ili', 62h- îK

et à ces valeurs augmentées également de multiples quelconques deaK.

La valeur de z, donnée pour la dernière des formules (3) (n° 294),

APPLICATIONS DIVERSES. 58q

devient ici

(34) * = <&. fiiABdi = 2AB3{it.

Si donc on pose

(35) 2 ABK' = — o,

le segment de surface sera tout entier compris entre le plan des xy et le plan

La périodicité des fonctions 6 et H entraîne d'ailleurs certaines propriétés de la surface; si^ dans les expressions de Q et de 5, on change ieni + 2K, un calcul facile donne

j £(*-«- 2K) = e«'tSa £(*).

Ces formules définissent un déplacement parallèle à l'axe des z. Si donc on considère seulement le segment (M) de la surface qui correspond aux valeurs de t représentées par des points à l'intérieur du parallélogramme (2K, i¥J) des demi-périodes, il suffira, pour obtenir toutes les autres parties de la surface, de faire tourner le segment (M) d'angles égaux aux multiples de 2 7tSa autour d'un axe convenablement choisi, parallèle à l'axe des z. Nous allons chercher la condition pour que le segment (M) forme une surface annulaire fermée, qui sera alors nécessairement limitée par deux polygones fermés, et dont chaque point correspondra ainsi à une infinité de valeurs de t qui seront égales, à des multiples près de 2K.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que les valeurs de Ç2(t), §~(t) soient périodiques, ce qui aura toujours lieu d'après les équations (36), si l'on a l'unique relation

N désignant un nombre entier. La première des équations (3i) nous donne alors la relation

à laquelle devront satisfaire les exposants [i.

Considérons maintenant une section plane quelconque dont le plan soit parallèle au plan des xy. Elle correspond, d'après la formule (34), à une valeur de t

u -+■ ih,

dont la partie imaginaire est constante. Pour que cette courbe soit fermée, il faudra, comme le montrent les formules qui déterminent la surface, que les deux intégrales

„ ih + 2 K ,-. ih + 2 K

J ih J ih

soient nulles toutes les deux. Il suffit d'intégrer le long d'un rectangle pour reconnaître que ces deux intégrales seront nulles pour toutes les valeurs de h, si elles le sont pour h = o.

En résumé, si les trois conditions suivantes sont vérifiées,

, 2 K „ 2 li

! S\ f i( {ï2 -ff)dt = o, SX f ( Ç2 -+- S* ) dt = o,

la surface minima déterminée sera un segment annulaire (M), à connexion double, compris entre deux plans parallèles dont la distance est 8 et limité par deux polygones fermés quelconques situés dans ces plans. Ces deux polygones, qui n'ont pas nécessairement le même nombre de côtés, seront, l'un et l'autre, de l'espèce N ; c'est-à-dire qu'un point mobile ne pourra, après les avoir entièrement parcourus, revenir au point de départ qu'après avoir fait IN tours complets. On reconnaît aisément que le nombre de constantes arbitraires contenu dans la solution est précisément égal à celui des arbitraires qui sont nécessaires pour la détermination complète du contour.

Cet exemple est le dernier de ceux qui ont été traités par Riemann (n° 264). On peut l'étudier d'une manière directe en suivant la méthode indiquée plus haut, dans la Note du n° 311 (H).

(') Riemann avait seulement indiqué que le problème pouvait être résolu; et les développements si intéressants donnés sur ce sujet dans les OEuvres complètes du grand géomètre (p. 386 et suiv. de la traduction de M. Laugel) sont l'œuvre de H. Weber.

APPLICATIONS DIVERSES. 5qI

315. Nous développerons maintenant une remarque générale qui nous paraît de nature à faire mieux comprendre le caractère propre des solutions précédentes. Soit

(39) -dF^Pdi-^] = 0

l'équation linéaire dont deux solutions connues, G et H, doivent être substituées dans les formules qui déterminent la surface. Substituons à la fonction G la fonction plus générale 9l5 liée à 9 par la relation

(40) o1=v/ïï(^ + se);

R et S étant des fonctions de t qui seront réelles pour les valeurs réelles de t, et que, pour plus de simplicité, nous supposerons uniformes dans toute l'étendue du plan. Substituons au segment (M) de surface minima déterminé par les deux solutions G et H le segment (Mt) qui serait défini par les nouvelles fonctions

(40 G1=V/r(§+Sg), H^v/R^gi+SG,);

nous allons voir que ce segment (M|) et le segment (M) sont limités l'un et l'autre par des contours qui ne sont pas nécessairement superposables, mais qui sont au moins de même espèce.

