X -+- i Y = e~a (x+iy), X — i Y = ea ( x — iy), L = z

Cela revient à remplacer dans les formules (3), écrites plus haut, G par — >

a H par Ha, a désignant une constante réelle.

Pour obtenir, en effet, par rapport à un plan donné (P), la symétrique (F,) d'une figure (F) qu'on a déplacée d'abord d'une manière quelconque, on peut évidemment prendre la symétrique (F') de (F) par rapport à un plan particulier et soumettre ensuite (F') à un déplacement convenablement choisi. Or, si l'on effectue ici la transformation

la coordonnée z de la surface change seule de signe, et cette surface est remplacée par sa symétrique relativement au plan des xy. Si l'on applique ensuite à G2 et à H2 les transformations qui caractérisent un déplacement réel, on obtient effectivement la substitution, de déterminant — i, définie par les courbes (i5).

Nous aurons à employer dans la suite les formes canoniques des substitutions linéaires (11) et (i5)-, on les obtient sans difficulté de la manière suivante :

Nous avons déjà remarqué que, si l'on considère la rotation définie par la substitution linéaire

et si l'on prend pour axe des z l'axe de cette rotation, on doit faire

n = nn = o ,

a désignant l'axe de la rotation. Si l'on introduit ces hypothèses dans les formules (i i) et (i5), on trouvera

\ G{t) = ze ■1G1(t),

H(*) = ee 2 H,(0, pour la forme canonique de la substitution (i i), et

f H(^=-se'2 H,(0,

pour la forme canonique de la substitution (i5). Dans ces deux systèmes de formules, s désigne l'unité positive ou négative. Les

dernières mettent en évidence le théorème suivant, auquel on parvient aussi par la Géométrie : Tout déplacement suivi d'une transformation par symétrie relative à un plan quelconque équivaut à une rotation d'angle fini autour d'une droite, suivie d'une transformation par symétrie relative à un plan perpendiculaire à la droite.

298. Nous allons appliquer les remarques précédentes à la résolution du problème étudié dans le Chapitre précédent, c'està-dire à la détermination du segment de surface minima (M) limité par la chaîne de plans et de droites qui a déjà été définie; mais nous présenterons d'abord la remarque suivante, qui simplifiera la solution :

Imaginons le segment de surface (N), adjoint à (M), et cherchons comment il sera limité. D'après les propriétés données au Chapitre V (n° 211), les plans tangents aux points correspondants des deux segments seront parallèles, et deux éléments correspondants seront toujours perpendiculaires. Il suit de là qu'à une droite (d) limitant (M) correspondra nécessairement sur (N) une courbe (C) dontles tangentes seront perpendiculaires à la droite. La courbe (C) sera donc située dans un plan (P) perpendiculaire à la droite; et le plan tangent à (N) en chaque point de cette courbe sera nécessairement parallèle à la droite (d), c'est-à-dire perpendiculaire au plan (P). Ainsi, à chaque droite (d), limite de (M), correspond une courbe plane (C), limite de (N); et cette courbe est située dans un plan que la surface doit couper normalement.

On démontrera tout aussi facilement qu'à chaque courbe plane, limite de (M), correspond une droite, limite de (N); et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Le segment adjoint (N) est limité par une chaîne toute pareille à celle qui limite (M); deux éléments correspondants des deux chaînes sont toujours d'espèce dijférente et sont perpendiculaires V un à V autre.

Cela posé, considérons la représentation conforme du segment (M) sur la partie supérieure du plan; et prenons maintenant pour t la variable complexe qui réalise cette transformation, c'est-à-dire l'affixe du point de la partie supérieure du plan qui correspond

au point de la surface; G(t) et H(l) seront alors des fonctions qu'il faudra déterminer, au moins pour tontes les valeurs de t dont la partie imaginaire est positive. Nous avons vu que, si l'on passe au segment adjoint (N), il faut les multiplier l'une et l'autre par \fi.

