Nous indiquerons les deux applications suivantes
Prenons d'abord tous les entiers n égaux à zéro, sauf deux
auxquels nous attribuerons la valeur — 2, pour satisfaire à la
relation (18); et supposons que les valeurs a de t correspondantes
à ces deux derniers exposants soient o et 00 . Les valeurs de G et
contour, la normale demeurera parallèle à un plan vertical fixe et, par conséquent, l'argument de u sera constant. Donc la fonction
dlogu dt
sera réelle pour toutes les valeurs réelles de t. Cette fonction a des pôles qui correspondent aux divers sommets du contour; d'autre part, si le plan tangent ne devieut horizontal en aucun point situé à l'intérieur du segment ou sur un côté du contour, elle ne devient infinie pour aucune valeur réelle ou imaginaire de t différente de celles qui correspondent aux sommets de ce contour. On a donc
d log a
dt JLàt
et l'on déduit de là, en intégrant,
u = A'TT(£ — a)a'.
De même, la fonction -r- étant nulle sur toutes les droites du contour, le prodt
duit GH demeurera réel quand on se déplacera sur chacune de ses droites. La
considération de la surface adjointe montre que GH sera, au contraire, purement
imaginaire sur chacune des lignes de courbure planes du contour. On déduit de
.,. 1 r cflogGH 11.
la, en considérant encore la fonction — — -. > que GH sera de la forme
dt
GH = B'TT(f — a)'.
Les deux formules précédentes donnent bien les valeurs de G et de H admises dans le texte.
Si l'on veut faire intervenir des points où le plan tangent soit horizontal et qui soient situés, soit à l'intérieur, soit sur le contour du segment, il suffira d'adjoindre à une des deux intégrales G, H des facteurs tels que
où b sera réel, et
où c et Cj seront des quantités imaginaires conjuguées.
de H prendront alors la forme suivante :
G(0 = A**.JJ(*— a)«,
Si le produit AB est réel et si les exposants a sont tons inférieurs en valeur absolue à - , tous les sommets correspondants aux valeurs
finies de t seront à distance finie, tandis qu'il y aura deux secteurs infinis correspondants aux valeurs o, oo de t. IS ou s déterminerons ainsi le segment (M) de surface mini ma compris entre une ligne brisée plane composée d'un nombre quelconque de côtés et une droite qui est parallèle au plan de la ligne brisée. On trouve
z = g\ jfa i AB J = Si a iAB log t. Comme on a
log£ = logp + içp,
p désignant le module et © l'argument de t qui demeure compris
entre o et tt, on voit que s varie entre o et — 2ABtt. On devra
donc prendre
2 ABtt = — S,
o étant la distance de la droite au plan de la ligne brisée. Les constantes qui demeurent arbitraires se détermineront par la condition que les côtés de la ligne brisée aient des longueurs données.
Cet exemple comprend comme cas particulier un de ceux qui ont été traités par Riemann ; il suffit de supposer que la ligne brisée se réduit aux deux côtés d'un angle pour retrouver le second des problèmes signalés au n° 264.
313. On peut traiter de la même manière le problème de Gergonne (n° 266) et déterminer complètement la surface minima qui, passant par deux diagonales opposées d'un parallélépipède droit, coupe à angle droit deux faces latérales opposées de ce parallépipède. Pour plus de simplicité, nous supposerons le parallélépipède rectangle {fi g. 27).
On peut toujours admettre que les sommets a, b, c, d du contour correspondent à des valeurs de t que nous désignerons par
a étant plus petit que b. Dé cette manière, les courbes planes bc et da du contour correspondront aux deux intervalles ('—ri, + a)
et (b, oo, — b).
Fig. 27.
a rf'
On doit poser ici
G = A(6-t- t)*i(a-h t)*2(a — t)**(b — 0"«, H = B (6 + *)P.(.a -+-*)?»(« — ON* — ON
avec les conditions
les entiers rc,- étant impairs, puisque tous les sommets du contour sont de seconde espèce. D'ailleurs, comme tous les sommets sont à distance finie, nous devons avoir
et, par conséquent, en ajoutant,
Jli >— 2.
Les quantités «./ doivent être supérieures à — 2; comme leur somme est — 4> on a nécessairement
et les conditions (23) se ramènent à la forme
Si l'on tient compte des inégalités (24), on voit que a; et (3; doivent être compris entre o et Par suite, la différence a, — jasera inférieure à - en valeur absolue.
Or, (a,- — J3/)tc mesure, au signe près, l'un des angles formés par les deux grands cercles qui servent de représentation sphérique aux deux portions du contour se coupant au sommet (i)', si l'on désigne par an l'angle de la diagonale ab avec le côté ad' du parallélépipède, ces deux cercles font entre eux les angles
0C7T, (1 — a)iz.
Comme (a; — Pi)7C est inférieur à -■> il faudra prendre
( «/ — p,- ) it = ± an ;
cette équation, jointe à la formule (25), donne les deux systèmes de valeurs
Pi = r-
pour a; et p,. On pourrait faire différentes combinaisons de ces deux systèmes; mais, pour obtenir celle qui correspond à la figure 27, nous remarquerons que l'on a ici
u=— - =—-(b + oa'-R«-+- 0"»~N« — * )**-&*( b— oa«-P<-
ri Jd
Or, si l'on se reporte à la figure, on voit qu'en prenant un sens déterminé pour la normale, on a
en a et en d,
en 6 et en c;
il faul donc prendre
«l>gl, «2<p2, *3<p3, «4>P4,
ce qui détermine complètement les exposants et donne
la la
1 a la
Si l'on suppose que le plan des 3?3 ait été pris parallèle à la
face 6 «' c d' duparallélépipède, u doit être réelle dans l'intervalle
( — a, +«); il faudra donc que ■=' soit réel. On peut d'ailleurs
déterminer ce rapport par différents moyens.
