LIVRE III. — CHAP. XIII. — LES FORMULES DE WEIERSTRASS

fasse correspondre au polygone (P') un polygone (P) exclusivement composé d'arcs de grand cercle, il faut et il suffit, comme on sait, que tous les petits cercles qui forment les côtés de (P') soient orthogonaux à un même cercle, qui sera nécessairement imaginaire. On aura ainsi autant de conditions à écrire qu'il y aura de côtés moins 3. Ces conditions seront nécessairement transcendantes ; mais, d'après les résultats généraux relatifs au principe de Dirichlet, elles peuvent toujours être résolues et permettront de déterminer un nombre égal de constantes.

Cette première difficulté une fois levée, on obtiendra effectivement des surfaces minima limitées par des contours dont les éléments seront parallèles aux éléments correspondants du contour donné a priori; et il faudra disposer des constantes restées arbitraires pour rendre l'un de ces contours superposable au contour donné. Cette dernière question est celle dont l'étude générale n'a pas encore été entreprise.

On remarquera les caractères distinctifs de la méthode employée dans ce Chapitre. Les propriétés relatives aux deux représentations conformes de la surface n'y interviennent que d'une manière accessoire, et auraient même pu être complètement suppiùmées.