SURFACES DU TROISIEME OHI>RE

par le centre du faisceau; et couune chacune d'elles est projective à la courbe gauche du troisième ordre qui lui correspond, il s'ensuit que :

Un faisceau de courbes du premier système de F' rapporte projectivemrut entre elles toutes les autres courbes gauches de ce sijstème.

Nous dirons que quatre courbes du faisceau sont quatre courbes (jauclies harmoniques du premier système, quand elles sont coupées en quatre points harmoniques par une courbe quelconque et conséquemment par toutes les courbes /'" du système qui n'appartient pas au faisceau. Chacune de ces courbes/'' se présente donc connue uiie section du faisceau de courbes et se trouve rapportée projeclivement à ce faisceau. De la même manière, le faisceau de courbes est rapporté projectivement au faisceau de rayons qui lui correspond dans -, parce (jue quatre courbes harmoniques du premier faisceau oui pour corresl)ondantes quatre droites harmoniques du second. D'une manière générale, nous pouvons, en vertu de la définition générale de la jirojeclivité, rapporter projectivement ces faisceaux de courbes entre eux et à des formes élémentaires quelconques.

La surface du troisième ordre est coupée par im ])lan quelconcpie suivant une courbe du troisième ordi'e; et toute courbe gauche du premier système a en commun avec le plan, et par suite avec la courbe d'intersection, un point au moins et trois au plus; donc :

^1 toute courbe plane du troisième ordre de la surface F'' con'csjtond dans ï une courbe du troisième ordre, qui a en commun avec une droite quelconqïte un point au moins et trois points au plus.

Nous pouvons rapporter projectivement la surface F' à 2 de la manièi'e qu'on a indiquée, en prenant sur F'' quatre points quelconques, dont trois ne sont pas contenus sur une courbe du premier système, et en leur faisant correspondre les sommets d'un quadraugle arbitrairement choisi dans ^. En elfet, 2 se trouve ahisi rapporté réciproquement aux gerbes collinéaires S, Sj et S^ et par suite aussi est rapporté projectivement à F''.

Comme nous l'avons déjà annoncé, la surface du troisième ordre possède encore un second si/stème de courbes gauches du troisième ordre. Nous rattachons tout d'abord à ce système les trois courbes gauches dont les systèmes de cordes sont engendrés par les gerbes collinéaires prises deux à deux. Nous désignerons par h^' et /t/- les deux courbes gauches du troisième ordre, passant par le point S, que la gerbe S engendre respectivement avec les gerbes Sj et S,. La courbe A:/' déter"

212 <;i',OMiii i;i(: ui: position.

iiiiiiu coiiiplèleiiieiil. la cuHiiiéalioii des gerbes S el Sj, puisque toute corde de A:i'' est projetée ])ar deux plans homologues de S et Sj. D'autre pari, le système de cordes (l(> /,,"' csl lapporlé projectivement à la gerbe S, pai- le uioyen des gerbes S et 8,, de telle sorte que toute corde de A:/' correspoud à un plan de S„, et est coupée par lui en un point de la surlace F''. La surface F'' est donc engendrée; aussi parle système de cordes (funecourbc gauche k^'' du troisième ordre et par la gerbe S, (jui lui est piojcctlve. Mais comme le système de cordes est projeté de tout point de sa courbe double /./' suivant une gerbe coUinéaire à S et S^, et conséquemraent aussi à Sj. nous pouvons remplacer le centre de la gerbe S par un autre point quelconque de /./'. La courbe cubique gauche /i/' engendrée parles gerbes S etS^, change alors de position sur la surface F^ Je dis que :

Lorsque le point S parcourt la courbe gauclie /.y', tacourtje A'',, engendrée par les gerbes S et S.-,, décrit le deuxième système de courbes de la surface entière du troisièuie ordre et passe une fois par chaque point P de cette surface.

