n -p u3» ' u.= cosBi sin

| v = COS Yj Sin - = -rr-,

0 — cos - —

Ces formules font connaître à la fois la direction (a,, (3,, y, ) de l'axe de rotation et la grandeur G de la rotation. On en déduit, en particulier,

4 COS2 - = ï

f\S LIVRE I. — CHAP. III.

Les formules (i i) mollirent que, pour tout déplacement réel, on peut supposer que m et q, n et — p soient imaginaires conjugués. C'est ce qu'il serait aisé d'établir directement. Car, si dans les formules (-) on change «en — i, il faut y remplacer x, y, ^nXi

par ;> ? -j respectivement, m, /?, />, <y par leurs

imaginaires conjuguées m0, n0, /?0, q0. La première devient donc

C/a.Vl — />n

Pour que cette relation soit identique à la seconde formule (-) il faut qu'on ait

Vo />n ___ — n0 ffl0 ^

m — ra /? ^ '

ce qui permet de supposer

On pourrait également déterminer Taxe de rotation en remarquant que le point où il perce la sphère de rayon i doit se correspondre à lui-même. On l'obtiendra donc en faisant, dans les formules (7),

x — xu y—yu

ce qui conduira à l'unique équation du second degré px--+- (q — m ) x — p = o

qui détermine à la fois x et y. Si x' et y' désignent les deux racines de cette équation, on aura les quatre points

Les deux derniers sont à l'infini. Les deux premiers sont, au contraire, à distance finie et diamétralement opposés.

On voit ainsi que le déplacement peut être considéré comme une transformation homographique de la sphère qui laisse invariables quatre points de la surface dont deux à l'infini.

27. Dans la théorie dès fonctions et dans différentes recherches de Géométrie, il peut être avantageux de modifier le système de

coordonnées symétriques x, y et de substituer à v la variable

a alors pour a, p, y les expressions

(ib) a= — , % = i