FU

plan, auquel correspond un point m de (M); soit tt le point symétrique de t par rapport à l'axe réel. Si l'on passe de l à t{ par le chemin tc/.tt qui coupe l'axe entre a^el a/ç+i, on doit passer, sur la surface, du point m au point m, qui est l'homologue ou le symétrique de m dans le segment (M^). Si, au contraire, on suit le chemin t[it< qui coupe l'axe réel entre #/f i et a*, on obtiendra le point m2 symétrique de m dans le segment (MJ^). 11 suit de là que le lacet tt [itoLt^ effectuera, sur les deux intégrales particulières relatives au segment (M"^), précisément la substitution linéaire par laquelle on passe de ce segment au suivant (M£).

Les deux formes canoniques de cette substitution ont été données au n° 297. Elles sont contenues dans les deux systèmes suivants :

v ' | H(/)= e'a7t Hi(0,

{'M) \ H(t)=-et<™ 11,(0,

qui conviennent, le premier au cas où les deux éléments du contour qui se croisent au sommet «# sont de même espèce, le second au cas où ces éléments sont d'espèce différente. On déduit immédiatement de là qu'il existe, pour le point critique a>t, deux inté-

grales G et H telles que les produits

(* — a*)*G, (t — ak) 2H pour le premier cas, et

(t — a/cfG, (t — a/cf^H

pour le second, soient des fonctions uniformes dans le domaine du point au-

Comme les quadratures

Tg2 dt, fGU. dt, Al* dt,

qui entrent dans les équations par lesquelles se détermine la surface, ne peuvent devenir infinies ou indéterminées dans le voisinage de la valeur a/f, il est inadmissible que les fonctions uniformes auxquelles nous sommes conduits admettent le point ak comme point singulier essentiel. Ce point ne peut être qu'un pôle et, par suite, V équation Linéaire devra admettre deux intégrales régulières à exposants réels. On voit même que la somme des exposants de ces deux intégrales sera un nombre entier, ou la moitié d'un nombre impair, suivant que les éléments du contour qui se réunissent au sommet déterminé sont de même espèce ou d'espèce différente.

304. On peut encore établir tous ces résultats en utilisant les deux représentations conformes de (M). Supposons seulement que la portion de (M) infiniment voisine du sommet au ait une représentation sphérique (S) et une représentation plane (S) parfaitement définies. A.lors, en suivant la marche indiquée aux nos 273, 275 et appliquée déjà dans Je Chapitre précédent, on reconnaît qu'avec des axes convenablement choisis la valeur de u, dans le voisinage du point t = akl est

u — (t — ak)*i P(t — a/c),

<x/c-tz étant l'angle dont il faut faire tourner l'un des côtés du contour dans la représentation sphérique (S) pour l'appliquer sur le suivant, en restant toujours dans la surface de Riemann qui sert

de représentation s plié ri que à (M). De même, dans la représentation plane (S) définie an Chapitre précédent, il faudra faire tourner

l'un des côtés du contour d'un angle n — pour l'appliquer sur le

suivant; n sera pair si les deux éléments consécutifs sont de même espèce, c'est-à-dire si les portions du contour qui se réunissent au sommet sont toutes deux des droites, ou toutes deux des lignes de courbure planes; il sera impair dans le cas contraire. On aura donc

<i = (t — akjlP(t-ak).

Ces deux valeurs de u et de <j permettent de déterminer deux intégrales particulières G(t) et H(£). On déduit, en effet, des formules (2) et (5) les valeurs suivantes :

, rN „ /i u cfa „ /i d<7

2 y/dûcît V

2 ydudt

de G et de H. En y portant les développements en série obtenus pour 1 et pour u. on trouve les expressions

n — 2 | ai G = (t-af,) 4 2 P (t-ak),

qui mettent en évidence la forme régulière de G et de H. Il sera plus commode d'écrire par la suite

H = (* — a*)* 2 Pi(t — ak).

Le nouveau nombre entier m, se déterminera, d'ailleurs, comme l'ancien. Il sera pair si les deux côtés consécutifs du contour sont de même nature : nous dirons alors que le sommet considéré est de première espèce. Il sera impair si les deux côtés consécutifs sont de nature différente : nous dirons alors que le sommet est de seconde espèce.

Des expressions de G et de H, on déduit par les formules (17)

celles de p et de q. On a ainsi

t — aie

l6 4 hk r. , s

A, B, A#; A(, Bt} .. . étant des coefficients qui pourront être nuls, mais sont évidemment réels.

30o. Les formules précédentes dépendent de nombres entiers qu'il ne sera pas toujours facile de fixer a priori. Nous donnerons plus loin des relations auxquelles ils doivent satisfaire; mais il ne sera pas inutile de montrer comment on peut les déterminer immédiatement lorsqu'on a une idée nette et une vue générale de la surface cherchée.

D'abord a* sera déterminé sans ambiguïté si l'on aperçoit nettement la représentation sphérique de la surface.

