SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND ORDRE

En effet P esl, le pied de trois axes rectangidaires entre eux ; chacun d'eux est normal à Tune de ces trois surfaces et conséquemment doit être tangent aux deux autres. Nous ])ouvons dire aussi que :

Devx surfaces houiofocales du second ordre se coupent rcclangulairement en chacun de leurs points communs.

Les normales aux surfaces et les tangentes aux courbes d'intersection en P sont les trois axes rectangulaires entre eux, qui ont le point P pour pied. La courbe d'intersection est symétrique par rapport à chaque plan de symétrie y de la surface ; ce plan y ne la rencontrera pas du tout, ou la coupera normalement, parce qu'il est normal aux surfaces en chaque point où il les rencontre. Remai-quons en passant que la ligne d'intersection de deux surfaces homofocales est projetée du pôle de chacun des plans de symétrie suivant une surface cylindrique du second ordre et du centre, suivant une surface conique du second ordre (II, page 165) ; en effet, ces points sont les points principaux du faisceau ponctuel de F^ dont les deux surfaces homofocales font partie. Nous pouvons d'après cela énoncer ce théorème :

Si Von projette ta ligne d'intersection de deux surfaces homofocales perpendiculairement à Vun de leurs plans de syméirit', on obtient une conique dont les axes sont situés dans les deux autres plans de symétrie.

Tout axe a a pour conjugué, par rapport aux surfaces homofocales, le plan t: qui lui est perpendiculaire et qui passe par son pied. Réciproquement, à tout plan est conjugué un axe qui lui est normal; et nous obtenons ce dernier en abaissant de l'un des pôles du plan une perpendiculaire sur ce plan. Donc :

Les polaires d'un axe quelconque a par rapport à un système de surfaces homofocales du second ordre sont situées dans un plan perpendiculaire à a et enveloppent une parabole, puisqu'elles soïil également des axes. Les pôles d'un plan quelconque sont situés sur l'axe qui lui est perpendiculaire et au pied durpiel le plan esl tangent à l'une des surfaces homofocales.

Le complexe de rayons, que les surfaces homofocales déterminent deux à deux, se compose des axes des surfaces, puisque les polaires de chaque axe se coupent; on voit ainsi que (II, page 165) :

Le système de surfaces homofocales du second ordre est un cas particulier du faisceau tangent ici de ^b"^.

Tous les théorèmes trouvés pour les faisceaux tangentiels de <I>^ sub-

202 GÉOMF.'IRIE DE POSITION.

sislent donc aussi pour les systèmes de surfaces homofocales. Par exemple, les plans polaires d'un point par ra])p()rl aux surfaces homofocales forment un faisceau de plans du troisième ordre.

Puisque les pôles d'un plan par rapport aux surfaces homofocales du second ordre sont tous situés sur un axe normal au plan, il s'ensuit que :

Lomqne deux pians rectangulaires sont conjugués par rapport à une surface quelconque F^ du second ordre, ils sont aussi conjugués par l'apport à toutes les surfaces homofocales avec F^.

Nous donnerons le nom &\ixe focal de F- à Taxe de tout faisceau de plans dans lequel deux plans perpendiculaires entre eux sont conjugués par rapport à F-. On déduit immédiatement du dernier théorème que :

Tout axe focal d'une surface F' du second ordre est un axe focal commun à toutes les surfaces du second ordre homofocales avec F^.

Par tout point P passent deux axes focaux réels des surfaces homofocales; ce sont les axes focaux du cône ayant son sommet en P et circonscrit à l'une des surfaces homofocales. Ces deux axes ne se confondent que lorsque le cône est de révolution (I, page 190).

Les cônes issus d'un même point P que Von peut circonscrire à des surfaces homofocales du second ordre sont donc homofocaux, cest-à' dire ont leurs axes focaux communs.

Le plan :: de ces deux axes focaux /"et /", est normal à Taxe principal du cône qui lui est conjugué et est tangent en P à l'une des surfaces homofocales F^ Par rapport à cette surface, le pôle de tout autre plan t mené par f se trouve d'une part dans z, d'autre part dans le plan du faisceau /"qui est normal as; il est donc situé sur l'axe focal /"lui-même ; par conséquent, la sui'face est tangente en des points de /"à tous les plans passant par /' et par suite elle passe elle-même par f. On voit (Tautie pail que toute droite située sur Tune des surfaces homofocales F" est un axe focal de cette surface, parce que les plans perpendiculaires deux à deux, qui se coupent suivant la droite en question, sont conjugués par rapport à cette surface. Donc :

Les axes focaux d'un sijstème de surfaces homofocales du second ordre sont identiques avec les droites cpii sont situées sur ces surfaces; par un point quelcoiique P, // i>asse toujours une surface réglée du système. Les axes focaux réels, qui coupent un axe focal, forment un système réglé et sont situés sur l'une des surfaces homofocales.