Nous devons d'abord prouver que pour une position déterminée du point S, la courbe A.;' passe par le ])oint P. En 1* se coupent ti'ois plans homologues a, a,, a, des gerbes collinéaires S, Sj, S.,; au rayon S^P ou b, de S., correspond d'après cela dans S^ un rayon b^ qui est contenu dans un même plan a^ avec la corde aa^ de la courbe gauche k^\ coi'de qui passe par P. Au faisceau de plans b^ de S^ correspond de plus dans le système de cordes de A^'* un système réglé ou une surface conique du second ordre, dojit tous les ra\ons sont coupés par b^ et à laquelle aa^ appartient. Soit b la directrice de ce système réglé ou le rayon de la surface coniciue du second ordre qui passe par le point P. Ce j-ayon coupe (U, pages 101-102) la courbe gauche A/' en un point qui, dans le cas de la siu'iace conique du second oi-dre. est dillérent du sommet de cette surface. Choisissons ce ])()inl (Tintersection de b et A^" pour centre de la gerbe S. cette gerbe engendrera avec S., la courbe cubique gauche kj' qui passe par P. ]^]n ellèt. au faisceau de i)lans b^ de S., correspond dans la gerbe S le faisceau de plans suivant leepiel le système réglé ou la surface conique du second ordre est ])r()jetée de S, ou (ce qui est la même chose) de la di'oite b; les dioites b,, et b se correspondent donc de telle sorte que leur point P d'intersection est réellement situé sur kJ'.

Nous pouvons remplacer le centre de la gerbe S., par un autre point ([uelcuiKpi;' de la couibe A,', par e.\enq)le par P; nous pouvons donc

SrRFACKS Dl TROISIÈME ORDRE. 213

aussi prendre pour ce sommet un point complètement arJ)i traire de la surface du troisième ordre. En d'autres termes :

Un point quelconque de la surface dn 'troisième ordre peut être pris comme centre de Viine des trois (jerltes collinéaires qui engendrent la surface.

Il résulte immédiatement de là que les trois centi'es primitivement clioisis ne sont pas des points remarquables de la surface et que les lliéorèmes que l'on a démontrés à leur endroit s'appliquent aussi à tout autre point de la surface. Vàv exemple, comme les centres cies gerbes S et S^ sont réunis par une courbe cubique gauche A:/', (jui appartient au second système de courbes de la surface, on voit cpie :

Denx points quelconques delà surface F'' du troisième ordre pcuvcul être réunis par une courbe gauche du second si/stème.

La courbe gauche A"/' engendrée par S et S^ peut être considérée comme une courbe entièrement arbitraire du second système. De cette remarque on peut déduire que :

Toute courbe gauche P du premier système est située avec chac.ine des courbes k^ du second sijstènie sur une surface réglée ou conhjue du second ordre; dans le cas d'une surface réglée, l'un des systèmes réglés se compose de cordes de Vune de ces courbes gauches du Irrtisième ordre et Vautre système est forme' de cordes de Vautre courbe.

En effet, la courbe gauche /"' est engendrée par trois faisceaux correspondants de plans a, a^, a.^ des gerbes S, Si, S,; elle est donc située avec h^' sur la surface du second ordre qui contient loutes les cordes de /.'," engendrées par les deux faisceaux de plans a et ai . Cette même sui face du second ordre contient aussi les axes des deux faisceaux de plans, et ces axes sont des cordes de /' (II, pages lOo-'lOi).

Réciproquement, tonte surface réglée du second ordre que Von peut mener par une courbe gauche & de Vun des systèmes, est coupée en outre par la surface du troisième ordre suivant une courbe gaudie c^ de Vautre système.

