CHAPITRE XIV

Méthode inverse dans laquelle on prend comme point de départ cerlaines équations différentielles linéaires dont on connaît l'intégrale générale. — Surfaces que l'on peut déduire de l'équation à laquelle satisfait la série hypergéomé-

trique de Gauss. — Surfaces déduites de la forme A I I (t — a)"- adoptée pour

G(t) et H(t).— Surface minima limitée par une ligne brisée plane et une droite parallèle au plan de la ligne brisée. — Problème de Gergonne. — Surface

déduites de la forme A I |0r/-(£ — a) 1 iH?(£ — b) adoptée pour Q(t) et 3£(t),

0 et H désignant les fonctions de Jacobi. — Surface minima limitée par deux polygones fermés situés dans des plans parallèles. — Remarque générale sur les moyens de multiplier le nombre des solutions du problème. — Surface passant par trois droites situées d'une manière quelconque dans l'espace.

309. Le problème proposé ne pouvant être complètement résolu cpie dans le cas où l'équalion linéaire formée au n° 306 est intégrable, ou du moins, appartient à la classe de celles pour lesquelles on peut suivre la variation de deux intégrales dans toute l'étendue du plan, on est naturellement conduit à une marche inverse de celle qui a été suivie dans les deux Chapitres précédents. Il semble préférable d'étudier directement les équations du second ordre, en très petit nombre, auxquelles on a reconnu la propriété que nous venons de rappeler, c'est-à-dire dont on sait déterminer le groupe, et de chercher ensuite quels sont les contours pour lesquels elles peuvent donner la solution du problème proposé.

Au premier rang de ces équations, il faut placer celle à laquelle satisfait la série hypergéométrique

(i) *(i — o ^ +[T-(« + p+i)^] ~ - ape = o.

Nous avons vu (n° 277) crue si a, 3, y sont réels, le rapport de

5j4 LIVRE III. — CHAP. XIV.

deux solutions particulières donne la représentation sur la moitié supérieure du plan d'une aire plane ou sphérique, plus ou moins complexe, limitée par trois arcs de cercle. Dans le cas où les trois cercles limites sont orthogonaux à un cercle imaginaire, on peut, en choisissant convenablement deux solutions, obtenir la représentation plane d'une aire sphérique limitée par trois arcs de grand cercle. Ce cas est caractérisé (n° 277) par l'inégalité

. . rd — a)rci-p)r(« + i — Y)r(p-n-Y)

1 ' r(Y-«)r(Y-P)r(a)TCp) ^°'

à laquelle on peut donner la forme plus simple

(3) sinair sin (3ti sin(y — a)-7i sin(y — (3)ir < o.

Toutefois, l'équation à laquelle satisfait la série hypergéométrique ne peut pas être employée sans préparation. Nous savons que, pour l'équation linéaire dont dépend la solution du problème et qui a été formée au n° 306, la somme des exposants des deux intégrales régulières relatives à chaque point critique doit être un nombre entier, si le sommet correspondant est de première espèce, et la moitié d'un nombre impair dans le cas contraire. Or, les exposants relatifs aux divers points singuliers de l'équation (i) sont

Pour le point o o, i— y;

Pour le point i o, *( — a — fi ;

Pour le point -jz a, (3,

et ne satisfont pas, par conséquent, à la condition que nous venons de rappeler.

Mais il suffira de substituer à la fonction 9, qui satisfait à l'équation (i), la fonction plus générale

qui est déterminée également par une équation du second ordre ; et l'on reconnaîtra aisément qu'il est possible de déterminer jj. elv de manière à satisfaire, pour les trois points, à la condition

APPLICATIONS DIVERSES. 5y5

indiquée. Car les trois équations auxquelles on est ainsi conduit,

(5) iv — I+T— a — p

F a-+-[3 fi. — V + 2:

sont toujours compatibles, pourvu que les nombres entiers n, n'

eln" vérifient la relalion

n + ft'+n'= o,

qui détermine n" lorsque n et n' sont connus.