Un plan (pielconque t n'a, |)ar rapport à une surface du second ordre F', qu'un seul roi/on c(mjugué normal, qui passe |)ar le pôle de t et (pii

SURFACES IIOMOFOCALES DU SECOND OnnRF,. 203

osl, normal à ce plan ; c'est aussi le rayon conjugué normal do s par rapport à toutes les surfaces homofocales avec F^ Si Ton cherche les intersections de £ et de e avec un plan de symétrie, intersections qui sont respectivement la droite p et le point P, les rayons conjugués noi-maux de tous les plans passant ]m\v p se i-enconlrent au iioint P. En effet, projetons d'une part les pôles de ces plans à j)artir du point P et abaissons d'autre part des normales de P sur ces plans, nous obtenons deux faisceaux P de rayons projectils au faisceau de plans p, qui ont ti'ois rayons correspondants comnmns (ce sont e et les deux rayons respectivement normaux à y et p) et qui par conséquent sont identiques. De plus p et P sont deux éléments conjugués d'un système polaire plan situé dans le plan de symétrie 7. En effet, le rayon conjugué normal de de tout plan e q passant par c est situé dans s et coupe 7 en un point <.) de q ; si donc une droite q pivote autour de P dans -;, le point 0 qui hii est conjugué décrit la droite p. Donc :

Si un plan (le symétrie -; des surfaces homofocales coupe clia- (pie plan et le rayon normal qui lui est conjugué, on obtient de."! éléments conjugués d'un système polaire plan situé dans v et dont chaque axe principal des surfaces contenu dans y est un a.re. Les trois axes principaux de tout c(jne circonscrit aux surfaces coupent le plan de symétrie suivant un trian(/le polaire de ce système polaire. Nous donner(ms à la courbe double de ce système le nom de coinique focalk et (i chacun de ses points le nom de toint focal des surfaces homofocales.

Si les surfaces homofocales sont des paraboloïdes, la droite à Tinfini du plan de symétrie v est conjuguée au point à l'infini sur l'axe principal .

Les points focaux de paraboloïdes homofwaux sont donc situés sur deux paraboles dont les axes coïncident avec Vaxe principal des paraboloïdes.

Si au contraire les siu'faces homofocales ont un centre, leurs trois plans de symétrie et le plan à l'infini divisent l'espace infini en huit régions. Il n'y a qu'une seule R de ces régions que ne coupe pas le plan arbitraire z ; R sera rencontrée au contraire pai- le rayon normal e conjugué à 0, puisque les éléments à l'infini de e et e sont séparés les uns des autres par les trois plans de symétrie. En outre de son point à l'infini, la droite e a encore un point propre commun avec la limite de Tespaco R. et le plan de symétrie dans lequel se trouve ce point neren-

ferme pas de conique focale, tandis que les coniques focales sont, réelles dans les deux autres plans de symétrie (II, page 7 î). Donc :

Les surfaces homofocales du second ordre oui deux couif/ues focales réelles et nen ont que deux.

Tout point focal F d'un plan de syméliie est situé sur la droite /' qui lui est conjuguée et les plans menés par /"sont coupés normalement au point focal F par leurs rayons conjugués normaux. Toute tangente f d'une conique focale est donc un axe focal des surfaces homofocales et :

Les cônes, ayani j)our sommets un point focal F et circonscrits aux surfaces homofocales , sont des cônes de révolution, puisqu'ils ont une inliiiité d'axes principaux normaux à f.

Les sonnnets de tous les cônes de révolution circonscrits aux surfaces homofocales sont des points focaux de ces surfaces, parce qu'ils sont chacun les pieds d'un faisceau d'axes et pav suite doivent être situés dans l'un ou l'autre des plans de symétrie et sur les droites qui leur sont conjuguées.

Les coniques focales font aussi partie du système de surfaces homofocales à titre de surfaces sinqidières de deuxième classe.

En effet, à chaque plan e nous pouvons rapporter comme pôle, par rapport à l'une de ces coniques, le point ])ar la polaire duquel il passe ; la perpendiculaire abaissée de ce pôle sur s est un axe des surfaces homofocales et son point d'intersection avec s en est le pied. Le complexe d'axes et les pieds de tous les axes sont donc déterminés d'une manière aussi complète par la conique focale que par une autre quelconque des surfaces homofocales. — Chacune des deux coniques focales est projetée d'un point quelconque de l'autre suivant un cône de révolution. L'une est donc une ellipse, quand l'autre est une hyperbole et réciproquement ; car par une ellipse on peut faire passer deux cylindres de révolution, tandis que par une hyperbole on n'en peut mener aucun.

Soit y une droite quelconque et soient^, e1 r/, ses polaires par rapport à deux quelconques des surfaces homofocales. A tout plan t: mené par </ correspond un pôle de ce plan situé sur r/j et sur y.^ et la droite a (jui l'éunit ces deux pôles contient tous les auti'es pôles de - par rapport à toutes les surfaces honxofocales. Si le plan t. tourne autour de y, la droite a qui lui est conjuguée décrit un faisceau de rayons du second ordre ou un système réglé, suivant que y^ et y^ se coupent ou ne se rencontrent pas et a passe une fois à l'inlini. quand r. coïncide avec im plan diamétral. Le faisceau de plans y est projeclif à la foinic de rjiyoïis