CHAPITRE II

Sur r intégration du système linéaire qui se présente clans la théorie

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Il s'agit du système qui détermine le mouvement quand on se donne les rotations p, q, r en fonction du temps. — Ce système est le type, ou la forme réduite, d'une classe importante de systèmes linéaires qui admettent une intégrale quadratique, à coefficients constants ou variables. — On voit immédiatement, presque sans calcul, qu'on peut l'intégrer complètement, si Ton en connaît deux solutions particulières. Mais, d'après un résultat plus caché, il suffira d'en connaître une solution particulière pour en achever l'intégration complète à l'aide d'une seule quadrature. Pour établir ce résultat, on reprend l'intégrale a2 + P2+ Y2 = const. et l'on examine successivement le cas où la constante du second membre n'est pas nulle, et celui où elle est nulle.

Dans le premier cas, l'intégration du système linéaire se ramène à celle d'une seule équation de Riccati. — Propriétés générales de l'équation de Riccati. Forme de l'intégrale par rapport à la constante. Le rapport anharmonique de quatre solutions est constant. Cas où l'on connaît une, deux ou trois solutions particulières. Réduction à un système linéaire homogène à deux inconnues.

Application de ces propriétés générales à l'équation de Riccati qui se présente dans le problème actuel. La connaissance d'un seul système de cosinus vérifiant les trois équations fondamentales permet d'achever le problème par une seule quadrature portant sur une fonction réelle. — Rappel de la méthode par laquelle Euler avait établi ce résultat.

On arrive maintenant à l'étude des solutions du système fondamental pour lesquelles la somme a2 -+- (3- -+- y2 est nulle. On ramène leur détermination à celle d'un système linéaire à deux inconnues, un de ceux , qu'on peut rattacher à l'équation de Riccati considérée plus haut. Son intégration complète permettra d'obtenir sans quadrature celle du système linéaire à trois inconnues. Si l'on en connaît une solution particulière, on en obtiendra une autre sans intégration, ce qui fournira l'intégrale générale, lorsque/?, q, r seront fonctions réelles de t; . dans le cas contraire, il faudra une quadrature pour déduire l'intégrale générale de la solution particulière.

TABLE DES MATIÈRES. 6o5