En ce qui concerne n^, remarquons d'abord que, si le sommet considéré est à distance finie, il faudra que les intégrales

fG*(t)dt, fu*(t)dt, fo(t)\l(t)dt

demeurent finies pour t = au- Cela donne la relation d'inégalité

nie

qui devra toujours être vérifiée.

D'autre part, si l'on néglige les termes de degré supérieur, l'équation de la surface dans le voisinage du point ak est de la forme

i— — a -4-1 x = frAi(t-ak)* " ,

7 = <RA (t-al(y-

A étant une constante quelconque réelle ou imaginaire. Par conséquent, lorsque la variable t décrira, dans la partie supérieure du plan, un demi-cercle infiniment petit autour du point a*, le

point correspondant de la surface décrira un petit arc de cercle

égal à

/ nie

a A -H i ) = «/cit.

Cet angle est donc celui dont tourne le rayon vecteur qui joint le point de la surface au sommet infiniment voisin quand on passe d'un côté du contour au suivant. 11 est évidemment connu si l'on a une idée générale de la forme de la surface; sa valeur suffira à déterminer nk.

306. Les formes de G, H, />, q étant déterminées dans le voisinage de tous les points du plan, il est aisé maintenant d'obtenir les expressions générales de p et de q. Désignons par la lettre b les valeurs de t qui correspondent aux points à apparence singulière réels et par n': h' les valeurs correspondantes de l'exposant et du coefficient h qui figurent dans les formules (19). Désignons de même par les lettres c, c( les valeurs de t imaginaires conjuguées correspondantes aux différents points à apparence singulière qui sont deux à deux imaginaires conjugués, et soient de même n", h", Ii\ les valeurs de l'entier n et de la constante h relatives à ces points. D'après les résultats établis plus haut et les formules (19) et (27), les deux fonctions

-1ih-1

demeureront finies et continues pour toutes les valeurs finies de t', elles deviennent d'ailleurs nulles, d'après les formules (22), pour ; = oo. Ces deux fonctions seront donc nulles pour toutes les valeurs de £, et l'on pourra poser

jLut — ai- — -

4 (t — aicY

t Ci

11 faudra de plus, pour que les fonctions p et q admettent la forme (22) dans le domaine de l'infini, que les constantes satisfassent aux équations

Va,+2a'+2(â"+/!") = °1

2 iïï — ^ + a,c h * +2 bh' + 2 ^ c/î" ■+■ ^ ** ) — a»

Telles sont les relations qui déterminent, autant que possible, l'équation linéaire; il faudra leur ajouter encore, pour chacun des points à apparence singulière, l'équation de condition, d'une formation facile, par laquelle on exprime que l'intégrale générale ne contient pas de logarithmes, dans le voisinage de ce. point.

307. L'équation différentielle une fois formée, le problème est loin d'être résolu. Il y a encore à examiner deux questions très essentielles. Reprenons ces segments (M"), (M"), ..., (M°) qui sont les symétriques de (M) par rapport aux divers éléments de la chaîne; et soient, par exemple, G(£|), H(^) les valeurs -des intégrales qui correspondent au premier segment. Pour passer de ces valeurs à celles qui correspondent au second segment, il faut suivre un lacet qui, partant du point £,, pénétrera dans la partie supérieure du pian en passant entre at et a2, puis reviendra au point de départ en passant entre a2 et az. On reviendra alors au point t\ et les nouvelles valeurs de G et de H seront des fonctions linéaires des anciennes. Or, ces nouvelles valeurs, nous l'avons déjà remarqué, sont connues a priori. On les obtiendrait en effectuant sur les intégrales primitives la substitution, au déterminant -h 1 ou — 1 suivant les cas, par laquelle on peut passer directement du segment (M") au segment (M").

Comme ce raisonnement peut s'appliquer à tous les lacets décrits autour des différents points critiques, nous sommes conduits à la conclusion suivante :

Il ne suffira pas de savoir former V équation différentielle ; il faudra encore exprimer que deux intégrales convenablement choisies subissent des modifications parfaitement déterminées lorsqu'on suit un chemin quelconque ramenant au point de départ.

Ce problème est posé depuis la publication des recherches récentes sur les équations linéaires, et il n'a encore reçu de solution que pour certains cas particuliers.

Quoi qu'il en soit, supposons résolue cette première difficulté. Une énumération de constantes, que l'on trouvera dans le Mémoire de Riemann et que nous omettrons ici, montre facilement que l'on pourra disposer de celles de ces constantes qui demeurent arbitraires pour identifier le contour obtenu avec celui qui est donné a priori, c'est-à-dire que l'on aura autant d'équations que d'inconnues. Mais le problème qui consisterait à résoudre ces équations, ou à démontrer au moins qu'elles sont possibles, n'a pas été traité d'une manière générale, et n'a été examiné par Riemann que dans un cas particulier, qui sera étudié plus loin au n° 318. Tous les exemples complètement achevés donnés dans le Chapitre précédent appartiennent, comme nous l'avons remarquera la classe de ceux pour lesquels la forme du contour est entièrement définie par la direction des éléments.

