SURFACES IIOMOFOCALKS DU SECOND ORDRE

décrite par a et engendre avec elle une courbe gauche ou plane du troisième ordre. Donc :

Les pôles par rapport à un syslèitie de surfaces honiofocales du second ordre de fous les plans qui passent par une droite arbitraire^ sont situés sur nn parabotoïde hijpcrbolique, qui contient les polaires Si ^'^ §2 ^^^ ^^* droite g, ou {si g est un axe) sur les tamjentes d'une parabole. Chacun des plans d/u faisceau g est tangent à une des surfaces honiofocales; dans le premier cas, les points de contact sont situés sur une courbe gauche du troisième ordre ; dans le second, au contraire, ils se trouvent sur une courbe plane du troisième ordre.

Si la droite g est un axe, elle est perpendiculaire au plan de la ])arabole et est rencontrée par deux tangentes de cette courbe; si g n'est pas un axe, elle coupe le paraboloïde hyperbolicpie en deux points, ou bien elle a tous ses points communs avec cette surface et coïncide avec l'une de ses polaires. La droite f/ est donc alors tangente à deux surfaces honiofocales au plus, ou bien elle est située sur l'une de ces surfaces, et tout plan jiiené par g est tangent à l'une de ces surfaces en un point situé sur g.

Supposons encore que z soit un plan du faisceau g et que le point où il est tangent à l'une des surfaces honiofocales soit en dehors de la di'oite g. Nous pouvons alors mener encore pargf un second plan -, tangent à cette surface. Les plans bissecteurs p, et v du dièdre formé par les plans t. et t:, sont perpendiculaires l'un h l'autre et conjugués par rapport à la surface du second ordre; l'axe qui est conjugué et normal à l'un [j. de ces plans bissecteurs doit être contenu dans l'autre v et par conséquent est coupé normalement en son pied ])ar la droite g. Donc :

( ne droite quelconque g, qui n'est située sur aucune des surfaces honiofocales du secondordre, est tangente à deux de ces surfaces. Les plans tangents \).et v de ces deux surfaces sont perpendiculaires entre eux et bissectent tout angle dièdre t.t^i dont l'arête est la droite g et qui est circonscrit à Vune quelconque des surfaces honiofocales.

Le faisceau de plans g est d'après cela en involution symétrique avec les plans doubles \j. et v, quand on fait correspondre entre eux deux à deux les plans qui sont tangents à l'une des surfaces honiofocales.

Nous sommes conduits à une autre série de théorèmes intéressants, en remarquant que des surfaces homofocales du second ordre ont le même complexe d'axes et que les pieds des axes sont les mêmes pour toutes ces surfaces. Par exemple :

206 (iiioMÉTiai-: de position.

Les )wrinales que Von penl mener dans un plan quelconque r. à un sf/slèïïie (le surfaces homn focales du second ordre enveloppeni en ifcnéral une j)arahole ; leurs pieds sont situés sur une courbe du troisième ardre à point double et les plans tangents auxquels elles sont perpendiculaires forment un faisieau de plans du premier ordre Ml. i)agu 199). Ces nornudes sont en nuhne temps les axes des coniques communes au plan t. et aux surfaces liomofocales; les centres de ces coniques sont situés su)-la directrice de la parabole (II, pages l(S9-490). Ce lliéoivine coiiipoile une exception, c'esl (piaïul - esl un plan diaméti-al ou est perpendiculaire à un plan de symétrie.

!Si le plan iz est j)erpendicnlaire à un plan de symétrie \', toutes les normales aux surfaces homo focales qui sont renfoinées dans ce plan f(n'nu'nt un faisceau de raijous dont le ccnl}-e P est contenu dans le plan de symétrie -■' ', leurs pieds sont situés sur un co-cle passant par P et dont le centre est su)' y.

Si T, est un plan diamétral, toutes les normales quil renfenne forment un faisceau de rayons parallèles', leurs pieds sont sur une hyperbole équilatère [dont le centre coïncide <ivec celui des surfaces liomofocales) ou sur une droite {(piaud ces surfaces n'ont pas de centre).

Nous pouvons tii-er de là des conclusions relativement aux normales (pie Ton peul mener aux surfaces liomofocales parallèlement à une droite donnée ou par un point P d'mi plan de symétrie y.

Toutes les normales que Ton peut mener d'un point quelconque!* aux surfaces hotnafocales sont en yénéral situées sur une surface conique du second ordre: leurs pieds sont situés sur une courbe yauclie du cinquième ordre, (pii a le pnini V ptur point t)-iple.

On pent, d'une manière analogue, éteiuli'e aux normales d'un système de surfaces liomofocales et à leurs pieds tous les autres théorèmes qu'on a démontrés poui- les pieds des rayons d'un complexe d'axes, (lomme exemple, nous citei'ons la proposition suixanle qui se déduit de la réunion de deux des précédentes.

Les normales aux surfaces homofocales qui sont coupées par un plan de symétrie 7 su irait t les points d'un diamètre d^ sont parallèles à nn plan i perpendiculaire à -;. Leui's pieds sont sur une surface passant par d et dont y est un plan de symétrie. Cette surface est coupée par tout plan parallèle à t suivant un cercle et une droite à i' infini et par tout plan passant par d, suivant ce diamètre et uncliy-