Nous venons de multiplier 9 par des puissances de t et de i — t.

On sait que, si ces puissances sont convenablement choisies, on

peut trouver trois fonctions qui satisfont à une équation de même

forme que l'équation (i), mais où a, [3, r ont d'autres valeurs.

L'une quelconque des quatre équations ainsi obtenues pourrait

être choisie et conduirait toujours aux mêmes valeurs de 0. Pour

ces qualre équations, les quantités i — y, y — a — (3, a — [3 ont

les mêmes valeurs absolues et ne diffèrent que par le signe; nous

supposerons que l'on ait choisi celle pour laquelle les inégalités

suivantes :

sont vérifiées.

310. Conformément aux résultats du n° 277, on obtiendra l'équation de la surface minima, en prenant pour G et H les valeurs suivantes :

j G= Gf~i~H"1 T(1-0~F(« + i-Y. P. + i-T, a-Y.Oi

C étant la constante dont la valeur est donnée par la formule (y) du n° 281,

r*\ r=ra-ï). / r(a)r(Y-q)r(ft)r(Y-P)

et K. désignant une constante arbitraire.

Comme on a, d'après une formule connue,

(9) GH'-HG'=! IL^t* -(1-O2

on déduira de là

^—^ v/— 2 j K2 / ^~ (i — t)t~dt.

On voit que, si la portion du contour relative aux valeurs de £ comprises entre o et 1 est une droile, il faudra prendre pour K2 une valeur réelle; sinon, K2 devra être purement imaginaire.

La surface que nous venons de déterminer pourra avoir des formes très variées dans le voisinage des sommets du contour. Cherchons d'abord à quelles conditions l'un quelconque de ces sommets sera à distance finie.

Pour le sommet (o), le plus petit des exposants est ; pour

que l'intégrale / H2(^) dt qui lui correspond soit finie, il faut et il

suffit que l'on ait

fX > o.

On trouvera de même pour le sommet (1) la condition

et pour le sommet (ce) la condition

P > o, après avoir posé

ce qui ramène les équations entre jx, v, a, j3, y aux formes

Nous allons d'abord examiner si ies trois sommets peuvent être à distance finie.

Les premiers membres des équations précédentes étant néces-

sairement positifs ainsi que u., v, p, on aura, dans le cas qui nous occupe, les inégalités

qui n'admettent que les trois solutions suivantes :

Dans les trois solutions, le contour a un seul sommet de première espèce. On peut supposer qu'il corresponde à la valeur oo de /, et l'on voit ainsi que les deux derniers cas se ramènent au premier.

Les surfaces obtenues sont celles qui ont été étudiées au n° 281 et leurs surfaces adjointes, qui sont limitées par une droite et par deux plans.

Si l'on veut que la surface ait un secteur infini, il y aura une infinité de solutions. Il suffira, par exemple, de prendre pour les entiers n et n' des valeurs positives dont la somme soit supérieure à 3. Mais on peut, avec Riemann, ne considérer que les secteurs infinis ayant une forme particulière,, et semblables à un bélicoïde ou à la portion delà caténoïde comprise entre deux plans méridiens. Alors, il faudra que, comme cela a lieu dans l'hélicoïde à plan directeur, la somme des exposants des deux intégrales régulières relatives au point considéré soit égale à — i ou à i, suivant que la valeur correspondante de t sera finie ou infinie. Si nous supposons que le secteur infini correspond à la valeur oo de t, nous trouverons, en exprimant la condition précédente,

ce qui donne

Prenons

nous aurons, d'après les formules (i i),

Si les deux autres sommets du contour doivent être à distance finie, on aura nécessairement

On déduit de là et des équations précédentes

et, par suite,

Si l'on prend h = — 1 , on obtient le système suivant :

si l'on fait h == o, on trouve

11 est inutile de considérer le cas où h — 1 , qui se ramène au premier par l'échange de t et de 1 — t.