Soit, pour fixer les idées, (d) une droite du contour de (M), qui correspond à un intervalle réel (a#, a/t+i ) dans lequel varie t. Si l'on amène l'axe des y à être parallèle à la droite (d), il faudra effectuer sur G et H une certaine substitution linéaire dont la forme a été donnée au n° 295; il faudra aussi soumettre Gf et H, à la même substitution linéaire, ou à une substitution dont les quatre coefficients auraient leur signe changé. Si donc on désigne par o-, h^ g,^ hK les nouvelles valeurs de G, H, G( , H,, il suit de la forme linéaire des relations (41) que lon aura rrr / dsr \ , /— / dh

s désignant toujours l'unité positive ou négative.

Cela posé, donnons à t la valeur réelle, comprise entre a^ et (^k+\} qui convient à un point de la droite (d) ; g et h seront toutes les deux réelles ou toutes les deux purement imaginaires (n°300).

5g2 LIVRE III. — CHAP. XIV.

Puisque, par hypothèse, R et S sont des fonctions réelles pour toutes les valeurs réelles de t, g{ et ht seront, comme g et h, toutes les deux réelles ou toutes les deux purement imaginaires. Par suite, la portion du contour de (M, ) qui correspond à l'intervalle (a/j, «a+i) sera aussi une droite (d,), parallèle à la droite (d). La démonstration se ferait de la même manière si la portion considérée du contour de (M) était située dans un plan (P) normal à la surface: la portion correspondante du contour de (M, ) serait dans un plan (P, ) parallèle à (P) et normal à (M, ) ; on le reconnaît, d'ailleurs, presque immédiatement en passant aux surfaces ad jointes de (M) et de (M,). La proposition que nous avions en vue est donc établie dans toute sa généralité.

Les fonctions R et S pourront s'annuler, avoir des pôles ou des points singuliers essentiels. Il en résultera, pour le segment (M,-), des singularités, ou des points de ramification, ou des nappes infinies; certains sommets du contour pourront être rejetés à l'infini, ou ramenés à distance finie ; il pourra y avoir des stationnements ou des rebroussements sur certaines parties du contour. Nous n'insisterons pas sur toute cette discussion. Le point essentiel que nous avons voulu mettre en évidence, et qui est important pour la théorie générale des équations aux dérivées partielles, est le suivant : on peut trouver une infinité de surfaces minima, dépendant d'un nombre limité ou illimité d'arbitraires, qui contiendront toutes un contour de nature donnée; en sorte que la condition, pour une telle surface, de contenir un contour donné ne la détermine pour ainsi dire pas et ne permet pas, en particulier, de fixer la valeur ou la forme des fonctions arbitraires qui entrent dans son intégrale. Le problème est susceptible d'une solution précise et déterminée dans le cas seulement ou l'on ajoute les conditions de continuité indiquées dans tous les exemples précédents.

316. J. -A. Serret, dans un Article inséré auTome XL des Comptes rendus ((), a montré qu'il existe une infinité de surfaces minima

(!) J.-A. Serret, Sur la moindre surface comprise entre des lignes droites données, non situées dans le même plan {Comptes rendus, t. XL, i855, p. 1078).

La même question a aussi été traitée par O. Bonnet dans le Mémoire déjà cité Sur l'emploi d'un nouveau système de variables, etc. (Journal de Liounlle, 2e série, t. V, p. 2/(6).

APPLICATIONS DIVERSES. 5g3

passant par deux droites et que ces surfaces contiennent dans leur équation une fonction arbitraire. On obtiendra toutes ces surfaces en appliquant les remarques précédentes au problème particulier du n°280. Les hélicoïdes obtenus dans cet Article correspondent à des valeurs de H et de G qui sont de la forme suivante :

si l'on porte ces valeurs dans les formules (41)' on aura

ou, plus simplement,

Gi = *»/?> H1== z-i-'«Q/P, P et Q étant des fonctions réelles pour les valeurs réelles de t.

