SURFACES HOMOFOCALES DU SECOND ORDRE

perbolc cquihiicrc, doiil le cenlrc coïncide avec le cctdre des .surfaces honiofocaks et dont f une des asi/mpto/es est parallèles à i. Quand les surfaces )ioul pas de cenh'c, nous avons à la place de Chypeilmle une droite propre et une droite à Viiijini; dans ce cas, la surface, lieu des pieds des uoruuiles, se compose d'une surface réglée du second ordre et du plan a rin/ini.

VINGT-OUATItIÈME LEÇON.

Surfaces du troisième ordre ; représentation de ces surfaces sur un plan; courbes gauches du troisième qui s'y rattachent.

Lorsque dans l'espace trois gerbes non concentriques S, Si, S^sont ra|)j)ortées collinéairement les unes aux autres, mais ne sont pas perspectives, trois plans correspondants quelconques de ces gerbes se coupent en un point et exceptionnellement seulement suivant une même droite. Les points d'intersection des plans homologues constituent une surface F"' à l'étude de laquelle nous allons consacrer la présente leçon .

Déterminons d'aboi'd l'ordre de la surface F'', c'est-à-dire le nombre de points qui sont communs à F'' et à une droite {/. Si deux rayons homologues des gerbes S et Si se coupent en un point P de g, ce point P est situé sur la surface F''; en effet, aux faisceaux de plan SI* et S,P correspond dans la gerbe S, un troisième faisceau de plans dont un plan passe par le point P, en sorte que P se présente alors comme point d'intersection de trois plans homologues des gerbes S, S, et S^. En passant, nous déduisons de là:

La surface F'' passe par les trois courbes gauches du troisième ordre dont les systèmes de cordes sont engendrés par les trois gerbes collinèaircs S, Si cl S^ j)rises deu,r à deux.

Si deux })lans correspondants des gerbes S et Sj se coupent suivant </, la droite ^ a au plus deux points communs avec l'une des trois courbes gauches; et de plus elle est coupée par le ])lan correspondant de la gerbe S^ en un pohit de la surface F\ Si ce cas ne se produit

SURFACF:S !){■ TROlSlÈMi; OHDlîK. 209

pas, projetons g de S suivant un faisceau de rayons et cherchons le faisceau de rayons correspondant dans Si. Ce dernier est projectif à 7 et engendre en général avec cette ponctuelle un faisceau de plans du second ordre, dont les différents plans sont coupés chacun par les plans correspondants de la gerbe S en un point de ^. Au faisceau de plans du second ordre correspond dans S.^ un faisceau de plans du second ordre, également projectif à g, dont trois points au plus et un au moins passent par les points correspondants de g (I, page 154), quand chaque point de g n'est pas contenu dans le plan qui lui correspond dans S^. Chaque point de cette espèce sur g est l'intersection de trois plans homologues des gerbes S, Si, S^ et par conséquent est situé sur la surface F''. Si deux rayons homologues des gerbes S et Si se coupent en un point P de g, au lieu des faisceaux de plans du second ordre, nous avons trois faisceaux de plans du premier ordre ])rojectifs à g. Deux de ces faisceaux sont ])erspectifs à la ponctuelle g ; le troisième, relatif à Sg, est également perspectif à (jf, autrement dit, il passe au plus deux de ses plans par les points de g qui leur correspondent, en sorte que, dans ce cas encore, la droite g a au plus deux points différents de P ({ui lui soient communs avec la surface F''. De tout ce:i il résulte que :

Toute (Iroi/e g, qui ncsl pas entièremeiil située sur la surface F'\ a en cuniinun avec elle trois points au plus et un point au moins. Trois gerbes collinéaires non concentriques., S, 8^, S., engendrent donc une surface du troisième ordre à laquelle appartiennent les points d'intersection des plans homologues trois à trois.

Ce théorème subit une modification, quand les gerbes collinéaires engendrent un seul et même système de rayons du premier ordre. Ce cas a déjà été traité dans la douzième leçon; nous l'exclurons à l'avenir de nos considérations.

\ous pouvons décrire une surface du troisième ordre })ar le mouvement d'un point en vertu du théorème suivant :

Si les quatre faces d'un tétraèdre variable pivotent autour de quatre points fixes et si trois de ses sommets se meuvent sur trois droites fixes concourantes, le quatrième sommet décrit une surface du troisième ordre.

En effet, on voit aisément que les quatre faces décrivent autour des points fixes quatre gerbes collinéaires, dont trois sont perspectives à la quatrième et engendrent la surface.

Nous arrivons, de la manière la plus simple, à un grand nombre de

GÉOMlîrUlE DE POSITION. — II. 1 '(■

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[)ropnétés hiiporlantes de la surface F'' du Iroisièuie ordre, eu i-apportant comme il suit la siu-face à un système [)lan ï. ou en la représentant sur le plan ^l. Pour cela, nous rapportons réci])roquemeut le système plan aux trois gerbes collinéaires S, Si et S,; à tout point de ^ correspondent alors trois plans homologues des gerbes et, en même temps, leur point d'intersection situé sur F''. Réciproquement, étant donné un point quelconque P de F\ on pi'iil trouver le point de 1 ((ui lui correspond au moyen des ti-ois plans correspondants des gerbes, lesquels se coupent en P. A toute forme rectiligne de !: correspondent dans S, S,, S, trois faisceaux projectifs de plans, et par conséquent sur F" une courbe gauche du ti-oisième ordre engendrée par ces faisceaux de plans (11, page 105). En d'autres termes :

La surface F' du troisième ordre est rapportée au système plan 1 de telle manière qu'à tout point de F" correspond un point de X, à toute courbe cubique cjauche de F'\ enqendrée par trois faisceaux homologues de plans de S, S^, S^, une forme rectiligne de 1, qui lui est projectire; et, d'une manière générale, à F ensemble des courbes gauches du troisième ordre de F'\ ainsi engendrées, correspondent les différentes droites de 1.

Nous désignerons sous le nom de premier système de courbes de la surface du troisième ordre toutes ces courbes gauches du troisième ordre situées sur F"* et qui correspondent aux droites de :i]. Nous \ errons qu'il existe encore sur la surface un second système de courbes gauches du troisième ordi'e dont la génération est toute différente. Ce premier système de courbes donne lieu aux théorèmes suivants :

Deux courbes gauches de ce premier système ont toujours un point commun ; en eiîét, les droites correspondantes de 1 doivent se couper.

Deux points quelconques de la surface gauche du troisième ordre peuvent être réunis par une courbe gauche unique du premier système ;

car par les deux points coirespondants de 1 on ne peut faire passer qu'une seule droite.

A toutes les droites de ï, qui passent par un point donné, correspondent sur F' toutes les courbes du premier système qui passent par le point correspondant; nous leur donnerons le nom de faisceau de courbes. Un faisceau de rayons du système plan i: rapporte perspectivement entre elles toutes les formes reciilignes de ï qui ne passent pas