P et (pii par suite so)it contenus dans un plan perpendiculaire «y sont situés sur un cercle passant par P. dont le centre est su)- v et dont le plan est perpcndicvlaire à y.

dette courbe est engendrée par le faisceau P des axes et par le faisceau de rayons projectif à P suivant lequel le» polaires de ces axes sont projetées perpendiculairement snr le plan du faisceau P. Si un deuxième plan de symétrie vj est coupé pai' l'un quelconque des axes du faisceau P au point P,, les pieds de tous les autres axes qui sont corqiés pai' y, en Pj sont situés sur un cercle symétriquement placé par rapport à yi; ce dernier se réduit au point P,, si P, est le point de ronconl rc du plan d(^ symétrie yi avec le ceirle foi'mé ])ai' les pieds des

SURFACRS TIOMOFOCALES bU SRCOND OP.URE. 199

axes du faisceau P. En faisant abstraction de ce cas particulier, nous pouvons dire :

Si deux plans de symrtric y cl y, sonl rcspcclivinncnl coupes aux poinls P fit P, par un axe quelconrjue , cl si g et g^ sont les perpendiculaires respectivement abaissées de P et Pi sur F axe principal commun à Y et y,, toute dr^olte de V espace qui réunit un point de g à un point de g, est un axe (II, page 187). Les pieds de tous ces axes forment une surface passant par g et g,, dont y et -;i sont deux plans de symétrie et qui est coupée par tout plan nioié par ix,ou gi suivant cette droite et suivant un cercle ^ Cette surface est donc complètement déterminée et facile à construire^ du moment qu'on en connaît un point et les droites g et g^.

Tous les axes situés dans un plan cjuelconcjue tt forment un faisceau de rayons du second ordre et leurs polaires une surface conir[ue du second ordre ; et comme un rayon de cette dernière est perpendiculaire à TU, les projections des polaires sur le ])lan r. forment un faisceau de rayons du premier ordre projectif au faisceau du second ordre et cjui engendre avec lui le lieu des pieds de tous les axes contenus dans ::. Le centre du faisceau du premier ordre est le pied de deux de ces axes. Donc (I, page \T)1) :

Les pieds de fous les axes contenus dans un plan quelconque sont situés sur une courbe du troisième ordre, qui a un point double.

Les pieds de tous les axes passant par un point quelconque P sont situés sur une courbe gauche, qui est projetée de P suivant une surface conique (\\\ second oi'flre. Cette courbe doit passer trois fois par le point P, ])arceque ce point est le pied de trois axes rectangulaires entre eux; elle est tangente à ces trois axes en P. Un quatrième axe quelconf[ue passant par P contient un point de la courbe différent de P. On peut démontrer que cette courbe ne ])eut avoir plus de cinq ])oints

I. Si l'on rapporte cette surlare à un système d'axes coordonnés rectangulaires, dont l'axe des X soit la droite d'intersection des plans de symétrie y et y,, dont l'axe des V coïncide avec g et dont par suite l'axe des Z contenu dans yi soit parallèle à g,, celte surface a pour équation

[x- -j- z- — dx) {x — h) + xij- = 0.

Ici /.■ est la distance de la droite ^, à l'axe des Z et d le diamètre du cercle suivant lequel le plan \Z ou yi rencontre la surface. Tout plan normal à l'axe des X et par suite paralhMe aux droites .<y et q, a aussi une conique commune avec celte surface.

200 GÉOMÊTHIE DE POSITION.

communs avec un plan ([uelc()n(|ue et que, ])ar suite, elle est du cin quième ordre. Poui- n'être pas entraînés trop loin, nous n'indiquons pas cette démonstration ici.

Elanl donnés un complexe (Vaxes et le pied F d^un axe quelconque a. qui nesl pas perpendiculaire à un plan de syniëlrie et ne coupe pas un axe principal, le pied d'un axe quelconque se trouve par là même entièrement déterminé.

Nous construisons deux droites q et q^ qui coupent l'axe a et qui soient situées chacune dans l'un des deux ])lans de symétrie 7 et Yi et perpendiculaires entre elles. Toute droite qui est rencontrée par g et gr, est un axe et son pied se trouve sur une surface, facile à construire, qui passe par (/, Qi et F (II, page 199) ; il est donc complètement déterminé par cette surface. Tout plan diamétral contient l'un de ces axes et son pied détermine l'hyperbole équilatère sur laf[uelîe sont situés en général les pieds de tous les axes contenus dans le plan diamétral, parce que les asymptotes de cette hyperbole sont respectivement parallèles et perpendiculaires à ces axes et parce qu'elles passent par le centre du complexe d'axes. Dans le cas où il existe un centre, nous pourrons construire de cette manière le pied de chaque axe, en menant un plan diamétral par cet axe. Si au contiaire il n'y a pas de centre et si, par conséquent, les pieds de tous les axes contenus dans un plan diamétral sont situés sur une droite, il faut que nous construisions un second point de cette droite. Nous nous servons pour cela des deux axes 6 et c qui passent par F, qui sont perpendiculaires entre eux et à a et qui, de même que a, nous fournissent les pieds d'une infinité de nouveaux axes, puisque leur propre pied F est connu. Donc, dans ce cas aussi, on peut const ruire le pied de chaque axe et le théorème est démontré d'une manière générale.

Parmi les surfaces du second ordre auxquelles appartient un complexe d'axes donné, il y en a une infinité poui' lesquelles tous les axes ont les mêmes pieds ; nous leur donnerons le nom de surfaces homofocales du second ordre. Chaque axe a est normal en son pied à une de ces surfaces homofocales, et cette dernière se trouve complètement déterminée par cet axe, son pied et les plans de symétrie (II, pagei(S8).

Dans le système de surfaces homofocales du second ordre que nous obtenons de la sorte, il y a trois surfaces qui passent par chaque poiîit P de Vespace; ces trois sujfaces se coupent rectangulairement entre elles en ce point.