Formons l'équation du second ordre

(-6) HW^Pdt^^^0'

à laquelle satisfont G et H. Les coefficients/? et q sont des fonctions de t déterminées par les formules

GHff — H G" GfH"— H'G"

(I7) P-— GH'— HG'' q ~ GH' — HG'

D'après les remarques précédentes, ces fonctions nouvelles ne changent pas lorsqu'on déplace la surface (M), ou lorsqu'on la remplace par son adjointe. Ces propriétés sont très importantes au point de vue de la question que nous avons à résoudre; elles permettent de substituer, avec de grands avantages, l'étude des fonctions p et q à celle de G et de H; on pourra, en effet, dans l'étude de p et de q, orienter le contour donné de la manière qui sera le plus commode, ou encore substituer au segment (M) le segment adjoint (N).

299. Prenons d'abord un point à l'intérieur de (M), correspondant à une valeur imaginaire a de t. On peut choisir ce point pour origine et prendre pour axe des z la normale en ce point; les coordonnées a?, y, z d'un point voisin de la surface seront développables suivant les puissances de t — a et de la quantité conjuguée tK — a{ ; et les premières puissances de ces deux binômes devront apparaître dans l'un au moins de ces développements. Par suite, les trois intégrales

f G*(t)dt, / G(t)H(t)dt, I lV-(t)dt

seront développables suivant les puissances entières de t — «, et l'un des deux développements au moins devra contenir la première puissance de t — a. Gomme la variable u doit être nulle ou infinie

J56 LIVBE III. — CIIA.P. XIII.

à l'origine, d'après la direction attribuée à l'axe des z, il résulte de l'expression (2) de u que l'une des fonctions G(t),H(t) sera infiniment petite par rapport à l'autre. Soit, pour fixer les idées, H(0 celle dont le degré est le moins élevé. La dernière des trois intégrales précédentes sera celle qui aura le moindre degré et qui contiendra, par conséquent, la première puissance de t — a. On pourra donc écrire

llz(t)dt = (t — a)P(t — a),

ou, en différenciant,

(18) ll(f) = P(l — a),

V(t — a) ayant la signification que nous lui avons toujours donnée, c'est-à-dire représentant une série ordonnée suivant les puissances positives de t — a et ne s'annulant pas pour t = a. Quant ù G(f), il sera déterminé par la formule

G(t)U(t)dt = (t— a)n P(t-a);

d'où Ion déduira, par la difïérentiation et la substitution de la valeur de H,

(i8a-) G(t) = (t — a)»-iP(t—a),

n étant un nombre entier au moins égal à 2.

D'après ces développements, on voit que le point t = a est nécessairement un point ordinaire de l'équation linéaire toutes les fois que n est égal à 1. Si n est égal ou supérieur à 3, ce sera au contraire un point à apparence singulière. Le point correspondant du segment (M) sera alors un de ceux auxquels nous avons donné (n°291) le nom de points de ramification. En réunissant les deux cas, nous pouvons énoncer cette première proposition :

V équation linéaire n'aura que des points ordinaires ou des points à apparence singulière pour toutes les valeurs de t qui sont représentées par des points de la partie supérieure du plan.

LES FORMULES DE WEIERSTUASS. 55j

Si, des expressions de G et de H, on déduit celles de p et de q,

on trouvera

les coefficients &; A, B, ... pouvant être nuls. On aura de même, en substituant les valeurs de G et de H dans les équations

(a) et (5),

300. Examinons maintenant les points situés sur le contour de (M) et supposons d'abord que'la portion du contour considérée soit une droite (d). Choisissons les axes de telle manière que (d) soit parallèle à l'axe des j'. Si l'on se déplace sur la droite, t prendra des valeurs réelles comprises entre les deux valeurs «#, «*+i qui correspondent aux deux sommets du contour situés sur (d), et les différentielles dx, dz devront être nulles. On sera ainsi conduit aux deux équations

<Ri(G« — H»)=o, <Rt'GH=o,

ou, en désignant par G, et H, les imaginaires conjuguées de G et de H,