CHAPITRE III

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES DEUX MÉTHODES EMPLOYÉES DANS LE CHAPITRE PRÉCÉDENT.

Etude des coordonnées, dites symétriques, sur la sphère. Forme de l'élément linéaire. Substitutions linéaires effectuées sur ces coordonnées qui reproduisent cet élément et transforment par conséquent une figure quelconque en une ligure ('■gale ou symétrique. — Formules qui expriment à l'aide des coordonnées symétriques la distance de deux points sur la sphère. — Définition de deux rapports anharmoniques attachés à un quadrilatère et explication géométrique de la réduction du problème traité au Chapitre précédent à l'intégration d'une seule équation de Hiccati.

Réduction de tout déplacement fini à une même substitution linéaire fractionnaire effectuée sur les deux coordonnées symétriques. On montre, lorsque cette substitution est connue, comment on obtient les paramètres quaternioniens qui définissent le déplacement. — Système de coordonnées symétriques imaginaires conjuguées employé dans la théorie moderne tics fonctions.

Etude du cône isotrope ou sphère de rayon nul. Cette sphère doit être considérée comme une surface double et, de plus, la distance de deux quelconques de ses points jouit de la môme propriété que celle de deux points sur une droite : elle s'exprime rationnellement. — Généralisation du théorème de Ptolémée.

Roulement du cône isotrope sur lui-même. — Tout déplacement fini s'obtient en soumettant les coordonnées u et v de chaque point à une substitution linéaire de coefficients constants. Relations entre les paramètres quaternioniens du déplacement et les coefficients de cette substitution. — Déplacement infiniment petit. Système de deux équations différentielles linéaires rattaché à ce déplacement et permettant de déterminer le mouvement quand on tonnait les expressions des rotations/?, q, r en fonction du temps. Ce système est précisément celui que l'on a rencontré au Chapitre précédent. — Indications historiques.

23. Il nous paraît intéressant de justilier et d'expliquer par quelques considérations de Géométrie pure les résultats que nous avons obtenus au Chapitre précédent. A cet effet, nous commencerons par étudier ce système de coordonnées curvilignes xely ■h l'aide desquelles on détermine tous les points de la sphère de rayon i et qui sont définies par les formules (9) du numéro lo.

Par un calcul élémentaire, ces formules nous permettent de

déterminer l'élément linéaire de loule courbe tracée sur la sphère <■! nous donnent

( i ) aa- •+- dp- ■+- av =

(a?— JK)3

On voit que cet arc sera nul lorsque l'une des quantités x ou r testera constante, c'est-à-dire quand on se déplacera sur une des génératrices rectilignes de la sphère. C'est là un résultat bien connu et qui caractérise les coordonnées dites symétriques ; mais la formule va nous conduire à d'autres conséquences.

On voit immédiatement que le second membre ne changera pas, soit quand on ajoutera une même quantité à x et à y, soit quand (m les multipliera par un même nombre, soit quand on les remplacera par leurs inverses, soit enfin quand on les échangera. On est ainsi conduit à constater que le second membre se reproduit, soit lorsqu'on effectue sur x et sur y une même substitution définie par les formules

ax\ -+■ b art+ b

cxi -T- d cy\-r- d

«, 6, c, d étant des constantes, soit lorsque, après avoir effectué celte substitution, on échange xK et^, ce qui donne

cyi -+- d cx1-+- d

Dans l'un et l'autre cas, on a

4 dx dy 4 dx\ dv]

(x—yy (^i-/i)2

Il résulte de là que, si l'on considère sur la sphère la figure ( F) décrite parle point (x, y\ et la figure (F\) décrite par le point (x, , jKi), la distance de deux points infiniment voisins quelconques de la première figure sera toujours égale à la distance des points correspondants de l'autre; par conséquent, les triangles infiniment petits qui se correspondent dans les deux figures seront égaux ou. symétriques ; les deux figures seront égales ou symétriques.

24. Le résultat précédent a été déduit en faisant usage uniquement de l'équation (t), qui donne la distance de deux points

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infiniment voisins sur la sphère. Mais on peut l'obtenir, et d'une manière plus nette, par l'emploi de la formule qui détermine, dans le système de coordonnées ûc, y, la distance de deux points quelconques de la sphère.

Soient, en ellet, M, M' deux points de coordonnées x, y; x\ y'. On aura, en désignant par M M' l'arc de grand cercle qui les réunit, el en faisant usage des formules (9) (n° 15),

cM1M< — 1 xy — 1 x'y' -t- ( x -t-.y>( x -h y')

{ 1 ) COSMIVI = ; — ; : ; 1

(r-y){x —y ) d'où l'on déduira

! . MM' (x — x'

i sin! =

l 2 MYT (.r — x')(y—y')

\ tang — — — ^x y)(r —x')'

Ces formules, que j'ai données avec plusieurs autres en 1872 ('), peuvent servir de hase à une étude fructueuse de la trigonométrie sphérique. On peut les écrire encore comme il suit

\ sin ~^— =A(«J,*J)1 ~T~ = <'îl(.r, x,y ,y),

tan*-—- = — Si(x,y,x,y),

;il(«, />, c, <:/) désignant le rapport anharmonique des quantités ci, &, c, cl. D'après les propriétés de ce rapport, on reconnaît immédiatement que ces expressions demeurent invariables lorsqu'on applique aux coordonnées des deux points l'une ou l'autre des substitutions (2) ou (3). Ainsi ces substitutions ne changent pas la distance de deux points quelconques el, par conséquent, remplacent toute figure sphérique par une figure égale ou symétrique. 11 est d'ailleurs très aisé de démontrer que la substitution (2) donne une figure égale à la proposée, tandis que la substitution (3) conduit à une figure symétrique.

