I -+- XX0 ' I -+- XXq xx
et l'équation (i) prend la forme
(17) dtf+dp+d^= kdxdse«
{ l -t- XXq )-
Ce nouveau système offre le grand avantage de donner pour tout point réel des coordonnées imaginaires conjuguées; mais d'autre part un déplacement n'est plus représenté par la même substitution linéaire effectuée sur les deux variables.
28. Après avoir étudié le déplacement d'une sphère de rayon fini, considérons la sphère de rayon nul, ou cône isotrope, défini en coordonnées rectangulaires par l'équation
On peut, comme nous l'avons vu aun°21, exprimer les coordonnées d'un de ses points en fonction de deux variables u et v par les formules
(iy) X = «2 — v-. Y = i(«2+p2), Z = '2,uv.
Y chaque point de la surface correspondent deux systèmes de valeurs w, v et — u, — v. A la différence de la sphère de rayon fini, la sphère du rayon nul peut donc être considérée en quelque sorte comme une surface double. On passe d'un point au point imaginaire conjugué à l'aide de la substitution
où «o, r0 désignent les quantités imaginaires conjuguées de u et de c. Comme on a
on voit que, si a et v varient en conservant le même rapport, 011 D. - t. \
oblienl tous les points situés sur une même génératrice rectiligne du cône isolrope.
Cherchons la dislance de deux points quelconques M, Mt, de la surface ayant respectivement pour coordonnées curvilignes il, v et ;/,, c,.
Si Ton désigne par d0, celte distance, on aura
dli =(X — Xj)2-)-(Y — Yt)*-{-(Z — Z,)2= 4(1*1'!— vux)i.
En extrayant la racine carrée, on trouve la formule fondamentale
(21) rfoi = -?.(ia-i — viii).
Nous voyons ici se reproduire, pour la sphère de rayon nul, cette propriété si importante des dislances comptées sur une même droite. La distance MM, de deux points du cône isotrope est une fonction rationnelle et, par suite, peut être affectée d'un signe qui change quand on échange les deux points.
Voici une conséquence particulière de l'équation (21). Si l'on prend quatre points quelconques M,, M2, M3, M/# sur le cône isolrope, une propriété bien connue des déterminants donne, entre leurs distances mutuelles, la relation
d\ 2 di 4 -+- dt 3 dk2 -+- d\ 4 dri = o .
C'est la relation entre les distances mutuelles exprimée par le célèbre théorème de Ptolémée relatif au quadrilatère inscriptible. Ainsi :
Si la sphère circonscrite à un tétraèdre a son rayon nul, on a, entre les arêtes de ce tétraèdre, la relation
aa'àz bb'zh ce' — o,
a, a.'; b, b' ; c, c' désignant les trois couples d'arêtes opposées de ce tétraèdre.
Si le tétraèdre se réduit à tin quadrilatère plan iiiscriplible dans un cercle, il y a deux sphères de rayon nul contenant ce cercle, et l'on retrouve le théorème de Ptolémée.
La formule (21) nous permet encore d'obtenir la sig-nifîcation géométrique des variables u et y. Si nous faisons, en effet, coïncider
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES DEUX MÉTHODES EMPLOYÉES. 5l
le point M, avec le point A qui correspond aux valeurs
«1=0, Pi=.I,
il vient
MA = 2«; si l'on prend
Kl = — I, Vi = O,
on a un point B, et la formule (21) nous donne
MB = iv.
Ainsi, x.m, 2 1> désignent les distances à deux points fixes du cône isotrope.
Les coordonnées rectangulaires du point A sont
x = — 1 , y = i's 3 = o . Celles du point B sont
Ce sont les deux points d'intersection du cône isotrope avec la
droite
29. A laide de l'équation (21), on peut encore obtenir les formules relatives à un déplacement quelconque autour de l'origine. Dans ce déplacement, en effet, le cône isotrope glisse sur lui-même, et la dislance de deux quelconques de ses points doit demeurer invariable. Soient u, v\ u', v' les coordonnées de deux points M, M; el ri|, P| ; u\ , v\ celles de leurs nouvelles positions. On doit avoir
(22) uv' — Vil' — ± ( ll\V\ V\ u\).
Donnons au point M' deux positions particulières, nous aurons deux relations qui nous permettront évidemment d'exprimer u, v en fonction linéaire de m,, V\.
Soient
l v = mv\ -i- nui}
( u = pv\ -+- qui ces deux relations. D'après la formule (22), les constantes m, /?,
/>, q devront satisfaire à la condition
mq — np = ± i .
Mais comme le déplacement petit être réalisé d'une manière continue, il faut que l'équation, précédente puisse être vérifiée par des valeurs de m, q très voisines de + i ou de — i et des valeurs de /*, p très voisines de zéro. Donc, en vertu de la continuité, on aura, dans le cas d'un déplacement,
( 24 ) mq — np = -4- 1 .