317. Supposons encore que, af , a2, ..., as étant les valeurs de t relatives aux points singuliers, on prenne dans les formules (4°)

tous les nombres /?# étant entiers et ayant leur somme nulle. On obtiendra la surface définie par les équations

< = <*R f i(G*— H*) Rote, (43) K=Sif (G*+H*)Rûfe,

2t'GHR<ft.

Le segment de cette surface qui correspond aux valeurs de t dont la partie imaginaire est positive est limité par un contour dont tous les éléments sont parallèles à ceux du contour qui limite la surface primitive. Ce segment n'offre d'ailleurs aucune singularité; certains sommets seulement pourront être rejetés à l'infini; d'autres ramenés à distance finie.

Si l'on prenait pour R une fonction réelle quelconque, on intro- D. — I. 38

5g4 LIVRE III. — CIIAP. XIV.

duirait nécessairement des singularités; mais elles pourraient être toutes aune distance finie du contour.

318. Nous appliquerons encore les remarques précédentes aux différentes solutions du problème que nous avons obtenues au n° 310 par l'emploi de l'équation de Gauss. Nous avons vu que, si l'on pose

F désignant une solution particulière de l'équation de Gauss, les deux valeurs G et H de G déterminées par les formules (7) définissent une surface minima contenant trois droites dont les angles sont quelconques. Substituons à G la fonction

01=<(i-op(O^ + Q(O^,

où P(t) et Q(t) désignent des polynômes réels, de degré m — 1 et m respectivement, n'ayant aucun facteur commun. Les deux valeurs Gn H, de G, obtenues en substituant successivement G et H à G, définiront une surface minima contenant trois droites et ne présentant, en dehors des sommets qui correspondent aux valeurs o, 1 , go, que des points de ramification; caries intégrales G, et H^ sont partout finies et continues et elles ne s'annulent jamais simultanément en dehors de ces sommets. Etudions le cas le plus simple, celui où l'on a

(45) Q% = ct(i — t)ijT-h[at+'b(i—t)]%,

les constantes a, b, c étant toutes réelles ou toutes purement imaginaires.

Alors, les exposants des six intégrales régulières de l'équation en G, sont (' ) :

Four Je point o , \- j — v.

Four le point 1 , 1- y — a — p.

Four le point oc [i 1, a — 1.

(') Pour certaines relations entre a, b, c, il est clair que quelque-uns de ces

APPLICATIONS DIVERSES. 5o,5

Si donc on pose

p-t-a — 2 —(fi ( v — 2)— — ,

n, n', ri' seront des nombres entiers, pairs ou impairs suivant que le sommet correspondant sera de première ou de seconde espèce, et l'addition des trois équations précédentes nous donnera

Si les deux premiers sommets sont à distance finie, les sommes

un', .. .

■ i et- i des exposants pour ces deux points devront être

supérieures à — i. On aura donc

n -t- ri > o et, par conséquent,

ri' < 2 .

Le troisième sommet sera donc à l'infini, et la surface aura un secteur infini, de forme plus ou moins compliquée. Nous laisserons de côté l'examen de toutes ces hypothèses et nous remarquerons seulement que la surface peut avoir trois secteurs infinis logarithmiques, ce qui aura lieu si l'on prend

Les trois sommets sont alors de même espèce, et l'on obtient une surface minima passant par trois droites dont aucune ne rencontre les deux autres. On a

exposants pourraient s'élever. Par exemple, si la constante b est nulle, le premier exposant relatif au point o est augmenté d'une unité; et la somme des exposants des six intégrales régulières, au lieu d'être égale à — i, devient égale à zéro. Nous laisserons de côté l'étude de ces cas exceptionnels qui conduiraient, si nous ne nous sommes pas trompé, à différentes surfaces parmi lesquelles se trouve celle qui a deux secteurs infinis hélicoïdaux et qui contient trois droites dont deux se coupent, l'ensemble de ces trois droites n'étant d'ailleurs assujetti à aucune autre condition.

et l'on détermine les valeurs de G( et de H( qui font connaître la surface en substituant à la place de 9, dans la formule (45), les deux valeurs de G et de H définies par les équations (7). Il faudra, dans ces équations, remplacer y. et v par les valeurs précédentes et prendre pour la valeur de K2 une constante réelle quelconque. Il est inutile, en effet, de conserver à K2 une valeur arbitraire puisqu'elle vient s'adjoindre comme facteur aux constantes a, b, c, qui entrent dans l'expression de 9(. Si l'on prend, par exemple,

la formule (9) nous donnera

(47) GH— HG'

nous allons faire usage de cette relation.

