CHAPITRE III

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Interprétation géométrique des deux méthodes employées dans le Chapitre précédai t , . 4 2

Étude des coordonnées, dites symétriques, sur la sphère. Forme de l'élément linéaire. Substitutions linéaires effectuées sur ces coordonnées qui reproduisent cet élément et transforment, par conséquent, une figure quelconque en une figure égale ou symétrique. — Formules qui expriment, à l'aide des coordonnées symétriques, la distance de deux points sur la sphère. — Définition de deux rapports anharmoniques attachés à un quadrilatère et explication géométrique de la réduction du problème traité au Chapitre précédent à l'intégration d'une seule équation de Riccati.

Réduction de tout déplacement fini à une même substitution linéaire fractionnaire effectuée sur les deux coordonnées symétriques. On montre, lorsque cette substitution est connue, comment on obtient les paramètres quaternioniens qui définissent le déplacement. — Système de coordonnées S3rmétriques imaginaires conjuguées employé dans la théorie moderne des fonctions.

Etude du cône isotrope ou sphère de rayon nul. Cette sphère doit être considérée comme une surface double et, de plus, la distance de deux quelconques de ses points jouit de la même propriété que celle de deux points sur une droite : elle s'exprime rationnellement. ■ — Généralisation du théorème de Ptolémée.

Roulement du cône isotrope sur lui-même. — Tout déplacement fini s'obtient en soumettant les coordonnées u et v de chaque point à une substitution linéaire de coefficients constants. Relations entre les paramètres quaternioniens du déplacement et les coefficients de cette substitution. — Déplacement infiniment petit. Système de deux équations différentielles linéaires rattaché à ce déplacement et permettant de déterminer le mouvement quand on connaît les expressions des rotations p, q, r en fonction du temps. Ce système est précisément celui que l'on a rencontré au Chapitre précédent. — Indications historiques.