Par exemple, on pourra exprimer que l'accroissement de x est le même en valeur absolue quand on passe du sommet b au sommet c, ou du sommet d au sommet a. En se reportant aux équations (3) (n°294) qui définissent la surface, on est ainsi conduit à l'équation
2 Ç (&—W)dt = if (G2 — H2
dt.
Effectuons dans le second membre la substitution
ab
nie donnera
et l'équation prendra la forme r (G2 — H*)dt= f
H21 dt,
ou encore
tffa.
Tous les éléments de l'intégrale étant positifs, il faudra qu'on ait
ô^â — 62a" On prendra donc, pour satisfaire à cette équation,
al al
A = \/iM a- * b - '*> a 1 a 1
et les valeurs définitives de G (£), H ( i) seront
M sera une constante réelle : on le reconnaît immédiatement eh exprimant que -^- est nulle pour chaque point de la droite çib.
Le rapport j se déterminera par la condition que le parallélépipède à l'intérieur duquel se trouve le segment déterminé (M) soit semblable au parallélépipède donné. Dans le cas où la base est
carrée, il faudra faire a = - (*).
314. Nous venons de montrer, par l'étude de deux problèmes particuliers, le parti que l'on peut tirer de la forme générale des valeurs de G (t) et H (?), donnée au n°311. En continuant l'application de la méthode synthétique qui a réussi dans les exemples
(') Si l'on cherche la •valeur de la fonction S' (m) de Weierstrass relative à la surface que nous venons de déterminer, on est conduit à un résultat de la
forme
Pour le cube, on a a = 7 et l'on retrouve la forme de à1 (m) donnée par M. Schwarz dans le Mémoire que nous avons cité ( n° 266).
précédents, nous allons étudier deux formes nouvelles des mêmes intégrales, qui dépendent des fonctions elliptiques et nous donneront une solution élégante de l'un des problèmes étudiés par Riemann.
Ç (0 et 5(0 désignant les valeurs nouvelles des fonctions G et H, prenons
cJ(n = A JJn*(t - a ) JJe-P(* - b), (3o)
i)(0 = BJJHaï *- «)JJe-P' (t— b).
Dans ces formules, A et B désignent deux constantes quelconques ; a, b, a, jii, a', ft'. sont des constantes réelles, et le nombre des constantes a n'est pas nécessairement égal à celui des constantes b: enfin les symboles H et 0 désignent les transcendantes de Jacobi, le module k étant supposé réel et plus petit que l'unité. En répétant les raisonnements indiqués dans les numéros précédents, nous reconnaissons immédiatement que, si l'on donne à t des valeurs réelles quelconques, le contour de la surface correspondant à ces valeurs réelles de t se composera de droites parallèles au plan des xy ou de courbes situées dans des plans coupant la surface à angle droit et parallèles à l'axe des z ; il suffira, pour cela, que le produit A2B2 soit réel et que les exposants satisfassent
aux relations
où n désignera toujours un nombre entier. Mais ici se présente une circonstance tout à fait exceptionnelle : si l'on change t en t -f- i'K', les formules bien connues
— '-?(2/ + iR'- 2K)
0(*-l-ïK') = H(Oe
U(t-i-iK') = Q(t)e 4li
montrent immédiatement que Ç (t) et5(0 ne changeront pas de forme pourvu que les exposants soient liés par les relations
(3i) Sa — ZP = o, Sa'— SP' = 0,
que nous supposerons vérifiées. Alors,, toutes les fonctions H se
changeront en fonctions 0, et réciproquement; on aura
(j(<+fK')=Ark Je*(* — a)^]H-P(f — b),
~(i;rta'-i;4H'lTT xt „
5(? + î'K') = Be2h I |e«'(*— a)J[J[H-P'(« — -&).
Par conséquent, si l'on a et si la somme
2fl(a+«')- Sô(^ + P')
est un multiple de tC, il y aura sur la surface un second contour tout semblable au premier, qui correspondra aux valeurs de t dont la partie réelle est quelconque, mais dont la partie imaginaire est i~KJ. Par suite, la portion de la surface qui contient tous les points pour lesquels la partie imaginaire est comprise entre o et iK.' formera une espèce de bande, limitée par deux contours distincts, de la nature de ceux que nous avons étudiés, qui seront, par conséquent, formés soit de droites, soit de plans que la surface coupera -normalement, les droites étant toutes parallèles au plan des xy et les plans tous parallèles à l'axe des s.
Pour nous borner au cas le plus simple et le plus intéressant, nous supposerons que les exposants soient liés par les relations
(33) a'-+-a = o, fi' -4- p = o.
Alors, si le produit AB est réel et si les exposants oc, (3 sont tous inférieurs en valeur absolue à |-, la bande de surface déjà définie sera limitée par deux lignes brisées situées dans deux plans parallèles au plan des xy. Les sommets de l'un des contours correspondront aux valeurs
ai, a2, ...
de t et à ces valeurs augmentées de multiples de 2K; ceux du second aux valeurs