308. On peut éclaircir encore les remarques précédentes en supposant donnée a priori l'équation linéaire (16), dans laquelle p et q auront les valeurs déterminées par les formules (29), et en étudiant la famille de surfaces minima (n° 296) définie par cette équation. Pour chacune des surfaces de cette famille, il existe un segment (M) correspondant aux valeurs de t dont la partie réelle est positive, segment parfaitement continu et limité par un contour dont la représentation sphérique (S) est formée par des arcs de grand cercle ou de petit cercle, se coupant consécutivement sous des angles déterminés. Cette dernière propriété a été déjà donnée au n° 276 pour une équation linéaire plus générale et résulte uniquement de ce que l'équation admet deux solutions particulières réelles dans chacun des intervalles réels déterminés par les points singuliers. Considérons maintenant la représentation plane (S)

définie par la formule

r^ dt

da — \ fp dt

ru 1

C|J(*-«*)* *J|('-&)2 ■ \\(t-c)(t-Cl)^

Les portions du contour qui devraient être des droites ont ici pour représentation des droites (S), toutes parallèles ou perpendiculaires les unes aux autres; il en est de même pour les portions du contour de (M) qui devraient être des lignes de courbure planes; elles ont pour représentation plane des droites (8') qui font avec les précédentes (8) des angles égaux à un multiple impair de-* Si donc on a choisi arbitrairement deux solutions particulières, G et H, de l'équation linéaire, on pourra toujours, en les multipliant par une même constante, ce qui ne change pas leur rapport et ne modifie pas, par conséquent, la représentation sphérique de la surface minima correspondante, donner à la constante C qui figure dans la formule (3i) un argument tel que les droites (8') deviennent, toutes, parallèles aux axes coordonnés, tandis que les droites (8) seront parallèles aux bissectrices des mêmes axes. Alors, toutes les portions du contour qui devaient être des droites seront au moins des lignes asymptotiques ; toutes celles qui devaient être des lignes de courbure situées dans des plans coupant normalement la surface seront au moins des lignes de courbure.

Comme les lignes asymptotiques qui figurent dans le contour ont pour représentation sphérique des arcs de cercle, elles seront, on le reconnaît aisément, des hélices tracées sur un cylindre quelconque si l'arc de cercle appartient à un petit cercle, et des droites si l'arc appartient à un grand cercle ('). De même, les lignes de

(*) D'après une proposition énoncée au n° 142, les tangentesd'une ligne asymptotique sont perpendiculaires aux tangentes correspondantes de la représentation sphérique de cetle ligne. 11 suit de là que, si une ligne asymptotique admet pour image sphérique un petit cercle de la sphère, ses tangentes seront parallèles aux génératrices rectilignes du cône circonscrit à la sphère suivant ce cercle, et feront, par conséquent, un angle constant avec le diamètre perpendiculaire au plan du cercle. La ligne asymptotique sera donc une hélice tracée sur un cylindre, d'ailleurs quelconque. Réciproquement, si la ligne asymptotique est une hélice, sa représentation sphérique, on le reconnaît aisément, sera un petit cercle de la sphère.

courbure qui figurent dans le contour seront des lignes planes situées dans des plans coupant obliquement la surface si elles ont pour représentation sphérique un arc de petit cercle, et des lignes situées dans un plan normal à la surface si Tare qui leur sert de représentation appartient à un grand cercle. Ainsi :

Parmi les surfaces de la famille définie par l'équation linéaire, il en existe une infinité {qui dépendent de quatre paramètres réels) pour lesquelles le segment (M) est limité par des lignes asymptotiques liélicoïdales et des lignes de courbure planes se succédant suivant le même ordre que les droites et les plans qui composent le contour donné a priori.

La première question proposée dans le numéro précédent s'interprète donc géométriquement de la manière suivante :

Peut-on choisir deux solutions particulières G et H de l'équation linéaire de telle manière que la représentation sphérique de contour (M) de la surface correspondante soit composée exclusivement d'arcs de grand cercle?

Considérons une surface quelconque de la famille, correspondante à deux intégrales particulières déterminées G' et H', et pour laquelle la représentation sphérique du contour sera un polygone (P') composé d'arcs de petit cercle, polygone (P') que l'on saura construire si l'on a intégré l'équation linéaire. Si l'on pose

on aura évidemment

m, n, p, q étant des constantes arbitraires et inconnues. La question proposée revient évidemment à la suivante : Peut-on, par l'emploi d'une transformation de la forme précédente, substituer au polygone (P') un autre polygone (P), exclusivement composé

d'arcs de grands cercles?

Or, la formule (3a) définit ce que nous avons appelé, au n° 124-, une transformation circulaire, c'est-à-dire une transformation qui résulte d'un nombre pair d'inversions et dans laquelle, à un cercle, correspond un cercle. Pour qu'une telle transformation