CHAPITRE I

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Du déplacement à un paramètre ; application à la théorie des courbes

gauches i

Déplacement d'un système invariable ayant un point fixe. — La vitesse absolue d'un point rapporté au système invariable est la résultante de sa vitesse relative et de sa vitesse d'entraînement. — On donne d'abord les formules qui permettent de définir un déplacement fini, c'est-à-dire le passage d'un système fixe d'axes rectangulaires à un système mobile de même nature, et l'on rappelle les expressions des neuf cosinus en fonction des angles d'Euler. — On donne également les expressions des mêmes cosinus en fonction des quantités A, jx, v, p qui font connaître simplement la rotation finie par laquelle on réalise le passage des axes fixes aux axes mobiles. — Définition des paramètres quaternioniens.

On définit le mouvement du trièdre mobile par les composantes p, q, r de la rotation instantanée, relatives aux axes de ce trièdre. — Expressions des dérivées des neuf cosinus. ■ — Solution d'un problème fondamental : déterminer le mouvement quand on se donne les composantes p, q, r en fonction du temps. — La solution est unique et exige l'intégration d'un système linéaire à trois inconnues.

Cas où le système mobile n'a plus de point fixe. — Il faut joindre à p, q, r les trois composantes par rapport aux axes mobiles de la vitesse de l'origine de ces axes. — Ici encore il y a un seul mouvement correspondant à des valeurs données de £, t,, Ç, p, q, r. — Composantes de la vitesse absolue d'un point rapporté aux axes mobiles. — Détermination de l'axe du mouvement hélicoïdal instantané. Cas où ce mouvement se réduit à une rotation. — Réduction du mouvement instantané à deux rotations. — Droites conjuguées.

Application de la théorie précédente à l'étude des courbes gauches. — Les propriétés de ces courbes se déduisent de l'étude du mouvement d'un trièdre formé par la tangente à la courbe, la normale principale et la binormale. — Propriétés caractéristiques de ce déplacement : Les translations t„ Ç et la rotation q sont nulles. Les deux compo-

6o4 TABLE DES MATIÈRES.

Pages, santés /? et r représentent respectivement la torsion et la courbure de la courbe. — Distinction essentielle entre la courbure et la torsion.

— Calcul de divers infiniment petits. — Théorie des développées. — Enveloppe du plan rectifiant. — Toute courbe pour laquelle le rapport de la courbure à la torsion est constant est une hélice tracée sur un cylindre quelconque. Ce cylindre est circulaire droit si la courbure et la torsion sont constantes. — Étude des courbes, dites de Bertrand, pour lesquelles les normales principales sont normales principales d'une autre courbe. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit, en général, qu'il y ait une seule relation entre la courbure et la torsion.

— Relations entre les deux courbes qui ont mêmes normales principales. — Propriétés relatives à certaines droites conjuguées.