En eftet, comme une droite quelconque de la surface du second ordn^ a au plus deux points communs avec la courbe gauche c' tandis (juVmi général elle en a trois avec la surface F"' du troisième ordre, il existe encore en dehors de la courbe c'* des points situés à la fois sur F"' el sur la surface du second ordre. Soient P et Q deux quelconques d'entn^ eux et Cj'' la courbe gauche du troisième ordre passant par P et Q qui appartient à l'un des deux systèmes de courbes, mais pas au même système

214 flKOMÉïRlF. DE POSITION.

que c'". On peiil alors mener par r' et c^'' une surface réglée du second ordre qui a en commun avec la précédente la courbe gauche c^ et les deux cordes de r'' passant par P et 0, et qui par conséquent doit coïncider avec elle.

Par chaque })oint S de la surface du troisième ordre passe un faisceau de courbes gauches du second système et les courbes A'/' et kj' qui établissent la coilinéation des gerbes, S, Sj et S., jieuvent être considérées comme deux coui'bes entièrement arbitraires de ce faisceau. Chaque plan de S projette une corde de k^' et de /./' qui lui correspond ; et ces deux cordes, ([ui se coupent en un point de la surface F'', lui sont communes avec les deux plans qui lui correspondenl dans Si et S^. On déduit de là la cnnsi rnciion suivante très simple de In surface du troisième ordre, au moyen des courbes gauches k^" et /;/' du second système :

Par le point S, commun aux courbes A/' et kj', nous menons des plans et, dans chacvyi d'eux, nous déterminons les deux cordes de I:'' cl de A/' qui ne passent pas par S; ces deux cordes se coupent en un point de la surface du troisième ordre.

Par exemple, si nous donnons au plan passant ])ar S une position telle qu'il soit coupé i)ar A/" et A:/' en deux points diflerents de S, les deux cordes ne sont autres que les droites qui réunissent ces couples de points; elles sont donc faciles à construire. C'est seulement (|uand un plan est tangent au point S à la courbe A/' ou A/' que la corde correspondante passe par le point S.

Cette construction peut nous donnei' mi point quelconque P de la surface du troisième ordre. Comme A/ et A-^" sont des courbes gauches entièrement arbitraires du second système, qui passent par S, il s'ensuit que :

Si Von considère loules les courbes gauches du Iroisième ordre qui appartiennenl au deuxième si/siènie de courbes et qui passeni par un point arbitraire S, et si d'un autre point quelconque V de la surface du Iroisième ordre on leur mène des cordes, loules ces cordes soûl situées dans un même plan ix passant par SP .

Ce plan a est coupé au point P par les plans ol.^ et a, qui lui correspondent dans les gerbes S, et S^ ; et toute courbe gauche du premier système passant P est engendrée par trois faisceaux de plans de S, S^, Sj, dont les axes sont respectivement contenus dans a, a^ et a,. Mais ces axes sont aussi en même temps des cordes de cette courbe gauche |)assant ])ar P; on a donc ce théorème :

suPvFAf:r;s nr troisième ordre. 215

Si Von ronsidèrr tovlca les courbes (jaNches du troisième ordre (fiii (tppurliennent mi premier si/slènie de courbes et qui passent jxrr le point arbitraire P; et si du point S de la surface du troisième ordre on leur mène des cordes, toutes ces cordes sont contenues dans le même plan Cf., passant par SP, que celui dont il a été question dans le théorème précédent .

Comme le point S peut être choisi arbitrairement sur la surface dn troisième ordre, ces deux derniers théorèmes expriment une pi'opi'ièté commune aux deux systèmes de courbes. En vertu du dei'iiier théorème, nous pouvons topt aussi bien construire la surface du troisième ordre au moyen de deux courbes gauches l^\ /./' du premiei* système qu'à l'aide des courbes l,\' et /t/' du second système. Cette construction permet d'établir immédiatement une coUinéation eiitre trois gerbes P, P^, P^ de telle sorte que P engendre avec P^ et P, les systèmes de cordes respectifs de /i'' et //', c'est-à-dire de deux courbes du premier système, et que trois faisceaux de plans qui se coirespondent dans P, P, et P^ engendrent une courbe gauche du second s\stème. La surface du troisième ordre est bien encore engendrée par les gerbes collinéaires P, P,, P^, mais les deux systèmes de courbes ont échangé leurs rôles en ce qui regarde leur génération et leurs relations réciproques. 11 suit de là que :

Toutes les propriétés de Vun des systèmes de courbes gauches du troisième ordre conviennent également à Vautre système.

