GH = G!H

On déduit de là l'un des systèmes

( G = eG,, \ G= — sïH,,

j H = eHi, \ II = eeG„

où e désigne l'unité, positive ou négative. Le second doit être écarté; car il conduirait à l'équation impossible

GG,+ HH,= o,

et, d'ailleurs, il donnerait dy= o. Il reste donc seulement le premier, d'où l'on conclut que les quantités

sont égales à leurs conjuguées et sont, par conséquent, réelles.

Ainsi l'équation linéaire doit admettre, pour toutes les valeurs réelles de t comprises entre «* et «#+, , deux solutions particulières réelles.

La même conclusion a lieu lorsque la partie considérée du contour est une des courbes planes situées dans les plans que la surface doit couper normalement; car il suffit alors (n° 298), pour retrouver le cas précédent, de passer à la surface adjointe et de remplacer G, H par Gyi, H yi. On est ainsi conduit à la règle suivante :

Si la portion considérée du contour est une droite, supposons que l'axe des y ait été choisi parallèle à cette droite; si elle est une courbe plane, supposons que l'axe des y soit perpendiculaire au plan de cetle courbe; et soient G(t), H(£) les solutions particulières relatives à cette position des axes coordonnés. Les intégrales

ni — ni —

seront réelles sur toute la partie considérée du contour, n étant un nombre entier, qui sera pair si la portion du contour est rectiligne et impair si elle est simplement plane.

Il suit de là que, si l'on considère une chaîne composée de s éléments et si l'on désigne par a,, a2, . . ., as les valeurs de t relatives aux divers sommets de cette chaîne, l'équation linéaire admettra deux solutions particulières réelles pour chacun des intervalles (a{a2), (a2a3), ..., (as tas), (ascoat), c'est-à-dire pour toutes les valeurs réelles de t. Donc les fonctions p et q de la variable t seront nécessairement réelles pour toutes les valeurs réelles de t.

301. On peut déduire des résultats précédents d'autres conséfjuences en adoptant la méthode de prolongement analytique due

LES FORMULES DE WEIERSTRASS. 55g

à Riemann et à M. Schwarz et développée au n° 272. Nous avons vu que, si une fonction est déterminée pour la partie supérieure du plan et si elle est réelle pour des valeurs réelles de t, elle peut être définie, pour la partie inférieure du plan, par la convention que les valeurs de la fonction relatives à deux valeurs imaginaires conjuguées de t soient elles-mêmes imaginaires conjuguées. Appliquons cette méthode aux deux intégrales

ni —

qui ont été reconnues réelles; mais supposons qu'on passe de la partie supérieure à la partie inférieure du plan, seulement en franchissant la portion de l'axe réel qui est comprise entre les deux points «a, ak+\ et qui correspond à la portion spécialement considérée du contour. Nous allons montrer que le prolongement analytique des deux intégrales donne un segment de surface minima (M£) qui est précisément le symétrique de (M) par rapport à la droite ou au plan de la chaîne; de plus, deux points des deux segments placés symétriquement par rapport à l'élément de la chaîne correspondent à des valeurs imaginaires conjuguées de t. Pour plus de netteté, supposons que cet élément de la chaîne soit une droite; alors on pourra poser

niu

G{t) = e~~git),

niTZ

g et h étant réelles pour des valeurs réelles de t et n étant entier.

Le segment de surface qui correspond aux valeurs tt de t représentées dans la partie inférieure du plan sera défini par les formules

(20) | y = Slf(~ 0" |>2(*l)-+-£2Oi)3«fcl,

z = S{ f(— 1 y 2 ig(h) h{h) dti .

Si l'on change i en — i dans les expressions soumises au signe $, ce qui ne change pas les parties réelles, on a

(2i) , jr = S{.f(r-i)« [e*(t) + h*(t)]dt,

I Z = <ft f{-l)'^-2ig(t)h{t)dt.

Ce sont les formules qui conviennent au segment (M), mais où l'on aurait changé le signe de x et de s. On obtient donc, comme nous l'avons annoncé, le segment symétrique de (M) par rapport à la droite considérée du contour.

Les intégrales g{t), h(t) de l'équation différentielle étant des fonctions linéaires connues des deux intégrales qui correspondent à une position déterminée, toujours la même, de (M) par rapport aux axes, on voit que ces deux intégrales peuvent être prolongées analytiquement; mais il y aura autant de prolongements analytiques qu'il y a d'éléments au contour. Si l'on passe de la partie supérieure du plan à la partie inférieure en traversant le segment a{ a2 de l'axe réel, on obtiendra un segment (M") symétrique de (M) par rapport au premier élément de la chaîne qui détermine le contour; si l'on traverse le segment a2a3, on obtiendra le segment (M") symétrique de (M) par rapport au second élément de la chaîne, et ainsi de suite; si l'on traverse enfin le dernier segment asœa^ on aura le segment (M") symétrique de (M) par rapport au sltme et dernier élément du contour. Dans tous ces segments, le point symétrique d'un même point de (M) correspond à une même valeur t, de t, et celte valeur est imaginaire conjuguée de celle qui définit le point de (M).