Les fonctions G4 et H4 que nous venons d'obtenir, et qui déterminent la surface, dépendent de six constantes arbitraires a, b, c, a, (3, v. Il est aisé de reconnaître que la forme du système formé par trois droites dépend également de six constantes : si l'on se donne, par exemple, les angles de ces droites et leurs plus courtes distances, on pourra d'abord construire le système formé par les deux premières; et, pour déterminer la troisième, il suffira de mener, à deux cylindres de révolution ayant pour axes ces deux droites, une tangente commune, parallèle à une droite donnée. Il semble donc qne la surface déterminée dans la solution précédente pourra contenir trois droites quelconques : on peut mettre ce point essentiel hors de doute en employant la méthode suivante, qui a été donnée par Riemann.

319. Nous allons d'abord compléter les remarques générales présentées au n° 305, en les étendant au cas où un secteur hélicoïdal infini correspond aux valeurs de t infiniment voisines d'une valeur singulière, que nous supposerons, pour fixer les idées, égale à zéro. Alors, les deux intégrales régulières G et H considérées au n° 304 auront la somme de leurs exposants égale à — 1 ; et l'on pourra poser

ht 2 2 j i -+- a t -+- . . . ;

APPLICATIONS DIVERSES. 5ç)J

En substituant ces valeurs de G et de H dans l'expression de <r, on aura

(49) (^)"2=2,(HG'-GH')=,-ii^j[+^ + pT- + ...!:

comme ( —r \ doit être purement imaginaire pour Jes valeurs

réelles de t, on voit que le produit AB sera nécessairement réel. Les coordonnées x, j-, z d'un point de la surface s'obtiennent en substituant dans les formules (o) (n° 294) les valeurs précédentes de H et de G. On trouve un résultat de la forme

[ z = iABS\[i\ogt h- 6"],

0, 9', 0" étant des séries qui s'annulent pour £ = o.

En réduisant les valeurs de x et de y à leurs termes principaux, on aura

ou encore

a; + iy — — TA.'-t-h.

Lorsque le point variable t décrira, dans la partie supérieure du plan, un demi-cerle infiniment petit autour de l'origine, x et y seront très grands et l'argument de x-\-iy augmentera de h~. Comme on passe ainsi de l'une des droites du contour à la suivante, on voit que l'angle du secteur infini sera égal en valeur absolue à h~.

D'autre part, la valeur de z, réduite à son premier terme

2AB Si Hogt,

ou au produit de AB par l'argument de t pris en signe contraire, variera entre o et — i AB-. Si 3 désigne la plus courte distance des

5g8 LIVRE III. — CHAP. XIV.

deux droites qui limitent le contour infini, on aura donc

(52) 8 = — 2ÀBTI.

Le développement de l'invariant ( -r- ) sera donc de la forme

,^x /ûk\2 °hi lin )

(53) (^) =__ll + P,+...|

et son premier terme s'exprimera complètement au moyen des éléments géométriques o et h. Ce résultat, dû à Riemann, est très essentiel et nous allons en faire l'application. Remarquons seulement que, si le secteur infini correspond à une valeur infinie

de t, il suffira de changer t en — dans la formule précédente, ce

qui donnera

di\- ohi i [ 3 3'

320. Appliquons à l'exemple que nous étudions ces remarques générales. Les angles des trois secteurs hélicoïdaux sont ici

(i-Y)Tt, (T a-3)TT, (a-[3)-.