Passons des coordonnées curvilignes aux coordonnées rectangulaires et posons
( x = ui — v'1, y = i(u2 -+■ v- ), s = lu v,
nous retrouvons des formules
(26) < y = «'.x-, -+- 6'jki H- c' -1,
( z — a"xt h- b"yx -+- c" zu
où les neuf coefficients ont précisément les valeurs définies parles formules (9), si l'on tient compte de l'équation
Par suite, ces formules définissent bien un déplacement, et si l'on pose, conformément aux équations (11) du n" 26,
l m = p — tv, n = jjl — i X, f y = p -f- ? v , /? = — |Ji — i A,
ce qui donnera ici
( 28 ) IJ = A2 -f- jjl2 -1- v2 -4- p2 = 1 ;
on reconnaîtra que A, u., v, p sont les paramètres quaternioniens delà rotation par laquelle on passe du système des points (x,y, s) au système (X|,y(, s.,), et l'on aura
. . , .6 sinô rj sinO 0
(29) A = sin - cosoci, jjl = cospi, v= cosyi, p = cos-«
Les formules qui définissent le déplacement pourront s'écrire
v = ( p — î v ) t-'j -h ( [i. — i\ )ui,
ou, si on les résout par rapporta //,, e,,
/ (> ] = (.(JL — l X ) «< -+- ( 0 H- î V ) V.
30. Examinons maintenant ce qui concerne les déplacements infiniment petits et, en particulier, la méthode du trièdre mobile.
Envisageons un trièdre mobile Oxyz et soient x,y, z les coordonnées par rapport à ce trièdre (T) d'un point fixe dans l'espace.
Si nous exprimons que la vitesse de ce point est nulle, nous aurons les équations
dx dy dz
— + q z - rr = o, — + rx -p z = o, ^ + py - qx = o.
Si ce point fixe appartient au cône isotrope de sommet O, ses coordonnées seront
( 3a ) x =■ u'2 — c2, y = i( u2 -+- c2 ), s = 2 uv.
En exprimant qu'elles vérifient les équations précédentes, on sera conduit aux deux équations
du ir q -+- ip
, dl % ■>.
dv ir q — ip
dl i 1
propres à déterminer u et v. C'est le système que nous avons obtenu au Chapitre précédent pour remplacer notre équation de Riccali (n°21).
11 est facile de voir que son intégration complète nous permettra de déterminer sans ambiguïté le mouvement du trièdre mobile. Supposons, en effet, cette intégration effectuée. Nous pourrons déterminer alors sans difficulté deux solutions particulières du système par les conditions suivantes :
Pour la première
a s<- réduira à i , et [j à zéro, pour la valeur initiale de t, par exemple pour / = o. De même, pour la seconde
y se réduira à zéro el o à i pour l = o. Comme le déterminant
des deux solutions
ao — [iy
est constant, et comme sa valeur initiale est \, on aura
(34) ao-pT = i
pour toutes les valeurs de /.
D'après cela, si l'onse donne les valeurs initiales, d'ailleurs quelconques, u' et v' de m et de c, les expressions de u et de c seront donnée^ par les formules
( u = a.u'-\- y^', \ p = p«'+ Se',
qu'on peut résoudre par rapport à m', e', ce qui donne
u' = ou — yt>,
Ces dernières formules feront connaître le mouvement du trièdre mobile, car elles définissent le déplacement par lequel on passe de la position initiale d'un point (u1, v') sur le cône isotrope à sa position finale (m, v). On obtiendra donc les paramètres quaternioniens de ce déplacement en identifiant les formules (36) aux formules (3o), ce qui donnera
= p — iv, Y = [J.-+- t'A,
— — [jl -+- i\, 8 = p -+- tv,
et de là on déduira sans peine les valeurs de A, y., v, o
Dans le cas où yt>, q, r sont des fonctions réelles de /, on a Y = — '■ Pô» 3 = «o; a0, [30 désignant les quantités imaginaires conjuguées de a et de {3.
En sorle que, pour avoir la solution complète du problème, il suffira de déterminer la solution particulière du système (33) pour laquelle les valeurs initiales de u et de v sont
C'est ce que l'on pourra toujours obtenir si l'on connaît une solution particulière quelconque ; car alors on pourra en faire dériver (n° 22) la solution générale.
31. La représentation d'une rotation finie par une substitution linéaire était connue de Gauss; elle a été employée occasionnellement par Riemann dans le célèbre Mémoire : Ueber die Flàchen von kleinsten Inhalte bei gegebener Begrenzung ; mais c'est surtout M. Félix Klein qui l'a utilisée et en a montré toute l'importance dans ses Mémoires insérés aux tomes IX à XII des Mathematische Annalen, dans ses Vorlesungen ùber Ikosaeder et dans l'Ouvrage Ueber die Théorie des Kreisels, qu'il a publié en collaboration avec M. A. Sommerfeld. Le lecteur désireux d'approfondir cette théorie et d'étudier ses rapports avec celles des quaternions pourra aussi consulter le travail inséré dans le Bulletin des Sciences mathématiques (t. IX, 2e série, igo5): Sur la sphère de rayon nul et sur la théorie du déplacement cl 'une figure invariable. Ce Mémoire est un résumé des leçons que l'auteur a faites à la Sorbonne en 1900 et 1904.