On obtient ainsi s prolongements analytiques différents des fonctions G(t), H(£); mais, comme ces prolongements donnent des segments tous symétriques de (M) et qui peuvent, par conséquent, se déduire les uns des autres, soit par des déplacements, soit par des déplacements suivis d'une transformation par symétrie relative à un plan, on doit conclure de la proposition du n° 29o que les divers systèmes de valeurs de G et de H ainsi définis s'obtien-

LES FORMULES DE WELERSTR ASS. 56l

dront en combinant linéairement les valeurs de G et de H relatives à l'un quelconque d'entre eux (f).

Par suite, l'équation linéaire (16) demeurera la même pour tous ces segments, ou, ce qui est la même chose, les fonctions/? et q ne peuvent être prolongées analytiquement que d'une seule manière. En d'autres termes, les fonctions p et cj doivent être uniformes dans toute L'étendue du plan. Elles sont réelles pour des valeurs réelles de t, et prennent des valeurs imaginaires conjuguées lorsqu'on substitue à t des valeurs imaginaires conjuguées. Comme, d'après les propriétés du prolongement analytique (n° 272), les fonctions G et H ne cessent pas d'être développables en séries entières pour les différents points du contour qui ne sont pas des sommets, on voit qu'en dehors de ces sommets l'équation linéaire . ne peut avoir que des points ordinaires, ou des points à apparence singulière; et même, si l'on exclut l'hypothèse de points multiples de la surface situés sur le contour, une des intégrales particulières devra rester finie pour chacun de ces points.

En résumé, l'équation linéaire dont dépend la solution du problème doit avoir ses coefficients uniformes dans toute l'étendue du plan, et réels pour des valeurs réelles de t. Si l'on exclut les valeurs t = a^ qui correspondent aux sommets du contour, elle ne peut avoir que des points à apparence singulière pour lesquels une des deux intégrales particulières demeure finie et différente de zéro.

(*) S'il subsistait un doute sur ce point, on pourrait le lever de la manière suivante :

Nous avons vu que, pour chacun des intervalles {cikak+i), il existe deux intégrales de l'équation linéaire qui sont réelles pour les valeurs réelles de t comprises dans l'intervalle et qui, par suite, prennent des valeurs imaginaires conjuguées pour des valeurs imaginaires conjugués de t lorsqu'on les prolonge à travers l'intervalle (akak+1).

Il suit de là que l'on peut prolonger analytiquement deux intégrales quelconques de l'équation linéaire, et cela d'autant de manières qu'il y a d'intervalles différents. Chacun de ces prolongements donnera évidemment pour G (tl) et H (t,), t étant imaginaire conjuguée de tt, des fonctions linéaires

oGj-f-ôHj, a'Gj + è'Hj

des quantités G[ et Hj qui sont les imaginaires conjuguées de G ( l), H {t). Par suite, les différents systèmes de valeurs de G(tl), H(£j) s'obtiendront en combinant linéairement l'un quelconque d'entre eux.

56a LivnE ni. — chap. xiii.

Les points à apparence singulière pourront être réels; mais, s'ils sont imaginaires, ils seront placés symétriquement par rapport à l'axe réel.

302. Si le point correspondant à la valeur oo de t n'est pas un des sommets de la chaîne qui limite le contour, il est aisé de reconnaître quelle sera la forme de p et q dans le domaine de l'infini. 11 suffît, pour cela, de faire la remarque suivante :

Soient t une variable quelconque et G(t), H(j) les deux fonctions qui déterminent la surface minima; si l'on substitue à t une nouvelle variable t': les nouvelles valeurs de G et de H seront

y dt'' y dt'

D'après cela, si nous désignons par a une valeur réelle de t qui détermine un point ordinaire de l'équation différentielle, cette équation admettra deux solutions de la forme

si l'on effectue la substitution réelle

et si l'on applique la règle que nous venons d'énoncer, on trouvera les deux solutions

Mf)' h*®'

qui caractérisent le cas où le point t = oo n'est ni un sommet du contour, ni un point à apparence singulière. En portant ces deux solutions dans les formules (17), on trouvera, pour les valeurs de p et de q,

Il faut remarquer l'égalité des coefficients de — dans p et de — dans q.

303. Il resle donc, pour terminer cette discussion, à examiner quelle est la forme des intégrales G, H et des coefficients p, q dans le voisinage des valeurs t = ctk qui correspondent aux sommets de la chaîne. On peut employer pour cela deux méthodes différentes. Voici la première :

Soit {fig. 26) t un point compris dans la partie supérieure du