Nous les désignerons par for, witt, rnz respectivement. D'autre part, on a généralement

et un calcul facile donne ici

(55) ^y=2i(HG'— GH')[A(i— t)-+-Bt— Ct(\ - t)\, A, B, C ayant les valeurs suivantes :

(56) iB=(a..£)'^, •

APPLICATIONS DIVERSES. 5g<)

Si l'on remplace HG; — GH' par sa valeur déduite de la formule (47)5 on a

/da\* .A(i — t) + Bt~ Ct(i — t)

(- ï /daY

(°7) [dt) =21

t*(i — ty

Pour t = o, on doit trouver, en développant suivanl les puissances croissantes de t,

da\- iol 1

~dt) = ~ '^+•••,

S désignant la plus courte distance des deux droites qui limitent le secteur.

On aura donc, en prenant le premier terme de ce développement dans la formule (07),

(58) ol = ir,k.

La considération des deux autres points donnerait de même (58a) §' m = 2ttB, o"re = 2irC,

S' et 8" étant les plus courtes distances des droites qui correspondent aux secteurs 1 et 00.

On peut donc considérer A, B, C comme connues, et il reste à déduire des formules (56) les expressions de b, a, c.

Ecrivons ces équations sous la forme

e, s', e" désignant l'unité positive ou négative; l'élimination de a et de b conduit à l'équation irrationnelle

c*-rril "4

c i A «**** , u /r cï/nï , „»* / r

qui déterminera c.

Si l'on chassait les radicaux, on trouverait une équation du

quatrième ordre par rapport à c2. Nous discuterons cette équation seulement dans le cas où /, m, n sont inférieurs à i, c'està-dire où les trois secteurs hélicoïdaux ont des angles moindres que 7T. Alors sif par un point de l'espace, on mène des parallèles aux trois droites en attribuant à ces parallèles un sens convenable, /tc, rmz, mz seront les suppléments des angles formés par ces trois parallèles.

In, rmz, nn étant les angles d'un triangle sphérique, on a les

inégalités

Par suite, si, dans l'équation (60), on fait d'abord

et si l'on substitue à la place de c2 les deux valeurs 00 et o, le premier membre sera certainement négatif pour c = oo, m -\- n — l étant inférieur à 1 en valeur absolue ; mais, pour c = o, il y aura un signe qui dépendra entièrement de celui du facteur e. On peut donc choisir s de telle manière que les résultats des deux substitutions précédentes soient de signes contraires, ce qui met en évidence une première racine au moins de l'équation en c2. Si l'on fait maintenant, soit

e = £" = — £', soit

on trouvera encore deux autres équations irrationnelles, qui auront chacune au moins une racine réelle; ce qui donne, en tout, trois racines réelles de l'équation en c2, convenant chacune à une forme connue de l'équation irrationnelle (60).

Pour séparer la quatrième racine) changeons c en c' i; l'équation (60) prend alors la forme

Adoptons la combinaison suivante des signes:

APPLICATIONS DIVERSES. ÔOI

en supposant que -n désigne la plus grande des quantités -^> — ->

— -• Si nous substituons maintenant ce et la valeur

le résultat de la première substitution aura le signe de

c'est-à-dire le signe de s, d'après les inégalités (61). La seconde substitution donnera un résultat

dont le signe est inconnu, mais ne dépend nullement de e. On pourra donc choisir le signe de e de telle manière que les résultats des deux substitutions soient de signes contraires, et l'on aura ainsi mis en évidence la quatrième racine. En portant successivement les valeurs de c dans les formules (69), on déterminera les valeurs correspondantes de a et de b: qui seront réelles si Ton prend pour c une des trois valeurs réelles, et purement imaginaires comme c si l'on emploie la dernière racine. On voit que l'on sera ainsi conduit à quatre surfaces différentes, pouvant toutes être acceptées.

Nous terminerons ici, avec le premier Volume de cet Ouvrage, la théorie des surfaces minima et l'étude du problème de Lagrange et de Plateau. Ce problème, qui doit compter au nombre des plus intéressants que l'Expérience ait jamais posés aux Géomètres, est aussi un de ceux dont les progrès sont le plus étroitement liés à ceux de l'Analyse moderne; le lecteur l'aura certainement remarqué en étudiant les développements, peut-être trop rapides, donnés dans les cinq derniers Chapitres.