Ainsi, par exemple, deux courbes quelconques du second système doivent avoir un point commun, parce que les courbes du jM-emier système jouissent de cette propriété. Un faisceau de courbes du second système coupe projectivement toutes les autres courbes de ce système.

La surface du troisième ordre peut aussi être représentée sur un plan de telle sorte que toute courbe du second système ait pour correspondante une ligne droite et tout faisceau de courbes de ce système un faisceau de rayons qui lui est projectif ; les courbes du premier système sont alors représentées par des courbes planes du cinquième ordre, parce qu'elles peuvent avoir au plus cinq points communs avec celles du second système. Les théorèmes que nous avons démontrés jusqu'ici pour les faisceaux de courbes du premier système s'appliquent aussi aux faisceaux de courbes du second.

.S/ à toute courbe gauche du troisième ordre, appartenant à un faisceau P de courbes du premier système, on fait correspondre l'axe du

faisceau de plans de S, qui eiKjendre la courbe avec les faisceaux correspondants de plans des gerbes S^ el 8^, ou bien, en d'autres termes, la corde (jue l'on peut mener du point S ii la courbe gauche, le faisceau S de rayons, que forment ces axes ou ces coides, est rapporte projectivement au faisceau de courbes P.

Soit, en effet,/'' une courbe gauche quelcontjue du ti'oisième ordre (lui fait partie du premier système de courbes, mais (|iii ii'appaitient pas au faisceau de courbes P. Elle sera rapportée projectivement au faisceau d(3 courbes si Ton fait correspondre chaque courbe du faisceau au point de /"' par lequel elle passe (II, page '211). Mais, en même temps, le faisceau de plans de S, qui engendre la courbe gauche P avec les faisceaux de jilans correspondants de S^ et S^, est perspectif aussi bien à /"' qu'au faisceau S de cordes dont il est question dans le théorème ; /'' est donc aussi proiective à ce dernier. Le faisceau de courbes P et le faisceau de cordes S sont donc tous deux projectifs à la courbe gauche /'"et par conséquent ils sont aussi projectifs enti-e eux.

Ce théorème subsiste encore dans le cas où le centre du faisceau de courbes coïncide avec le point S. Le faisceau de cordes est alors contenu dans le plan g de S qui réunit l'une à l'autre les tangentes aux courbes gauches A- j'' et /./' du second système qui passent par S. En effet, ce plan g est coupé au point S par les plans correspondants Cj et Gg des gerbes S^ et S^, parce que, par exemple, la tangente à k^' au point S a pour élément correspondant le rayon S^S de la gerbe Sj et parce que le plan Gj doit passer par SjS. Soit maintenant //' une courbe quelconque du faisceau S de courbes appartenant au premier système et a la corde qui lui correspond dans g ; un plan quelconque mené j)ar a a encore avec la courbe gauche //' un point commun extérieur à a, f[ui s'approche indéhniment du point S, quand ce plan se i-approche indéfiniment du plan a. Par conséquent g contient aussi la. tangente à //' au point S ; donc :

Si en un point quelconque S d'une surface du troisième ordre on mène les tangentes à toutes les courbes gauches des deux systèmes qui passent par S, toutes ces tangentes sont contenues dans un seul et même plan g, quon appelle le plan tangent au point S.

Il faut encore remarquer que la courbe gauche //' est en général tangente à G, qu'elle est en outre coupée par ce plan en un point L dilïérent de S et que sa corde a réunit entre eux les points S et L et par conséquent est une corde piopre de //'. La (hoite a ne coïncide avec la