En effet, dans les formules (2), faisons varier progressivement ci, b, c, cl de leurs valeurs actuelles aux valeurs suivantes 1 , o, o, 1 .

{') Gaston Darboux, Mémoire sur une classe remarquable de courbes et de, surfaces algébriques, p. 212.

La figure (F,) se déplacera d'une manière continue et, comme elle est toujours égale ou symétrique à (F), elle demeurera toujours superposable à sa position primitive. Or, pour les valeurs extrêmes de «, b, c, d, la substitution (2) se réduit à la suivante :

x = xu y=yi.

La figure (F, ) est venue coïncider avec la figure (F); et, par conséquent, les deux figures sont égales.

Si l'on emploie au contraire la substitution (3), on peut remarquer qu'elle résulte de la composition de la première (2), qui remplace toute figure (F) par une figure égale, avec la suivante :

x=yi, y=xi-

Il suffit de se reporter aux formules (9) (11" lo) pour reconnaître que cette dernière substitution remplace un point de la sphère par le point diamétralement opposé, c'est-à-dire la figure (F) par une de ses symétriques; il en sera clone de même de la substitution générale définie parles formules (3).

25. 11 résulte de ce qui précède que, si l'on considère sur la sphère un quadrilatère quelconque qui se déplace sans se déformer, les quatre coordonnées x ou les quatre coordonnées y de ses sommets seront soumises, dans le passage d'une position à une autre, à une même substitution linéaire. Leur rapport anharmo nique demeurera donc constant. En d'autres termes, ces deux rapports anharmoniques, qui sont imaginaires conjugués, ne dépendent que de la forme du quadrilatère. On en connaît plusieurs expressions élégantes, queje ne m'arrêterai pas à établir. Il nous suffira de savoir qu'ils demeurent constants quand le quadrilatère se déplace sans se déformer.

D'après cela, revenons au système (1) du Chapitre précédent et considérons-y a, j3, y comme les coordonnées rectangulaires d'un point de la sphère. A chaque solution du système (1) correspondra une certaine courbe décrite par ce point. Il résulte des propositions établies tout d'abord (nos 2 et 1-4) que, si deux points de la sphère représentent deux solutions particulières distinctes du système (1), ils demeurent toujours à une distance invariable l'un de l'autre ; donc, si quatre points décrivent dans leur mouvement les courbes

(|in correspondent à quatre solutions particulières différentes, ils formeront une figure invariable: et le rapport anharmonique des quatre valeurs particulières de x ou de y qui correspondent à ces quatre points scia constant. Chacune de ces variables, considérée comme une fonction de /. devra donc satisfaire à une équation de Riccati (n" 16).

Il reste à montrer pourquoi la seconde coordonnée y satisfait à la même équation que la première. Pour cela, il suffit de remarquer que, si un poinl M de la sphère donne une: solution du système ( i) i n" 13), il eu sera de même du point diamétralement opposé, <pii correspond à des valeurs de a, S, y changées de signe. Or, on passe de l'un de ces points à l'autre en échangeant .'■ et r; ces deux coordonnées doivent donc satisfaire à la même équation différentielle.

-(>. Les résultats analytiques du Chapitre précédent sont ainsi complètement expliqués. Mais, puisque nous avons montré que tout déplacement autour d'un point fixe peut se définir à Taule d'une même substitution linéaire, effectuée sur les coordonnées symétriques x et y, il importe que nous indiquions comment on .rattachera cette substitution aux formules générales de transformation des coordonnées.

Reprenons les formules

i — •'')' Q • i H- xy x ■+- y

qui donnent les coordonnées rectangulaires a, 3, y en fonction de x et de r. Si Ton effectue sur x, y les substitutions définies par

les formules

et si Ton désigne par a,, ^,, v, les coordonnées rectangulaires qui correspondent à .r,, r,, on trouvera, après un calcul qui ne présente aucune difficulté,

i a = <t a, -i- b p, +- c Yij '-( S) | p = a'%i-\- b' Pi -I- c'-;,.

a. h, c avant les valeurs suivantes :

- ni- — n-

-pî

nq

. mp -f- /u/

Pcl

— nui

-4- nui

ma

où l> désigne le déterminant de la substitution

11 est aisé de reconnaître sur ces formules que les neuf éléments a, 6, c,... sont les coefficients d'une substitution linéaire de déterminant î, ce qui démontre une fois de plus notre théorème fondamental.

Pour identifier les expressions (9) de ces cosinus à celles que nous avons rappelées plus haut (n" 1), il suffira de poser

(if)

ce qui donnera (12)

ni = p — tv, n = \j. — </.,

f = \J. th. (j — 0 -If- jfv5

= /tic/ — np = X- -f- \i.- -4- v'2 -1- p2.

Si donc on \eut trouver les paramètres quaternioniens du déplacement défini par la substitution (-), on aura les valeurs suivantes :

/. = COS %4 sin -■ = l ér- j