Pour le premier cas, correspondant aux formules (i3), les deux sommets à distance finie sont de seconde espèce. La chaîne se compose, soit d'un plan et de deux droites qui coupent le plan et ne se coupent pas, soit d'une droite et de deux plans qui coupent la droite.

Dans le second cas, qui correspond aux formules (i4) et a été considéré par Riemann (n° 282), le contour est formé de trois droites dont l'une coupe les deux autres.

Dans l'un et l'autre cas, il y a une infinité de surfaces passant par un contour donné.

En donnant d'autres valeurs aux nombres entiers qui entrent dans les formules (11), on trouverait d'autres cas dans lesquels le segment déterminé aura deux ou trois secteurs infinis. Mais deux seulement de ses secteurs pourront être hélicoïdaux; car, si les trois l'étaient, la somme des exposants des six intégrales régulières

relatives aux trois points critiques devrait être égale à — i, tandis que sa valeur est i dans tous les cas. Nous retrouverons plus loin, et par d'autres méthodes, la surface passant par trois droites et pour laquelle les trois segments sont hélicoïdaux.

311. Nous allons maintenant nous donner a priori des valeurs de G(t) et H (*) qui permettront de résoudre le problème proposé dans un cas très étendu.

Prenons

i G(0 = AlT(*-a)«l (i5)

( H(0 = BjJ(«-a)P,

les a, a, [i désignant des constantes réelles, A, B des constantes quelconques, Nous supposerons que les exposants soient liés par les relations

par lesquelles on exprime simplement que la valeur co attribuée à t n'est une valeur critique pour aucune des deux fonctions.

Les seuls points singuliers des intégrales G et H correspondent alors aux valeurs de t telles que a; et pour que, dans le voisinage de ces points singuliers, G et H soient de la forme (26) (n° 304), il faudra que l'on ait

l'entier n étant pair si le sommet correspondant du contour est de première espèce, et impair dans le cas contraire. Les relations (16) nous donnent alors

(18) Zrc=-4;

examinons maintenant quel est le contour de la surface obtenue. Le calcul de cr nous donne

D'autre part, la valeur de z est déterminée, en chaque point du

contour, par l'équation

(•20) -£ = <JJl2i'AB JJ(f-a)2.

Supposons que les constantes A, B aient été choisies de telle manière que le produit A2B2 soit réel. Il est évident que le produit

ABTJu— af

est, ou réel, ou purement imaginaire, dans chacun des intervalles réels séparés par les valeurs singulières. Soit (a^a^t ) un des intervalles pour lesquels ce produit est réel; alors, (-r.) étant purement imaginaire, la portion correspondante du contour sera une ligne asy mpto tique ; d'autre part, —r étant nulle d'après la

formule (20), cette ligne asymptotique sera dans un plan parallèle au plan des xy : ces deux conditions ne peuvent être remplies que par une droite parallèle au plan des xy. Si, au contraire, nous

considérons un des intervalles pour lesquels AB I \{t — a)2 est purement imaginaire, il suffira de passer à la surface adjointe et de répéter le raisonnement précédent ; la portion du contour de la surface adjointe relative à l'intervalle considéré sera une droile parallèle au plan des xy. Donc (n°298) la portion correspondante du contour de la surface proposée sera formée par une courbe plane située dans un plan parallèle à l'axe des z et que la surface coupera normalement.

On obtient donc une solution du problème proposé pour le cas où le contour est formé par des droites, en nombre quelconque, parallèles à un plan Jixe (P) et par des plans, également en nombre quelconque, perpendiculaires au même plan (P). Il serait aisé, d'ailleurs, de démontrer que cette solution est la plus générale, au moins si l'on suppose qu'à l'intérieur, ou sur le contour et en dehors des sommets du segment cherché, ne se trouve aucun point où le plan tangent soit parallèle au plan (P)(').

(l ) Pour établit* a priori la forme admise dans le texte, supposons que le plan ( P ) soit horizontal et ait été pris pour plan des xy. Alors, sur chaque partie du